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(共66张PPT)
　对数函数
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
对数函数概念及其性质
(1)概念：函数_________________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是___________________．
回归教材
y＝logax(a>0，且a≠1)
(0，＋∞)
(2)对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 ____________ 值域 ________ 性质 过定点_________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，______； 当01时，______；
当0在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增函数
减函数
反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝______ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
logax
y＝x
(1)不论a>1还是00，且a≠1)的图象都经过点 ，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象．
(2) 对数函数的图象与底数大小的关系：如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0


规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是对数函数．
夯实双基
答案　(1)×　
(2)函数y＝logax2与函数y＝2logax是同一个函数．
答案　(2)×　
答案　(3)√　
答案　(4)√
2. (课本习题改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝logaix(ai＞0，且ai≠1)的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的ai的值依次为(　　)
√
解析　方法一：因为C1，C2表示的函数为增函数，所以它们的底数都大于1，则当x>1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的ai值分别为2，3.又因为C3，C4表示的函数为减函数，所以它们的底数都大于0小于1，则当x>1时，图象越靠近x轴，其底数越小，所以
方法二：可以画直线y＝1，直线与四个函数图象交点的位置自左向右，其对应函数的底数由小到大．
C3，C4对应的
3．设y＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)，当a∈________时，y为减函数；这时当x∈___________时，y<0，此函数图象过定点________．
(0，1)
(－1，＋∞)
(－1，0)
4．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝ ，则下列判断正确的是(　　)
A．cC．a√
5．函数f (x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(1，3)
√
解析　设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，根据复合函数的单调性，可得函数f (x)的单调递增区间为(3，＋∞)．故选C.
√
授 人 以 渔
02
PART TWO
题型一　 对数函数的图象及应用
(1)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
【答案】　见解析
【思路】　作复合函数的图象时，可先考虑它的基本函数的图象，再作适当变换．
【解析】　方法一：第一步：作出y＝log2x的图象，如图1.
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋1)的图象，如图2.
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图3.
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图4.
方法二：y＝|log2(x＋1)|＋2
分别作出函数在(－1，0)和[0，＋∞)上的两段图象即得y＝|log2(x＋1)|＋2的图象(如图4)．
状元笔记
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
√
思考题1　(1) 已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0，b<－1　　 　 B．a>0，－1C．0【解析】　因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1(2)已知函数 且关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞)
【解析】　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f (x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在x轴、y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x的图象只有一个交点，即方程f (x)＋x－a＝0只有一个实根．
(3)(2025·佛山模拟)已知函数f (x)＝|ln x|，若0(3，＋∞)
【解析】　f (x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0所以ln a<0，ln b>0，
所以01，
所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
题型二　 对数函数的性质及应用(微专题)
微专题1　比较大小
(1)比较下列各组数的大小：
②log67，log76；
【答案】　②log67>log76　
【解析】　②∵log67>log66＝1，log76∴log67>log76.
③m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；
【答案】　③p【解析】　③由指数函数的性质，∵0<0.9<1，而5.1>0，
∴0<0.95.1<1，即0又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1.
由对数函数的性质，∵0<0.9<1，而5.1>1，
∴log0.95.1<0，即p<0.
综上，pA．b>c>a　　　　　 B．a>c>b
C．b>a>c D．a>b>c
√
√
A．aC．c因为a，b，c均为正数，所以a，b，c分别为函数图象的交点的横坐标．
由图可知a状元笔记
　比较对数式大小的三种方法
(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，则先化为同底．
(2)中间量过渡法：寻找中间量联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”．
(3)图象法：观察图象得出大小关系．
√
思考题2　(1)(2025·皖南八校联考)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝ ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c【解析】　a＝log25>2，b＝log5(log25)∈(0，1)，c＝ ∈(1，2)，可得b(2)设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)
A．bC．a√
【解析】　因为a，b，c都是正数，
(3)(2025·广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e －x2＝ln(x2＋1)，e －x3 ＝lg x3，则(　　)
A．x1C．x2√
【解析】　画出函数 ，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x2微专题2　解对数方程、不等式
(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
(2)已知定义域为R的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)
√
【解析】　因为偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，
即|log2x|>1，解得02.
状元笔记
解对数方程、不等式时需注意以下两个方面
(1)注意方程或不等式要有意义，即真数大于0.
(2)根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性，进而解不等式．
√
思考题3　(1)(2025·重庆一中月考)若0＜a＜1，则不等式 ＞1的解集是(　　)
A．(a，＋∞) B．(a，1)
C．(1，＋∞) D．(0，a)
【解析】　易得0＜logax＜1，∴a＜x＜1.
(2)设函数f (x)＝ 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
√
微专题3　对数型复合函数的单调性
(1)若f(－1)＝－3，求f (x)的单调区间；
【答案】　(1)单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)　
由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.
故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令g(x)＝x2－4x＋3，
则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
所以f (x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)是否存在实数a，使f (x)在(－∞，2)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】　(2)a不存在，理由见解析
【解析】　(2)不存在．理由如下：
令h(x)＝x2－2ax＋3，要使f (x)在(－∞，2)上单调递增，应使h(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.
所以不存在实数a，使f (x)在(－∞，2)上单调递增．
状元笔记
求解对数型复合函数的单调性问题时，要注意在定义域基础上，弄清楚复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，然后依据复合函数的单调性规律确定该函数的单调性．
思考题4　(2025·江苏龙冈中学模拟)已知函数f (x)＝log2(ax2－ax＋4)．
[－2，0)
【解析】　(1)令u＝ax2－ax＋4，y＝log2u.
当a＝0时，f (x)＝log24＝2，该函数为常数函数，不符合题意．所以a≠0，内层函数u＝ax2－ax＋4的图象的对称轴为直线 ，
(2)若f (x)的值域是R，则实数a的取值范围是___________．
[16，＋∞)
【思路】　(2)分析可知(0，＋∞)为二次函数u＝ax2－ax＋4值域的子集，分a＝0，a≠0两种情况讨论，可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围．
【解析】　(2)因为函数f (x)的值域是R，则(0，＋∞)为二次函数u＝ax2－ax＋4值域的子集．
当a＝0时，内层函数为u＝4，不符合题意；
当a≠0时，则有 解得a≥16.
综上所述，实数a的取值范围是[16，＋∞)．
本课总结
指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置，搞清这两部分基础知识相当重要．
(1)搞清指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系：即二者互为反函数，且图象关于直线y＝x对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的．即当a＞1时都为增函数，当0＜a＜1时都为减函数．
(2)比较指数函数、对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型．具体做法是：①底数相同指数不同时，要考虑指数函数的单调性；②底数、指数都不同时要借助于中间值(如0或1)，再不行可考虑商值(或差值)比较法；③对数型函数数值间的大小关系，底数相同时考虑对数函数的单调性，底数不同时可考虑中间值(如0或1)，或用换底公式化为同底，最后可考虑商值(或差值)比较法．
√
课 外 阅 读
03
PART THREE
一、关于反函数
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．
(2)函数的定义域是其反函数的值域，函数的值域是其反函数的定义域．
(3)函数与其反函数的图象关于y＝x对称．
(4)反函数与原函数具有相同的增减性．
1．已知函数f (x)＝2x的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，则 的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．1
C．12 D．2
√
2．设点P(a，b)在函数y＝22x的图象上，点P关于直线y＝x的对称点为Q，则点Q在函数(　　)
A．y＝log2x的图象上 B．y＝ log2x的图象上
C．y＝2log2x的图象上 D．y＝1＋log2x的图象上
√
解析　因为点P(a，b)在函数y＝22x的图象上，点P关于直线y＝x的对称点为Q，所以点Q在函数y＝22x＝4x的反函数的图象上，即y＝log4x
3．若函数 ，函数f (x)与函数g(x)的图象关于y＝x对称，则g(9－x2)的单调递减区间是(　　)
A．[0，3) B．[－3，0)
C．(0，3] D．(－3，0]
√
4．函数f (x)与函数g(x)互为反函数，若 且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为________．
(0，1)
二、重温高考
1．(2023·天津)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
√
解析　由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<1.010.6＝b，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>0.60.5＝c，所以b>a>c.故选D.
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
√
√
A．－1 B．lg 7
C．1 D．log710
解析　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
√
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
解析　∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，
∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b.故选D.
5．(2020·课标全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
√
6．(2020·课标全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．aC．b√
∴log53∵55<84，134<85，∴5log85<4，4<5log138，
∴log857．(2017·课标全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
√
解析　∵2x＝3y＝5z，∴ln 2x＝ln 3y＝ln 5z，
∴xln 2＝yln 3＝zln 5.
∴2x>3y，同理可得2x<5z.
∴3y<2x<5z.故选D.

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