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(共57张PPT)
　函数的单调性和最值
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
函数的单调性
(1)单调函数的定义
回归教材
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1特别地，当函数f (x)在它的定义域上____________时，我们就称它是减函数
f (x1)单调递增
单调递增
f (x1)>f (x2)
单调递减
单调递减
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，_________叫做y＝f (x)的单调区间．
单调递增
单调递减
区间D
函数的最值
(1)定义
前提 设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ① x∈I，都有__________；　 ② x0∈I，使得__________　 ① x∈I，都有__________；　
② x0∈I, 使得__________　
结论 M为最大值 M为最小值
f (x)≤M
f (x0)＝M
f (x)≥M
f (x0)＝M
(2)注意事项
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值在区间端点处取得．
②开区间上的连续函数可能存在最大值、最小值．
常用结论
(1) x1，x2∈D且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0(<0) f (x)在区间D上单调递增(减)．
(2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
(5)复合函数的单调性：在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．简记为“同增异减”．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
夯实双基
答案　(1)×　
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．
答案　(2)×　
(3)对于函数y＝f (x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，则函数f (x)在区间D上是增函数．
答案　(3)√　
(4)已知函数y＝f (x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．
答案　(4)√
2．(课本习题改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f (x)＝3－x　　　　　 B．f (x)＝x2－3x
C．f (x)＝ D．f (x)＝－|x|
√
解析　对于A，一次函数f (x)＝3－x在R上单调递减，故该项不符
单调递增，故该项符合题意；对于D，f (x)＝－|x|，当x>0时，f (x)＝－x单调递减，故该项不符合题意．故选C.
(－∞，－1)，(－1，＋∞)
(－1，1]
4．(2025·哈尔滨市联考)函数f (x)＝|x－a|＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
a≤2
解析　函数f (x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)，当f (x)在[2，＋∞)上单调递增时，[2，＋∞) [a，＋∞)，所以a≤2.
2
√
授 人 以 渔
02
PART TWO
题型一　求函数的单调区间(自主学习)
求下列函数的单调区间．
(1)f (x)＝－x2＋2|x|＋3；
【答案】　(1)单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)　
其大致图象如图所示，所以函数y＝f (x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
【答案】　(2)单调递增区间为(2，5)，单调递减区间为(－1，2]　
【解析】　 (2)令u＝－x2＋4x＋5，则y＝
∵u>0，∴－1又y＝ 在(0，＋∞)上为减函数，根据复合函数同增异减的性质，
f (x)的单调递增区间为(2，5)，单调递减区间为(－1，2]．
(3)f (x)＝x－ln x.
【答案】　(3)单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)
f′(x)，f (x)随x的变化如表，


由表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f (x) ? ?
状元笔记
求函数的单调区间(确定函数的单调性)
(1)求函数单调区间的常见方法：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．②定义法．③图象法．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
(2)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
(3)求函数单调区间，定义域优先．
题型二　单调性的证明
【答案】　证明见解析
状元笔记
证明函数单调性的两种方法
(1)定义法．(2)导数法．
【答案】　见解析
【解析】　方法一：设－1则f (x1)－f (x2)＝ ，
由于－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)当a>0时，f′(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增．
题型三　函数单调性的应用(微专题)
微专题1　比较大小
(2025·山东济宁模拟)设函数f (x)定义在实数集上，它的图象关
状元笔记
利用单调性可以比较函数值的大小，但需将各自变量的值化到同一单调区间上．
√
思考题2　若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y≥0　　　　　　 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
【解析】　设函数f (x)＝2x－5－x，易知f (x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f (x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.
微专题2　解不等式
已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是____________________．
【解析】　因为函数f (x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x2－4)<2得，f (x2－4)状元笔记
根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，从而转化为具体的不等式求解，在此过程中应注意函数的定义域．
思考题3　已知函数y＝f (x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)(0，1)
【解析】　由题意可得－1微专题3　利用单调性求参数
(1)已知函数y＝loga(2－ax)(a＞0，且a≠1)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【解析】　设u＝2－ax，∵a>0，且a≠1，
∴函数u＝2－ax在[0，1]上单调递减．
由题意可知函数y＝logau在[0，1]上单调递增，
∴a>1.又∵u＝2－ax在[0，1]上要满足u>0，
∴2－a×1>0，得a<2.综上得1(1，2)
上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
√
【解析】　方法一：当x<0时，函数f (x)＝－x2－2ax－a＝－(x＋a)2＋a2－a，若函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0；当x≥0时，函数f (x)＝ex＋ln(x＋1)，函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．因为函数f (x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln(0＋1)＝1，解得a≥－1.综上可得－1≤a≤0.故选B.
状元笔记
利用单调性求参数的取值(范围)，可以根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))，也可以先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意分界点的取值．
思考题4　(1)若函数f (x)＝ 在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
[1，2)
(2)已知a>0，a≠1，函数f (x)＝ 是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(1，3] B．[2，3]
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
√
【解析】　由题意，可知函数y＝1－ax(a>0，a≠1)在(1，＋∞)上单调递减，所以a>1.
又因为函数y＝x2＋(a－5)x＋1图象的对称轴是直线
微专题4　利用单调性求函数最值
状元笔记
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．
3
【解析】　由于 在[－1，1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x)在[－1，1]上单调递减，故f (x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
微专题5　抽象函数的单调性
已知定义在R上的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f (x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f (x)在R上是增函数；
【答案】　(1)－1，证明见解析　
【解析】　(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
证明如下：在R上任取x1，x2，且x1>x2，则x1－x2>0，f (x1－x2)>－1.
又f (x1)－f (x2)＝f((x1－x2)＋x2)－f (x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1－f (x2)＝f (x1－x2)＋1>0，所以f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在R上是增函数．
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f(1－x)>4.
【答案】　(2){x|x<－2或x>1}
【解析】　(2)令x＝y＝1得f(2)＝3，令x＝1，y＝2得f(3)＝5.
由f (x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f (x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f (x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f (x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
状元笔记
抽象函数是指没有具体解析式的函数，单调性的证明主要利用单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对所给区间内任意的
思考题6　已知函数f (x)的定义域为R，对任意x，y都满足f (x＋y)＝f (x)f(y)，且f (x)≠0.当x>0时，f (x)>1，且f(2)＝9.
(1)求f(1)，f(3)的值；
【答案】　(1)3，27　
【解析】　(1)由f (x＋y)＝f (x)f(y)，
得f(2)＝f(1＋1)＝[f(1)]2＝9，
又当x>0时，f (x)>1，则f(1)＝3，f(3)＝f(1＋2)＝f(1)·f(2)＝3×9＝27.
(2)用函数单调性的定义证明f (x)在R上单调递增；
【答案】　(2)证明见解析　
【解析】　(2)证明：令y＝0，则f (x＋0)＝f (x)·f(0)，即f(0)＝1，
当x<0时，－x>0，f(－x)>1，则f (x＋(－x))＝f (x)·f(－x)＝1，即f (x)
即f (x)>0在R上恒成立，
令x1＝x＋y，x2＝x，且x1>x2，即x1－x2>0，
所以f (x1)>f (x2)，即f (x)在R上单调递增．
(3)若对任意的x∈R，f(2x2－a2＋a)≥3f (x－5)f(3x－4)恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】　(3)－2≤a≤3
【解析】　(3)由已知f(2x2－a2＋a)≥3f (x－5)f(3x－4)＝3f(4x－9)，
又由(1)得f(1)＝3，
所以f(2x2－a2＋a)≥3f(4x－9)＝f(1)f(4x－9)＝f(4x－8)，
又函数在R上单调递增，则2x2－a2＋a≥4x－8恒成立，
所以2x2－4x＋8≥a2－a恒成立，
又2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6≥6，即a2－a≤6，解得－2≤a≤3.
本课总结
1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间，定义域优先．
2．熟记各基本初等函数的单调区间是求单调区间的前提．
4．函数的单调递增、单调递减区间要分开写，两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”或“和”，不能用“∪”连接．
5．若f (x)的图象具有对称轴x＝a，则在x＝a两侧的对称区间上f (x)具有相反的单调性；
若f (x)的图象具有对称中心(a，b)，则在x＝a两侧的对称区间上f (x)具有相同的单调性．
6．函数图象的左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．

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