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本章总结提升
【知识辨析】
1.√　[解析] y=f(x)与y=2-x互为反函数,所以f(x)=lox=-log2x.
2.×　[解析] 幂函数y=x2的图象过第二象限.
3.×　[解析] 函数y=log3x的反函数的值域是原函数的定义域,故y=log3x的反函数的值域为(0,+∞).
4.×　[解析] 根据题意得x2-2=x,解得x=2或x=-1.又x2-2>0且x>0,所以x=2.
5.×　[解析] 函数t=-x2+1在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,根据复合函数的单调性知,y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
6.×　[解析] a=log45>1,b==1,c=log30.4<0,故c7.√　[解析] 设y1=,y2=|lox|,作出它们的图象,如图所示.由图可知两函数图象有两个不同的交点,故方程有两个不同的实根.
8.√　[解析] 下午3:00时,t=3,将t=3代入函数解析式,得f(3)=33-3×3+60=78.
【素养提升】
题型一
例1　(1)B　(2)　[解析] (1)原式==log23×log32=2,故选B.
(2)原式=2log23·log32++=2++2=.
变式　(1)AD　(2)-1　(3)2x2+2x　[解析] (1)∵10a=4,10b=25,∴a=lg 4,b=lg 25,∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,故A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg,故B错误;ab=lg 4×lg 25=2lg 2×2lg 5=4lg 2×lg 5,故C错误;==,故D正确.故选AD.
(2)原式=lg +lg 4-2=lg 10-2=-1.
(3)f[g(x)]·g[f(x)]=(1+log22x)·=(1+x)·2×=2x(1+x)=2x2+2x.
题型二
例2　(1)D　(2)C　(3)(1,2]　[解析] (1)作出函数y=f(x)与y=3-|x|的图象,如图所示,
由图可知y=f(x)与y=3-|x|的图象有3个交点,故方程f(x)-3-|x|=0的解的个数是3.故选D.
(2)令f(x)=0,得xln(x+1)-x-1=0,即ln(x+1)=1+,在同一直角坐标系中作出函数y=ln(x+1)与y=1+的图象,如图所示,由图可知,两个函数的图象的交点个数为2,故函数f(x)=xln(x+1)-x-1有2个零点.故选C.
(3)函数f(x)的大致图象如图所示.∵当x≤2时,f(x)∈[4,+∞),∴要使f(x)在R上的值域是[4,+∞),只需当x>2时,f(x)∈[4,+∞),∴解得1变式　(1)C　(2)A　[解析] (1)在同一坐标系中作出y=|f(x)|,y=g(x)与y=-g(x)的图象,然后根据定义得出F(x)的图象,如图中实线部分所示,由图可知F(x)有最小值-1,无最大值.
(2)由题图可知,函数y=ax与y=logbx均为减函数,所以0题型三
例3　(1)D　(2)C　(3)ABD　[解析] (1)由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5.故选D.
(2)∵幂函数f(x)=q(q∈R,p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在定义域上是偶函数,∴q=1,且-p2+2p+3为正的偶数,易知-p2+2p+3的最大值为4,此时p=1,当-p2+2p+3=2时,p不为整数,∴p=1,∴p+q=2.故选C.
(3)设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象经过点(2,),所以2α=,解得α=,所以f(x)==.易知函数f(x)=的定义域为[0,+∞),单调递增,值域为[0,+∞),是非奇非偶函数,故A,B正确,C错误;当0,故D正确.故选ABD.
变式　(1)C　(2)A　(3)ABD　(4)1　[解析] (1)因为函数f(x)=log2(ax2-x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以y=ax2-x在区间(1,+∞)上单调递增,且ax2-x>0在x∈(1,+∞)上恒成立,所以解得a≥1.故选C.
(2)因为f(x)=(m2-m-1)xm+4是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为对任意的x1,x2∈R,x1≠x2,都有>0,所以函数y=f(x)是增函数.当m=2时,f(x)=x6,该函数在R上不单调,不符合题意;当m=-1时,f(x)=x3,该函数在R上为增函数.所以f(log2x)<8等价于f(log2x)(3)由f(x)=lox,x>0,得f(|x|)=lo|x|,
∵f(|-x|)=f(|x|),∴y=f(|x|)为偶函数,故A正确;若f(a)=|f(b)|,其中a>0,b>0,a≠b,则f(a)=|f(b)|=-f(b),∴loa+lob=lo(ab)=0,∴ab=1,故B正确;f(-x2+2x)=lo(-x2+2x)=lo[-(x-1)2+1],由-x2+2x>0,解得01>1-a>0,∴f(1+a)<0(4)由f(1+x)=f(1-x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,即f(x)=2|x-1|,所以f(x)在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,故m≥1,即实数m的最小值为1.
例4　(1)A　(2)C　[解析] (1)由9m=10可得m=log910>log99=1.因为lg 9lg 11<=<1=(lg 10)2,所以>,即m>lg 11,所以a=10m-11>10lg 11-11=0.又lg 8lg 10<=<(lg 9)2,所以>,即log89>m,所以b=8m-9<-9=0.综上可得,a>0>b.故选A.
(2)a=log52变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)因为函数f(x)=2|x-m|-1是偶函数,所以m=0,所以a=f(log0.53)=-1=-1=2,b=f(log25)=-1=4,c=f(0)=20-1=0,所以c(2)∵|c|=|log40.3|=-log4=log4∈(0,1),a=30.3>1,b=30.4>30.3>1,∴b>a>1>|c|>0,∵函数f(x)是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(|c|)>f(a)>f(b),∴f(c)>f(a)>f(b).故选A.
题型四
例5　解:(1)∵函数f(x)=lo为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,即lo+lo=0,
化简得lo×=lo1,即lo=lo1,即4-k2x2=4-x2,解得k=±1,
当k=1时,f(x)=lo无意义,故k=-1.
(2)由(1)知f(x)=lo,
设h(x)=,x>2, 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1>x2,
则h(x1)-h(x2)=-=,
∵x1>x2,∴x2-x1<0,∵x1,x2∈(2,+∞),∴(x1-2)(x2-2)>0,
∴h(x1)又函数y=lox是减函数,由复合函数的单调性可得,函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.
(3)由(2)知,函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)在[4,+∞)上也单调递增,
令g(x)==1+,x∈[4,+∞),则g(x)∈(1,3],∴f(x)∈[-1,0),故函数f(x)在[4,+∞)上的取值范围为[-1,0).
变式　解:(1)因为幂函数f(x)=(m∈Z)在(0,+∞)上为增函数,
所以-2m2+m+3>0,即(2m-3)(m+1)<0,
解得-1当m=0时,f(x)=x3,满足f(-x)=-x3=-f(x),因此f(x)=x3是奇函数,满足题意;
当m=1时, f(x)=x-2+1+3=x2,显然f(x)是偶函数,不满足题意.
综上可得,m=0,f(x)=x3.
(2)因为f(x)=x3,所以y=-(2x3)=+1+3log2x.
令t=log2x,因为x∈,所以t∈[-1,1],
所以y=9t2+3t+1=9+,t∈[-1,1],
所以y=9t2+3t+1,t∈[-1,1]在上单调递减,在上单调递增.当t=-时,y=;当t=1时,y=13;当t=-1时,y=7.
故所求函数的最大值为13,最小值为.
题型五
例6　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题意可知4.0=K+lg 0.1,则K=4-lg 0.1=5,所以L=5+lg V.将V=0.6代入,得L=5+lg 0.6=5+lg 3-lg 5=5+lg 3-(1-lg 2)≈4.78≈4.8.故选A.
(2)由题意知所以当x=15时,y=315k+b=(35k)3·3b=×288=36.故选B.
变式　解:(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,∴应选函数模型y=kax(k>0,a>1),
则解得 ∴y=8×(x∈N).
(2)当x=0时,y=8,
设经过x个月该水域中水葫芦覆盖面积是当初投放的1000倍,
则8×=8×1000,∴x=lo1000 = = ≈17.04.
故最先投放的水葫芦覆盖面积为8 m2,约经过17个月该水域中水葫芦覆盖面积是当初投放的1000倍.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.函数y=2-x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=-log2x. (　 )
2.幂函数的图象都不过第二、四象限. (　 )
3.函数y=log3x的反函数的值域为R. (　 )
4.若x满足方程lg(x2-2)=lg x,则x的值是2或-1. (　 )
5.函数y=的单调递减区间是(0,+∞).(　 )
6.已知实数a=log45,b=,c=log30.4,则a,b,c的大小关系是b>a>c. (　 )
7.方程=|lox|有两个不同的实根. (　 )
8.某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数,T=f(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12:00,其后t取正值,则下午3:00该物体的温度为78 ℃.(　 )
◆ 题型一　指数式、对数式的运算
[类型总述] (1)有理指数幂的运算;(2)对数式的运算.
例1 (1)化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.6
(2)log23·log34++=　　　　.
变式 (1)(多选题)若10a=4,10b=25,则 (　 )
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab=4 D.=
(2)lg +2lg 2-=　　　　　.
(3)[2023·四川德阳五中高一月考] 已知函数f(x)=1+log2x,g(x)=2x,则f[g(x)]·g[f(x)]=　　　　.
◆ 题型二　函数图象的应用
[类型总述] (1)作与基本初等函数有关的函数的图象;(2)根据已知函数的图象判断函数的图象;(3)函数图象的应用.
例2 (1)[2024·重庆铁路中学高一期末] 已知函数f(x)=则方程f(x)-3-|x|=0的解的个数是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)函数f(x)=xln(x+1)-x-1的零点个数为　 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
(3)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是　　　　.
变式 (1)已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2, 构造函数F(x)=则F(x) (　 )
A.有最小值0,无最大值
B.无最小值,有最大值1
C.有最小值-1,无最大值
D.无最小值,也无最大值
(2)如图,O为坐标原点,点A(1,1),若函数y=ax(a>0且a≠1)及y=logbx(b>0且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足(　 )
A.aC.b>a>1 D.a>b>1
◆ 题型三　函数性质的综合应用
[类型总述] (1)判断与基本初等函数有关的函数的奇偶性;(2)基本初等函数的单调性判断及应用;(3)利用单调性比较大小.
考向一　奇偶性与单调性问题
例3 (1)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　 )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
(2)若幂函数f(x)=q(q∈R,p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在定义域上是偶函数,则p+q= (　 )
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则下列说法正确的是 (　 )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.函数f(x)为奇函数
D.若0
变式 (1)设a>0,函数f(x)=log2(ax2-x)在区间(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　 (　 )
A.0C.a≥1 D.a≥
(2)已知f(x)=(m2-m-1)xm+4是幂函数,且对任意的x1,x2∈R,x1≠x2,都有>0,则不等式f(log2x)<8的解集为 (　 )
A.(0,4) B.(4,+∞)
C. D.
(3)(多选题)设函数f(x)=lox,则下列说法中正确的是 (　 )
A.函数y=f(|x|)为偶函数
B.若f(a)=|f(b)|,其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1
C.函数y=f(-x2+2x)在(1,3)上为增函数
D.若0(4)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值为　　　　.
考向二　比较大小
例4 (1)[2022·全国甲卷] 已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 (　 )
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
(2)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是 (　 )
A.cC.a变式 (1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　 )
A.aC.a(2)[2023·长春东北师大附中高一月考] 已知f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,设a=30.3,b=,c=log40.3,则(　 )
A.f(c)>f(a)>f(b)
B.f(a)>f(c)>f(b)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(a)>f(b)>f(c)
◆ 题型四　函数的综合应用
[类型总述] (1)指、对数函数与一元二次函数求值域的综合应用;(2)基本初等函数的综合应用.
例5 已知函数f(x)=lo为奇函数.
(1)求常数k的值;
(2)判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性;
(3)求函数f(x)在[4,+∞)上的取值范围.
变式 已知幂函数f(x)=(m∈Z)是奇函数,且f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)求函数y=[log2f(x)]2-[2f(x)],x∈的最值.
◆ 题型五　函数模型及其应用
[类型总述] (1)已知函数模型解应用题;(2)选择函数模型解应用题.
例6 (1)[2024·北京通州区高一期末] 国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的,如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分,图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L:4.0,4.1,4.2,…,对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V:0.1,0.12,0.15,….已知标准对数记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=K+lg V(K为常数).某同学测得视力的小数记录法数据为0.6,则其标准对数记录法的数据约为
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　 )
A.4.8 B.4.9
C.5.0 D.5.1
(2)某种食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)近似满足函数关系y=3kx+b(k,b为常数),若该食品在0 ℃的保鲜时间是288小时,在5 ℃的保鲜时间是144小时,则该食品在15 ℃的保鲜时间近似是 (　 )
A.32小时 B.36小时
C.48小时 D.60小时
变式 [2023·辽宁锦州高一期末] 水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国,现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;
(2)求最先投放的水葫芦覆盖面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦覆盖面积是当初投放的1000倍.(共44张PPT)
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◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.函数与的图象关于直线对称，则 .( )
√
[解析] 与互为反函数，所以 .
2.幂函数的图象都不过第二、四象限.( )
×
[解析] 幂函数 的图象过第二象限.
3.函数的反函数的值域为 .( )
×
[解析] 函数的反函数的值域是原函数的定义域，故 的反函数
的值域为 .
4.若满足方程，则的值是2或 .( )
×
[解析] 根据题意得，解得或.又且 ，所
以 .
5.函数的单调递减区间是 .( )
×
[解析] 函数在上单调递增，在 上单调递减，而
在上单调递减，根据复合函数的单调性知，在 上
单调递减，在 上单调递增.
6.已知实数，，，则，， 的大小关系是
.( )
×
[解析] ，，，故
7.方程 有两个不同的实根.( )
√
[解析] 设， ，作出它们的图象，
如图所示.由图可知两函数图象有两个不同的交点，故方
程有两个不同的实根.
8.某物体一天中的温度是时间的函数，,
表示中午,其后取正值,则下午3：00该物体的温度为 .( )
√
[解析] 下午3:00时，,将代入函数解析式,得 .
题型一 指数式、对数式的运算
［类型总述］（1）有理指数幂的运算;（2）对数式的运算.
例1（1） 化简 的值为( )
B
A.1 B.2 C.4 D.6
[解析] 原式 ，
故选B.
（2） ___.
[解析] 原式 .
变式（1） （多选题）若， ，则( )
AD
A. B. C. D.
[解析] ，，， ，
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.故选 .
（2） ____.
[解析] 原式 .
（3）[2023·四川德阳五中高一月考] 已知函数， ，
则 __________.
[解析] .
题型二 函数图象的应用
［类型总述］（1）作与基本初等函数有关的函数的图象;（2）根据已知函数的
图象判断函数的图象;（3）函数图象的应用.
例2（1） [2024·重庆铁路中学高一期末]已知函数 则方
程 的解的个数是( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 作出函数与 的图象，如
图所示，
由图可知与 的图象有3个交点，
故方程 的解的个数是3.故选D.
（2）函数 的零点个数为 ( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 令，得 ，即
，在同一直角坐标系中作出函数
与 的图象，如图所示，由图可知，
两个函数的图象的交点个数为2，故函数
有2个零点.故选C.
（3）若函数且的值域是 ，
则实数 的取值范围是______.
[解析] 函数的大致图象如图所示. 当时，， 要使
在上的值域是，只需当时， ，
解得 .
变式（1） 已知函数， ，构造函数
则 ( )
C
A.有最小值0，无最大值 B.无最小值，有最大值1
C.有最小值 ，无最大值 D.无最小值，也无最大值
[解析] 在同一坐标系中作出 ，
与 的图象，然后根据定义得
出 的图象，如图中实线部分所示，由图可
知有最小值 ，无最大值.
（2）如图，为坐标原点，点，若函数
且及且的图象与线段
分别交于点，，且，恰好是线段 的两个三等分点，
则， 满足( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题图可知，函数与均为减函数，所以 ，
.因为为坐标原点，点，所以直线为直线 ，
因为的图象经过点，所以它的反函数的图象也经过点 ，
又因为的图象经过点，所以根据对数函数的图象和性质可得 ，
故 .
题型三 函数性质的综合应用
［类型总述］（1）判断与基本初等函数有关的函数的奇偶性;（2）基本初等函
数的单调性判断及应用;（3）利用单调性比较大小.
考向一 奇偶性与单调性问题
例3（1） 已知函数在上单调递增，则 的取值
范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由得或，所以 的定义域为
.因为在 上单调递增，所以
在上单调递增，所以 .故选D.
（2）若幂函数在 上是增函数，且在定
义域上是偶函数，则 ( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 幂函数在 上是增函数,且在定
义域上是偶函数,,且为正的偶数,易知 的最大值
为4，此时，当时，不为整数，， .
故选C.
（3）（多选题）已知幂函数的图象经过点 ，则下列说法正确的是
( )
ABD
A.函数 为增函数
B.函数的值域为
C.函数 为奇函数
D.若，则
[解析] 设 ，因为幂函数的图象经过点，所以 ，解
得，所以.易知函数的定义域为 ，单调递
增，值域为，是非奇非偶函数，故A，B正确，C错误；
当 时， ，
所以，故D正确.故选 .
变式（1） 设，函数在区间 上单调递增，则
实数 的取值范围是 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在区间 上单调递增，所以
在区间上单调递增，且在 上恒成立，
所以解得 .故选C.
（2）已知是幂函数，且对任意的,, ，
都有，则不等式 的解集为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为是幂函数，所以 ，解得
或.因为对任意的,,，都有 ,所以函数
是增函数.当时，，该函数在 上不单调，不符合题意；
当时，，该函数在上为增函数.所以 等价于
，所以，解得 .
（3）（多选题）设函数 ,则下列说法中正确的是( )
ABD
A.函数 为偶函数
B.若,其中,,,则
C.函数在 上为增函数
D.若,则
[解析] 由,，得 ,
,为偶函数，故A正确；
若 ,其中,,,则,
,,故B正确;
,由,
解得, 函数的定义域为，因此在 上不具有单调性，故C不正确；
若,则 , ,故
,即
,故D正确.故选 .
（4）若函数满足,且 在
上单调递增,则实数 的最小值为___.
[解析] 由知的图象关于直线对称，所以 ，
即，所以在上为减函数，在 上为增函数，故
，即实数 的最小值为1.
考向二 比较大小
例4（1） [2022· 全国甲卷]已知,, ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由可得 .因为
，所以 ，即
，所以 .
又，所以，即 ，
所以.综上可得， .故选A.
（2）已知，， ，则下列判断正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，即 .故选C.
变式（1） 已知定义在上的函数（ 为实数）为偶函数，
记，,,则,, 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为函数是偶函数，所以 ，所以
，
，，所以 .
（2）[2023·长春东北师大附中高一月考]已知是定义域为 的偶函数，且在
上单调递增，设，， ，则( )
A
A. B.
C. D.
[解析] ， ,
，， 函数 是偶函数，且在区间
上单调递增，在上单调递减， ，
.故选A.
题型四 函数的综合应用
［类型总述］（1）指、对数函数与一元二次函数求值域的综合应用；（2）基
本初等函数的综合应用.
例5 已知函数 为奇函数.
（1）求常数 的值；
解： 函数 为奇函数，，即
,化简得 ,
即，即，解得 ,
当时，无意义，故 .
（2）判断函数在 上的单调性;
解：由（1）知 ，
设，，任取，，且 ,
则 ,
， ，
,,, ，故函数 在
上单调递减.
又函数是减函数，由复合函数的单调性可得，函数在 上单
调递增.
（3）求函数在 上的取值范围.
解：由（2）知，函数在 上单调递增，
函数在 上也单调递增，
令，，则, ，故函数
在上的取值范围为 .
变式 已知幂函数是奇函数，且在 上为
增函数.
（1）求的值，并确定 的解析式；
解：因为幂函数在 上为增函数，
所以，即 ，
解得，又，所以或 .
当时，，满足，因此 是奇函数，
满足题意；当时，，显然 是偶函数，不满足题
意. 综上可得，， .
（2）求函数， 的最值.
解：因为，所以 .
令，因为，所以 ，
所以， ，
所以，在上单调递减，在 上单调递增.
当时，；当时，；当时， . 故所求函数的最
大值为13，最小值为 .
题型五 函数模型及其应用
［类型总述］（1）已知函数模型解应用题;（2）选择函数模型解应用题.
例6（1） [2024·北京通州区高一期末]国家标准对数视力表
是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，
如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分，图中左边一列
数据为标准对数记录法记录的近似值，， ，
，对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值
，，， .已知标准对数记录法的数据 和
A
A.4.8 B.4.9 C.5.0 D.5.1
小数记录法的数据满足（ 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数
据为，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：， ）
( )
[解析] 由题意可知，则，所以 .将
代入，得
.故选A.
（2）某种食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位： ）近似满足
函数关系（，为常数），若该食品在 的保鲜时间是288小时，在
的保鲜时间是144小时，则该食品在 的保鲜时间近似是( )
B
A.32小时 B.36小时 C.48小时 D.60小时
[解析] 由题意知所以当 时，
.故选B.
变式 [2023·辽宁锦州高一期末] 水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引
入中国，现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物
生长.某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来
越快，经过2个月其覆盖面积为，经过3个月其覆盖面积为 .现水葫芦
覆盖面积（单位：）与经过时间 个月的关系有两个函数模型
与 可供选择.
（参考数据：,,, ）
解：的增长速度越来越快， 的增长
速度越来越慢， 应选函数模型 ，
则解得 .
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；
（2）求最先投放的水葫芦覆盖面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦覆盖面
积是当初投放的1000倍.
解：当时， ，
设经过 个月该水域中水葫芦覆盖面积是当初投放的1000倍，
则 ， .
故最先投放的水葫芦覆盖面积为 ,约经过17个月该水域中水葫芦覆盖面积是
当初投放的1000倍.

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