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本章总结提升
【知识辨析】
1.√　[解析] 简单随机抽样是从总体中逐个抽取的,是一种不放回抽样.
2.×　[解析] 中年职工占总数的=,故抽到中年职工的可能性为.
3.×　[解析] 若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数.一组数据中的众数可以有一个,也可以有多个.
4.×　[解析] 该组数据的中位数为=9.5.
5.×　[解析] 在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各分组内的频率用相应小长方形的面积来表示.
6.×　[解析] 能反映一组数据离散程度的特征量有极差、方差、标准差.
7.×　[解析] 若两类技工的人数相同,则两类技工的月平均工资是5500元;若两类技工的人数不同,则两类技工的月平均工资不是5500元.
8.√　[解析] 根据p%分位数的定义可知正确.
9.×　[解析] 当事件A与事件B 对立时,P(A)=1-P(B).
10.×　[解析] 当A∩B= ,且P(A)+P(B)=1时,事件A与事件B一定是对立事件.
【素养提升】
题型一
例1　(1)B　(2)C　[解析] (1)依题意,分层抽样的抽样比为=,则应从72名男员工中抽取72×=9(人),所以应从女员工中抽取的人数是15-9=6.故选B.
(2)根据题意,选出来的5个个体的编号依次是08,02,14,07,43.故选C.
变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)由题意得=,解得k=2,所以丙产品抽取的件数为×120=36.故选C.
(2)由题意,设全班人数为a,由扇形统计图可知,一等奖占5%,二等奖占10%,三等奖占30%,参与奖占55%.获得参与奖的人数最多,故A中说法正确;一等奖的费用为5%a×18=0.9a,二等奖的费用为10%a×8=0.8a,三等奖的费用为30%a×4=1.2a,参与奖的费用为55%a×2=1.1a,可知各个奖项中三等奖的总费用最高,故B中说法错误;购买每件奖品费用的平均数为5%×18+10%×8+30%×4+55%×2=4,故C中说法正确;一等奖奖品数为5%a,二等奖奖品数为10%a,三等奖奖品数为30%a,故D中说法正确.故选B.
题型二
例2　(1)A　[解析] 对于A,这组数据的平均数==7,故A中说法错误;对于B,因为这组数据中7是出现频数最多的数据,所以这组数据的众数为7,故B中说法正确;对于C,这组数据中最大的为10,最小的为4,则极差为10-4=6,故C中说法正确;对于D,将这组数据从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,由10×75%=7.5,得这组数据的75%分位数为9,故D中说法正确.故选A.
(2)解:①由0.005×10+0.010×10+0.020×10+a×10+0.025×10+0.010×10=1,解得a=0.030.
四分位数分别为25%分位数,50%分位数,75%分位数.
设25%分位数为x,则0.005×10+0.010×10+(x-60)×0.020=0.25,解得x=65.
设50%分位数为y,则0.005×10+0.010×10+0.020×10+(y-70)×0.030=0.5,解得y=75.
设75%分位数为m,则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×10+(m-80)×0.025=0.75,解得m=84.
所以样本成绩的四分位数分别为65,75,84.
②由图可知,成绩在[60,70)内被抽取的市民人数为100×0.2=20,
成绩在[70,80)内被抽取的市民人数为100×0.3=30,
所以==71,
s2=×{20×[11+(65-71)2]+30×[16+(75-71)2]}=38.
变式　BCD　[解析] 设7天数据中,最小值为a,最大值为b.对于A,数据1,1,1,4,5,6,7满足众数为1且中位数为4,但不满足“每天新增疑似病例不超过5人”,故A错误;对于B,若数据的平均数为3,则其数据的最小值a≤3,又极差小于或等于2,所以数据中的最大值b≤5,故B正确;对于C,标准差为,则其方差为2,假设b≥6,则方差大于=,与标准差为矛盾,故必有b≤5,故C正确;对于D,假设b≥6,其中位数为3,则平均数的最小值为×(0+0+0+3+3+3+6)=>2,与平均数为2矛盾,故必有b≤5,故D正确.故选BCD.
题型三
例3　解:(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图如图所示.
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
A地区用户的满意度等级为不满意的概率约为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,B地区用户的满意度等级为不满意的概率约为(0.005+0.02)×10=0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
变式　解: (1)0.005∶0.010∶0.020∶0.015=1∶2∶4∶3,
采用分层抽样的方法从这200位教师中抽取一个容量为20的样本,则在[20,40)中抽取2位教师,在[40,60)中抽取4位教师,在[60,80)中抽取8位教师,在[80,100]中抽取6位教师.
(2)该校教师的通讯费用在80元以下的频率为0.005×20+0.01×20+0.02×20=0.7,
该校教师的通讯费用在[80,100]内的频率为1-0.7=0.3,
所以该校教师的通讯费用的80%分位数在[80,100]内,
所以80+20×≈86.67,
故估计该校教师的通讯费用的80%分位数为86.67.
(3)估计该校教师的通讯费用的众数为70.
估计该校教师的通讯费用的平均数为30×0.005×20+50×0.010×20+70×0.020×20+90×0.015×20=68.
题型四
例4　解:(1)设事件A为赔付金额为3000元,事件B为赔付金额为4000元,以频率估计概率得P(A)==0.15,
P(B)==0.12.由于投保金额为2800元,所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设事件C为投保车辆中新司机获赔4000元.由已知得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆),而赔付金额为4000元的样本车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.
变式　(1)　[解析] 甲夺得冠军与乙夺得冠军不可能同时发生,因此它们是互斥事件,故所求事件的概率为+=.
(2)解:①由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,获得好评的第四类电影的部数是200×0.25=50.故所求概率为=0.025.
②增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
题型五
例5　解:(1)用数字m(m∈{1,2,3,4,5,6})表示一号骰子出现的点数,用数字n(n∈{1,2,3,4,5,6})表示二号骰子出现的点数,用(m,n)表示这个试验的一个样本点,则这个试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},样本空间Ω中共有36个样本点,由于骰子的质地均匀,因此各个样本点出现的可能性相等,所以这个试验是古典概型.
(2)①由(1)知,事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,所以P(A)==.
②事件B包含的样本点有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),共15个,所以P(B)==.
变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)该试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,事件“第一次取出的号码为奇数,第二次取出的号码为偶数”包含的样本点有(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4),共6个,故所求概率P==.故选D.
(2)设“黄鹤楼公园”为A,“武汉归元寺”为B,“武汉博物馆”为C,设(A,B,C)表示甲班级参观A景区,乙班级参观B景区,丙班级参观C景区.则样本空间包含(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6个样本点,其中甲班级不参观“武汉归元寺”包含的样本点有(A,B,C),(A,C,B),(C,A,B),(C,B,A),共4个,则甲班级不参观“武汉归元寺”的概率P==.故选D.
题型六
例6　(1)C　(2)D　[解析] 该试验的样本空间列表如下:
　乙 甲　 AB AC AD BC BD CD
AB (AB,AB) (AB,AC) (AB,AD) (AB,BC) (AB,BD) (AB,CD)
AC (AC,AB) (AC,AC) (AC,AD) (AC,BC) (AC,BD) (AC,CD)
AD (AD,AB) (AD,AC) (AD,AD) (AD,BC) (AD,BD) (AD,CD)
BC (BC,AB) (BC,AC) (BC,AD) (BC,BC) (BC,BD) (BC,CD)
BD (BD,AB) (BD,AC) (BD,AD) (BD,BC) (BD,BD) (BD,CD)
CD (CD,AB) (CD,AC) (CD,AD) (CD,BC) (CD,BD) (CD,CD)
该试验的样本空间共包含36个样本点.
由题可知事件M包含24个样本点,则P(M)==;
事件N包含6个样本点,则P(N)==;
事件X包含6个样本点,则P(X)==;
事件Y包含9个样本点,则P(Y)==;
事件MN包含0个样本点,则P(MN)==0;
事件XY包含3个样本点,则P(XY)==;
事件MY包含6个样本点,则P(MY)==;
事件NY包含0个样本点,则P(NY)==0.
因为P(M)·P(N)≠P(MN),所以事件M与事件N不相互独立,故A错误;
因为P(X)·P(Y)≠P(XY),所以事件X与事件Y不相互独立,故B错误;
因为P(M)·P(Y)=P(MY),所以事件M与事件Y相互独立,故C正确;
因为P(N)·P(Y)≠P(NY),所以事件N与事件Y不相互独立,故D错误.故选C.
(2)该试验的样本空间共包含6×6=36(个)样本点.A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},共包含6个样本点,则P(A)==;B={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含9个样本点,则P(B)==;C={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含18个样本点,则P(C)==.对于A,当x=y=2时,x+y=4≠7,xy=4不为奇数,即A和B可以同时不发生,所以A与B不对立,故A错误;对于B,B∩C={(5,1),(5,3),(5,5)},则P(B∩C)==,故B错误;对于C,因为P(B)P(C)=×=≠P(B∩C),所以B与C不相互独立,故C错误;对于D,A∩C={(4,3),(5,2),(6,1)},则P(A∩C)==,因为P(A)P(C)=×=,所以P(A∩C)=P(A)P(C),所以A与C相互独立,故D正确.故选D.
变式　解:(1)设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个、2个成语,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个、2个成语.
则P(A1)=2××=,P(A2)==,
P(B1)=2××=,P(B2)==.
设事件M:两轮活动“星队”猜对3个成语,则M=A1B2∪A2B1,因为A1B2与A2B1互斥,
所以P(M)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=,
故“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
(2)由(1)知甲两轮猜对0个、1个、2个成语的概率分别为p0=(1-p)2,p1=2p(1-p),p2=p2,
乙两轮猜对0个、1个、2个成语的概率分别为q0=,q1=,q2=.
因为甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为p0×q2+p1×q1+p2×q0=(1-p)2+×2p(1-p)+p2=,整理得p2=,又0判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.简单随机抽样是不放回抽样. (　 )
2.某企业共有3200名职工,其中青年职工、中年职工、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本, 则抽到中年职工的可能性为. (　 )
3.一组数据一定存在众数,且不可能有两个众数. (　 )
4.若一组数据为10,15,8,13,7,9,20,5,则这组数据的中位数为10. (　 )
5.在频率分布直方图中,数据落在每个分组的频率等于相应小长方形的高度. (　 )
6.能反映一组数据离散程度的特征量有众数、方差、标准差. (　 )
7.某企业一级技工的月平均工资为6200元,二级技工的月平均工资为4800元,则该企业这两类技工的月平均工资为5500元. (　 )
8.20%分位数的含义是总体数据中任意一个数小于或等于它的可能性是20%. (　 )
9.若事件A与事件B互斥,则P(A)=1-P(B). (　 )
10.若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件.(　 )
◆ 题型一　抽样方法的学习与应用
[类型总述] (1)用简单随机抽样抽取样本;(2)用分层抽样抽取样本.
例1 (1)某公司有120名员工,其中男员工有72名,为做某项调查,采用分层抽样的方法抽取一个容量为15的样本,则应从女员工中抽取的人数是(　 )
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表法(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行第9列的数字开始向右读取,则选出来的第4个个体的编号为 (　 )
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 98
32 04 92 43 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A.05 B.09 C.07 D.20
变式 (1)某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品,产品数量之比依次为k∶5∶3,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知甲产品抽取了24件,则丙产品抽取的件数为(　 )
A.24 B.30
C.36 D.40
(2)某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖,各个奖品的单价分别为一等奖18元、二等奖8元、三等奖4元、参与奖2元,获奖人数的分配情况如图所示.则下列说法中不正确的是(　 )
A.获得参与奖的人数最多
B.各个奖项中参与奖的总费用最高
C.购买每件奖品费用的平均数为4
D.购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍
◆ 题型二　数据的数字特征
[类型总述] 求数据的数字特征.
例2 (1)[2024·长沙高一期末] 某公司为了解用户对其产品的满意度,随机调查了10个用户,得到用户对产品的满意度评分如下表所示,评分用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高,则下列说法错误的是 (　 )
7 8 9 7 5 4 10 9 4 7
A.这组数据的平均数为6
B.这组数据的众数为7
C.这组数据的极差为6
D.这组数据的75%分位数为9
(2)[2024·江西景德镇高一期末] 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
①求频率分布直方图中a的值和样本成绩的四分位数;
②已知成绩落在[60,70)内的平均数是65,方差是11,成绩落在[70,80)内的平均数为75,方差是16,求两组成绩的总平均数和总方差s2.
变式 (多选题)[2024·山东潍坊高一期末] 在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日,每天新增疑似病例不超过5人”.根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息,下列各项中,一定没有发生大规模群体感染的是(　 )
A.众数为1且中位数为4
B.平均数为3且极差小于或等于2
C.标准差为且平均数为2
D.平均数为2且中位数为3
◆ 题型三　用样本估计总体
[类型总述] (1)用样本的数字特征估计总体的数字特征;(2)用样本的分布估计总体的分布.
例3 (1)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和B地区用户满意度评分的频数分布表.
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 分分组 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
频数 2 8 14 10 6
(1)在图中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率(用频率估计概率)大 并说明理由.
变式 某校全体教师的通讯费用(单位:元)的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)若该校有200位教师,采用分层抽样的方法从这200位教师中抽取一个容量为20的样本,求每组应抽取的样本量;
(2)估计该校教师的通讯费用的80%分位数(结果保留两位小数);
(3)估计该校教师的通讯费用的众数和平均数.
◆ 题型四　互斥事件与对立事件的概率及应用
[类型总述] (1)随机事件的关系与运算;(2)互斥事件;(3)对立事件.
例4 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样,得到的样本中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
变式 (1)甲、乙两名运动员参加乒乓球单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么甲、乙两人中有一人夺得乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
(2)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一 类 第二 类 第三 类 第四 类 第五 类 第六 类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
①从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
②电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大 (只需写出结论)
◆ 题型五　古典概型的概率求解
[类型总述] (1)每个样本点出现的概率;(2)古典概型的概率公式.
例5 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为一号和二号),观察两枚骰子分别可能出现的结果.
(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型.
(2)求下列事件的概率.
①事件A:两个点数之和是5;
②事件B:一号骰子的点数比二号骰子的点数大.
变式 (1)一个袋子中有号码分别为1,2,3,4,5的五个除号码外没有其他差异的小球,现从袋中任取一个球,取出后不放回,再从袋中任取一个球,则第一次取出的号码为奇数,第二次取出的号码为偶数的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(2)某校高三甲、乙、丙三个班级决定组织学生前去武汉参观“黄鹤楼公园”“武汉归元寺”“武汉博物馆”,若每个班级只参观一处景区,则甲班级不参观“武汉归元寺”的概率为 (　 )
A. B. C. D.
◆ 题型六　相互独立事件的概率
[类型总述] (1)统计在实际中的应用;(2)概率在实际中的应用.
例6 (1)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取2个选项.设事件M:甲、乙两人所选选项恰有一个相同,事件N:甲、乙两人所选选项完全不同,事件X:甲、乙两人所选选项完全相同,事件Y:甲、乙两人均未选择B选项,则 (　 )
A.事件M与事件N相互独立
B.事件X与事件Y相互独立
C.事件M与事件Y相互独立
D.事件N与事件Y相互独立
(2)同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子,用x表示红色骰子的点数,y表示绿色骰子的点数,设事件A:x+y=7,事件B:xy为奇数,事件C:x>3,则下列结论正确的是 (　 )
A.A与B对立
B.P(B∩C)=
C.B与C相互独立
D.A与C相互独立
变式 [2023·湖北孝感高一期末] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为p(0(1)当p=时,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;
(2)若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为,求p的值.(共46张PPT)
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◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.简单随机抽样是不放回抽样.( )
√
[解析] 简单随机抽样是从总体中逐个抽取的，是一种不放回抽样.
2.某企业共有3200名职工,其中青年职工、中年职工、老年职工的比例为3∶5∶2.
若从所有职工中抽取一个容量为400的样本, 则抽到中年职工的可能性为 .( )
×
[解析] 中年职工占总数的，故抽到中年职工的可能性为 .
3.一组数据一定存在众数，且不可能有两个众数.( )
×
[解析] 若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数.一
组数据中的众数可以有一个，也可以有多个.
4.若一组数据为10，15，8，13，7，9，20，5，则这组数据的中位数为10.( )
×
[解析] 该组数据的中位数为 .
5.在频率分布直方图中，数据落在每个分组的频率等于相应小长方形的高度. ( )
×
[解析] 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各分组内的频率用相应
小长方形的面积来表示.
6.能反映一组数据离散程度的特征量有众数、方差、标准差.( )
×
[解析] 能反映一组数据离散程度的特征量有极差、方差、标准差.
7.某企业一级技工的月平均工资为6200元，二级技工的月平均工资为4800元，
则该企业这两类技工的月平均工资为5500元.( )
×
[解析] 若两类技工的人数相同，则两类技工的月平均工资是5500元；若两类技
工的人数不同，则两类技工的月平均工资不是5500元.
8.分位数的含义是总体数据中任意一个数小于或等于它的可能性是 . ( )
√
[解析] 根据 分位数的定义可知正确.
9.若事件与事件互斥，则 ( )
×
[解析] 当事件与事件对立时， .
10.若，则事件与事件 一定是对立事件.( )
×
[解析] 当 ，且时，事件与事件 一定是对立事件.
题型一 抽样方法的学习与应用
［类型总述］（1）用简单随机抽样抽取样本；（2）用分层抽样抽取样本.
例1（1） 某公司有120名员工，其中男员工有72名，为做某项调查，采用分层
抽样的方法抽取一个容量为15的样本，则应从女员工中抽取的人数是( )
B
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 依题意，分层抽样的抽样比为 ，则应从72名男员工中抽取
（人），所以应从女员工中抽取的人数是 .故选B.
（2）总体由编号为01,02,03, ,49,50的50个个体组成,利用随机数表法
（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体,选取方法是从随机数
表第1行第9列的数字开始向右读取,则选出来的第4个个体的编号为( )
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 98
32 04 92 43 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
C
A.05 B.09 C.07 D.20
[解析] 根据题意,选出来的5个个体的编号依次是08,02,14,07,43.故选C.
变式（1） 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为
，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知甲产品抽取了24
件，则丙产品抽取的件数为( )
C
A.24 B.30 C.36 D.40
[解析] 由题意得,解得 ,所以丙产品抽取的件数为
.故选C.
（2）某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一
等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单
价分别为一等奖18元、二等奖8元、三等奖4元、参
与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示.则下列说
法中不正确的是( )
B
A.获得参与奖的人数最多
B.各个奖项中参与奖的总费用最高
C.购买每件奖品费用的平均数为4
D.购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍
[解析] 由题意，设全班人数为，由扇形统计图可知，一等奖占 ，二等奖占
，三等奖占，参与奖占 .获得参与奖的人数最多，故A中说法正确；
一等奖的费用为，二等奖的费用为 ，三等奖
的费用为，参与奖的费用为 ，可知各个奖项
中三等奖的总费用最高，故B中说法错误；
购买每件奖品费用的平均数为 ，
故C中说法正确；
一等奖奖品数为，二等奖奖品数为，三等奖奖品数为 ，故D中说
法正确.故选B.
题型二 数据的数字特征
［类型总述］ 求数据的数字特征.
例2（1） [2024·长沙高一期末]某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调
查了10个用户，得到用户对产品的满意度评分如下表所示，评分用区间
内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，则下列说法错误的是 ( )
7 8 9 7 5 4 10 9 4 7
A
A.这组数据的平均数为6 B.这组数据的众数为7
C.这组数据的极差为6 D.这组数据的 分位数为9
[解析] 对于A，这组数据的平均数 ，故A中说法
错误；
对于B，因为这组数据中7是出现频数最多的数据，所以这组数据的众数
为7，故B中说法正确；
对于C，这组数据中最大的为10，最小的为4，则极差为 ，故C中说
法正确；
对于D，将这组数据从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10，由，得
这组数据的 分位数为9，故D中说法正确.故选A.
（2）[2024·江西景德镇高一期末] 文明城市是反映
城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市
民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的
主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，
举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随
①求频率分布直方图中 的值和样本成绩的四分位数；
机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）
分成六组：, , , 得到如图所示的频率分布直方图.
解：由，解得 .四分位数分别为分位数，分位数， 分位数.
设分位数为，则 ,解得
.
设分位数为 ,则,解得 .
设分位数为 ,则
,
解得 .
所以样本成绩的四分位数分别为65，75，84.
②已知成绩落在内的平均数是65，方差是11，成绩落在 内的平均
数为75，方差是16，求两组成绩的总平均数和总方差 .
解：由图可知，成绩在内被抽取的市民人数为 ，
成绩在内被抽取的市民人数为 ，
所以 ，
.
变式 （多选题）[2024 山东潍坊高一期末] 在发生某公共卫生事件期间，有专
业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，
每天新增疑似病例不超过5人”.根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列
各项中，一定没有发生大规模群体感染的是( )
BCD
A.众数为1且中位数为4 B.平均数为3且极差小于或等于2
C.标准差为 且平均数为2 D.平均数为2且中位数为3
[解析] 设7天数据中，最小值为,最大值为 .对于A，数据1，1，1，4，5，6，7
满足众数为1且中位数为4，但不满足“每天新增疑似病例不超过5人”，故A错误；
对于B，若数据的平均数为3，则其数据的最小值 ，又极差小于或等于2，
所以数据中的最大值，故B正确；
对于C，标准差为 ，则其方差为2，假设，则方差大于，与标
准差为矛盾，故必有 ，故C正确；
对于D，假设 ，其中位数为3，则平均数的最小值为
，与平均数为2矛盾，故必有 ，故
D正确.故选 .
题型三 用样本估计总体
［类型总述］（1）用样本的数字特征估计总体的数字特征;（2）用样本的分布
估计总体的分布.
例3 （1）某公司为了了解用户对其产品
的满意度，从， 两地区分别随机调查了
40个用户，根据用户对产品的满意度评分，
得到 地区用户满意度评分的频率分布直方
图（如图）和 地区用户满意度评分的频数
分布表.
地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
频数 2 8 14 10 6
（1）在图中作出 地区用户满意度评
分的频率分布直方图，并通过直方图
比较两地区满意度评分的平均值及分
散程度（不要求计算出具体值，给出
结论即可）.
解： 地区用户满意度评分的频率分布直方图如图所示.
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出， 地区用户满意度评分
的平均值高于地区用户满意度评分的平均值； 地区用户满意度评分比较集中，
而 地区用户满意度评分比较分散.
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率（用频率估计概率）大？并说
明理由.
解： 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
A地区用户的满意度等级为不满意的概率约为 ，
地区用户的满意度等级为不满意的概率约为 .
所以 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
变式 某校全体教师的通讯费用
（单位：元）的频率分布直方图如图所示，
数据分组依次为 ，
， .
（1）若该校有200位教师，采用分层抽样的方法从这200位教师中抽取一个容量
为20的样本，求每组应抽取的样本量；
解： ，
采用分层抽样的方法从这200位教师中抽取一个容量为20的样本，则在 中
抽取2位教师，在中抽取4位教师，在中抽取8位教师，在
中抽取6位教师.
（2）估计该校教师的通讯费用的 分位数（结果保留两位小数）；
解：该校教师的通讯费用在80元以下的频率为
，
该校教师的通讯费用在内的频率为 ，
所以该校教师的通讯费用的分位数在 内，
所以 ，
故估计该校教师的通讯费用的 分位数为86.67.
（3）估计该校教师的通讯费用的众数和平均数.
解：估计该校教师的通讯费用的众数为70.
估计该校教师的通讯费用的平均数为
.
题型四 互斥事件与对立事件的概率及应用
［类型总述］（1）随机事件的关系与运算；（2）互斥事件；（3）对立事件.
例4 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，得到的样本中
每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元） 0 1000 2000 3000 4000
车辆数（辆） 500 130 100 150 120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
解：设事件为赔付金额为3000元，事件 为赔付金额为4000元，以频率估计概
率得 ，
.由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率
为 .
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占 ，在赔付金额为4000元的样本车辆
中，车主是新司机的占 ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元
的概率.
解：设事件 为投保车辆中新司机获赔4000元.由已知得样本车辆中车主为新司
机的有 （辆），而赔付金额为4000元的样本车辆中，车主为新
司机的有 （辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元
的频率为.由频率估计概率得 .
变式（1） 甲、乙两名运动员参加乒乓球单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，
乙夺得冠军的概率为 ，那么甲、乙两人中有一人夺得乒乓球单打冠军的概率为
___.
[解析] 甲夺得冠军与乙夺得冠军不可能同时发生，因此它们是互斥事件，故所
求事件的概率为 .
（2）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
①从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影
的概率；
解：由题意知，样本中电影的总部数是
，获得好评的第四类电影的部数是
.故所求概率为 .
②电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评
率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影
的好评率增加，哪类电影的好评率减少 ，使得获得好评的电影总部数与样
本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
解：增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
题型五 古典概型的概率求解
［类型总述］（1）每个样本点出现的概率；（2）古典概型的概率公式.
例5 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能
出现的结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型.
解：用数字 表示一号骰子出现的点数，用数字
表示二号骰子出现的点数，用 表示这个试验的一个样
本点，则这个试验的样本空间,，样本空间 中
共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，因此各个样本点出现的可能性相等，
所以这个试验是古典概型.
（2）求下列事件的概率.
①事件 两个点数之和是5；
解： 由（1）知，事件包含的样本点有,,, ，共4个，所以
.
②事件 一号骰子的点数比二号骰子的点数大.
解： 事件包含的样本点有,,,,,,,, ,
,,,,,，共15个，所以 .
变式（1） 一个袋子中有号码分别为1,2,3,4,5的五个除号码外没有其他差异的
小球，现从袋中任取一个球，取出后不放回，再从袋中任取一个球，则第一次
取出的号码为奇数，第二次取出的号码为偶数的概率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 该试验的样本空间,,,,,,, ,
,,,,,,,,,,, ,共包含20个
样本点,事件“第一次取出的号码为奇数,第二次取出的号码为偶数”包含的样本点
有,,,,,,共6个，故所求概率 .故选D.
（2）某校高三甲、乙、丙三个班级决定组织学生前去武汉参观“黄鹤楼公园”
“武汉归元寺”“武汉博物馆”，若每个班级只参观一处景区，则甲班级不参观“武
汉归元寺”的概率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设“黄鹤楼公园”为A，“武汉归元寺”为B，“武汉博物馆”为C，设
表示甲班级参观A景区，乙班级参观B景区，丙班级参观C景区.则样本空间包含
，，，，， ，共6个样本点，
其中甲班级不参观“武汉归元寺”包含的样本点有,, ,
,共4个，则甲班级不参观“武汉归元寺”的概率 .故选D.
题型六 相互独立事件的概率
［类型总述］（1）统计在实际中的应用；（2）概率在实际中的应用.
例6（1） 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中和是正确选项， 和
是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选
取2个选项．设事件甲、乙两人所选选项恰有一个相同，事件 甲、乙两人
所选选项完全不同，事件甲、乙两人所选选项完全相同，事件 甲、乙两人
均未选择 选项，则( )
C
A.事件与事件相互独立 B.事件与事件 相互独立
C.事件与事件相互独立 D.事件与事件 相互独立
[解析] 该试验的样本空间列表如下：
乙 甲
该试验的样本空间共包含36个样本点.
由题可知事件包含24个样本点，则 ；
事件包含6个样本点，则 ；
事件包含6个样本点，则 ；
事件包含9个样本点，则 ；
事件包含0个样本点，则 ；
事件包含3个样本点，则 ；
事件包含6个样本点，则 ；
事件包含0个样本点，则 .
因为,所以事件与事件 不相互独立，故A错误；
因为，所以事件与事件 不相互独立，故B错误；
因为，所以事件与事件 相互独立，故C正确；
因为，所以事件与事件 不相互独立，故D错误.故选C.
（2）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数， 表示
绿色骰子的点数，设事件，事件为奇数，事件 ，则
下列结论正确的是( )
D
A.与对立 B. C.与相互独立 D.与 相互独立
[解析] 该试验的样本空间共包含（个）样本点., ,
, ,,，共包含6个样本点，则；, ,
, ,,,,,，共包含9个样本点，则 ；
，，，，，，，，， ，
，，，，，，， ，共包含18个样本点，
则.
对于A，当时，， 不为奇数，即A和B可以同时不
发生，所以A与B不对立，故A错误；
对于B， , ,，则 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以B与C不相互独立，故C错误；
对于D，,,，则，因为
，所以 ，所以A与C相互独立，故D正确.故选D.
变式 [2023·湖北孝感高一期末] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮
活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜
对的概率为 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）当 时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率；
解：设，分别表示甲两轮猜对1个、2个成语，， 分别表示乙两轮猜对
1个、2个成语.
则， ，
， .
设事件两轮活动“星队”猜对3个成语，则，因为 与
互斥，
所以 ，
故“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 .
（2）若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求 的值.
解：由（1）知甲两轮猜对0个、1个、2个成语的概率分别为 ，
， ，
乙两轮猜对0个、1个、2个成语的概率分别为，， .
因为甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为
，
整理得，又，所以 .

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