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本章总结提升
【知识辨析】
1.√　2.×　3.√　4.√　5.×　6.×
7.√　8.×　9.×
【素养提升】
题型一
例1　(1)D　(2)a-b　[解析] (1)由已知得=,=,所以=m+n=+n=m+,所以解得故m+n=.故选D.
(2)由向量加法的平行四边形法则,得=+=a+b,则==(a+b),则+=-+-=-2=a-(a+b)=a-b.
变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)如图所示,
因为=-,=-,所以+=-+-=+-2,又AE∶ED=3∶5,所以=,所以+=+-=+-(+)=-+,又点D是线段BC上靠近点C的三等分点,所以=,所以+=-×+=+-(-)=+.故选B.
(2)如图所示,延长AO,交BC于点D.设=λ,=t,则-==t(-),所以=(1-t)+t,所以=λ[(1-t)+t]=λ(1-t)+λt.又=+,所以解得所以=,所以||=||=||,所以==.故选C.
题型二
例2　(1)C　[解析] 因为向量a=(-2,m),b=(1,n),所以a-b=(-3,m-n),因为(a-b)∥b,|b|=,所以解得或所以m的值为-2或2.故选C.
(2)解:①因为a=(3,2),b=(-1,2),所以2a+3b=(3,10),所以|2a+3b|==.
②方法一:因为a=(3,2),b=(-1,2),
所以ka+b=k(3,2)+(-1,2)=(3k-1,2k+2),2a-b=2(3,2)-(-1,2)=(7,2).
因为(ka+b)∥(2a-b),所以(3k-1)×2=(2k+2)×7,解得k=-2.
方法二:若(ka+b)∥(2a-b),则ka+b=λ(2a-b)=2λa-λb.
∵a与b不共线,∴解得即实数k的值为-2.
例3　解: 设B(x1,y1),C(x2,y2),作出菱形OABC,连接OB,AC,如图.
∵=,且=(2,-5),=(x2-5,y2-2),
∴解得
∵=,且=(5,2),=(x1-5,y1-2),
∴解得
故点B的坐标为(10,4),点C的坐标为(7,-3).
变式　解:由已知得=(1,2),=(3,3),
则=+t=(1+3t,2+3t).
(1)若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;
若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-;
若点P在第二象限,则2+3t>0且1+3t<0,
解得-(2)由题知=(3-3t,3-3t).
若四边形OABP为平行四边形,则=,
即3-3t=1且3-3t=2,这显然是不可能的,所以四边形OABP不可能为平行四边形.
题型三
例4　(1)B　(2)D　[解析] (1)设AB的中点为D,则++=0可化为2+=0,即=-,所以O,D,C三点共线且CD⊥AB,所以△ABC为等腰三角形.设△ABC的外接圆的半径为R,则由=+,得R2=+,可得R=1,则||=1+,所以S△ABC=AB·CD=××=.故选B.
(2)因为||=AB=3,||=AC=2,所以||=||=.设=,=,则||=||,又=+=+,所以AD在∠BAC的平分线上.由于AB≠AC,因此BC边上的中线、高、中垂线都不与∠BAC的平分线重合,故AD经过△ABC的内心,而不经过外心、重心、垂心.故选D.
(3)解:如图. 用表示无风时雨滴下落的速度,表示风使雨滴水平向东的速度,以OA,OB为邻边作矩形OACB,就是雨滴下落的实际速度.在Rt△AOC中,||=4,||=,所以||===.故雨滴着地时的速率为m/s.
变式　解:(1)证明:如图,设D,E,F分别是△ABC的三边BC,AC,AB的中点.
令=a,=b,则=a-b,=a-b,=-a+b.
设AD与BE交于点G,且=λ,=μ,
则有=λa-b,=-a+μb.
又=+=a+(μ-1)b,
∴解得∴=a-b,
则=+=-a+a-b=-a-b=×(-a-b).
又=(-a-b),∴=,
∴点G在CF上,故三角形的三条中线交于一点.
(2)①由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知,
-G=F1+F2. 根据题意作出示意图,如图,
由图得|F1|=, |F2|=|G|·tan θ.
当θ从0°趋近90°时,|F1|, |F2|都逐渐增大.
②令|F1|=≤2|G|,
因为0°≤θ<90°,所以cos θ≥,所以0°≤θ≤60°.
故角θ的取值范围为[0°,60°].本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.已知a,b为两个非零向量,若a,b共线,则一定有b=λa,反之也成立. (　 )
2.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. (　 )
3.若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. (　 )
4.平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.(　 )
5.在四边形ABCD中,若=,则四边形ABCD为矩形. (　 )
6.若向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线. (　 )
7.向量a=(2,3)与向量b=(-4,-6)反向.(　 )
8.坐标平面上的x轴和y轴都是向量. (　 )
9.单位向量都相等. (　 )
◆ 题型一　向量的线性运算
[类型总述] (1)平面向量的加法、减法、数乘运算;(2)平面向量基本定理、共线向量基本定理;(3)根据向量线性运算求参数.
例1 (1)在△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的动点,若AD=2DB,AE=3EC,CD∩BE=F,设=m+n,则m+n= (　 )
A.-　　B.　　C.-　　D.
(2)在平行四边形ABCD中,M是对角线AC上的一点,且=.设=a,=b,则+=　　　　　.(用基底{a,b}表示)
变式 (1)在△ABC中,点D是线段BC上靠近点C的三等分点,点E在线段AD上,AE∶ED=3∶5,则+= (　 )
A.+ B.+
C.+ D.+
(2)若点O是△ABC所在平面内任一点,且满足=+,则△OBC的面积与△ABC的面积的比值为 (　 )
A. B. C. D.
◆ 题型二　平面向量坐标运算
[类型总述] (1)平面向量的线性运算;(2)向量共线的坐标表示.
例2 (1)已知向量a=(-2,m),b=(1,n),若(a-b)∥b,且|b|=,则实数m的值为 (　 )
A.2 B.4
C.-2或2 D.-4或4
(2)已知向量a=(3,2),b=(-1,2).
①求|2a+3b|;
②若(ka+b)∥(2a-b),求实数k的值.
例3 已知四边形OABC为菱形,O为坐标原点,菱形的中心为E(5,2),点A的坐标为(3,7),求菱形的其余顶点B,C的坐标.
变式 已知O(0,0),A(1,2),B(4,5),且=+t,试问:
(1)t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
(2)四边形OABP能否为平行四边形 若能,请求出相应的t的值;若不能,请说明理由.
◆ 题型三　向量的应用
[类型总述] (1)向量在平面几何中的应用;(2)向量在物理中的应用;(3)向量的综合应用.
例4 (1)已知△ABC的外心O满足++=0,||=,则△ABC的面积为 (　 )
A. B.
C. D.2
(2)[2023·云南大理高一期中] 在△ABC中,AB=3,AC=2,=+,则直线AD通过△ABC的 (　 )
A.垂心 B.外心
C.重心 D.内心
(3)雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速率是4 m/s.现在有风,风使雨滴在水平向东的方向以 m/s的速率移动,求雨滴着地时的速率.
变式 (1)用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
(2)如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受的拉力为F1.
①判断|F1|,|F2|随θ的变化而变化的情况;
②当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.(共26张PPT)
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◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.已知,为两个非零向量,若，共线，则一定有 ，反之也成立.( )
√
2.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
×
3.若，不共线，且，则， .( )
√
4.平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这
组基底唯一表示.( )
√
5.在四边形中，若，则四边形 为矩形.( )
×
6.若向量与不共线,向量与不共线,则向量与 不共线.( )
×
7.向量与向量 反向.( )
√
8.坐标平面上的轴和 轴都是向量.( )
×
9.单位向量都相等.( )
×
题型一 向量的线性运算
［类型总述］（1）平面向量的加法、减法、数乘运算；（2）平面向量基本定
理、共线向量基本定理；（3）根据向量线性运算求参数.
例1（1） 在中，，分别为边，上的动点，若 ，
，，设，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由已知得， ,所以
,所以
解得故 .故选D.
（2）在平行四边形中，是对角线上的一点，且 .设
，，则_________.（用基底{， }表示）
[解析] 由向量加法的平行四边形法则，得 ，则
，则
.
变式（1） 在中，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段
上，，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，
因为, ,所以
,又 ，所以
,所以
,
又点D是线段上靠近点C的三等分点，所以 ，所以
.故
选B.
（2）若点是所在平面内任一点，且满足，则
的面积与 的面积的比值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，延长，交于点D.设 ,
,则 ,所以
,所以
.
又 ,所以解得 所以
,所以,所以 .故选C.
题型二 平面向量坐标运算
［类型总述］（1）平面向量的线性运算；（2）向量共线的坐标表示.
例2（1） 已知向量，，若，且 ，则
实数 的值为( )
C
A.2 B.4 C.或2 D. 或4
[解析] 因为向量，，所以 ，因为
，，所以解得或所以 的
值为 或2.故选C.
（2）已知向量, .
①求 ；
解：因为,，所以 ，所以
.
②若，求实数 的值.
解：方法一：因为, ，
所以 ，
.
因为，所以，解得 .
方法二：若，则 .
与不共线，解得即实数的值为 .
例3 已知四边形为菱形，为坐标原点，菱形的中心为，点 的坐
标为，求菱形的其余顶点， 的坐标.
解：设，，作出菱形 ，
连接， ，如图.
，且， ，
解得
，且， ，
解得
故点的坐标为，点的坐标为 .
变式 已知，，，且 ,试问:
解：由已知得, ,
则 .
（1）为何值时，点在轴上？点在轴上？点 在第二象限？
若点在轴上，则,解得 ;
若点在轴上，则,解得 ;
若点在第二象限，则且 ，
解得,即 .
（2）四边形能否为平行四边形？若能，请求出相应的 的值；若不能，请
说明理由.
解： 由题知 .
若四边形为平行四边形，则 ，
即且，这显然是不可能的，所以四边形 不可能为平
行四边形.
题型三 向量的应用
［类型总述］（1）向量在平面几何中的应用；（2）向量在物理中的应用；（3）
向量的综合应用.
例4（1） 已知的外心满足， ，则
的面积为( )
B
A. B. C. D.2
[解析] 设的中点为D，则可化为 ,即
，所以,D,C三点共线且，所以 为等腰三角形.
设的外接圆的半径为，则由，得 ,
可得，则，所以 .
故选B.
（2）[2023·云南大理高一期中]在中，， ，
，则直线通过 的( )
D
A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心
[解析] 因为,,所以 .设
,,则，又 ，所
以在的平分线上.由于,因此 边上的中线、高、中垂线都不与
的平分线重合，故经过 的内心，而不经过外心、重心、垂心.故
选D.
（3）雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速率是 .
现在有风，风使雨滴在水平向东的方向以 的速率移动，求雨滴着地时的
速率.
解：如图.
用表示无风时雨滴下落的速度， 表示风使雨滴水平向东的速
度，以,为邻边作矩形， 就是雨滴下落的实际速度.
在中，, ，所以
.故雨滴着地时的速率
为 .
变式（1） 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
解：证明：如图，设，，分别是的三边， ，
的中点.令， ，
则， ，
.
设与交于点，且， ，
则有， .
又 ，
解得 ，
则 .
又， .
点在 上，故三角形的三条中线交于一点.
（2）如图，在细绳处用水平力缓慢拉起所受重力为 的物体，绳子与铅垂
方向的夹角为 ，绳子所受的拉力为 .
①判断，随 的变化而变化的情况；
解： 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知， .
根据题意作出示意图，如图，
由图得， .
当 从 趋近 时，， 都逐渐增大.
②当时，求角 的取值范围.
解： 令 ，
因为 ，所以，所以 .
故角 的取值范围为 .

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