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两个一次函数图象的应用
4.4 一次函数的应用
北师版·八年级(上册)
第3课时
《学习目标》
会用一次函数解决复杂的实际问题.(重点)
会根据两个一次函数图象去分析解决问题.(难点)
上节课我们学习了应用一个一次函数去解决实际问题.
一次函数与一元一次方程有什么关系？
如果问题中涉及两个或两个以上的一次函数，
我们该怎么去分析并解决问题？
新课导入
如图，l1 表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2 表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系.
根据图象填空:
探索新知
（2）当销售量为 6 t 时，
销售收入为_____元，
销售成本为_____元.
（1）当销售量为 2 t 时，
销售收入为______元，
销售成本为______元.
2000
3000
6000
5000
销售收入
销售成本
（3）当销售量________时，
销售收入等于销售成本.
等于4 t
（4）当销售量_________时，
销售收入大于销售成本，
该公司赢利；
当销售量__________时，
销售收入小于销售成本，
该公司亏损.
大于4 t
小于4 t
销售收入
销售成本
（5）当销售量为______t时，
该公司赢利 1000 元.
6
销售收入
销售成本
l1对应的函数表达式
是 ，
（6）
l2对应的函数表达式
是 .
y＝1000x
y＝500x＋2000
销售收入
销售成本
y＝1000x
y＝500x＋2000
解：由（5）题意，得
1000x－(500x＋2000)=1000.
解这个方程得，x=6.
所以当销售量为 6 t时，
该公司赢利 1000 元.
（7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？
设l1对应的一次函数为 y＝k1x ＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？
销售收入
y＝1000x
k1表示每销售1吨产品，可收入1000元；
b1表示未销售时，销售收入为0元.
思考·交流
设l2对应的一次函数为 y＝k2x ＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？
销售成本
y＝500x＋2000
k2表示每销售1 吨产品的成本为500元；
b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元.
【例3】下图是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙.
图中 l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
(1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？
当t = 0时，甲到观景台1的路程为0m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
解
甲
乙
（2）甲和乙哪个人的速度快？
t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了1000， l2 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快.
解
甲
乙
（3）30 min 内甲能否追上乙？
延长 l1，l2，可以看出，
当t＝30时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙.
解
P
甲
乙
（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？
如图，l1 与 l2 的交点 P 的纵坐标
小于800＋1300=2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙.
P
甲
乙
2000
（5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？
甲的速度是50 m/min，
乙的速度是30 m/min.
k1 表示甲的速度，
k2 表示乙的速度。
解
甲
乙
思考：你能用其他方法解决例3（1）~（4）吗？
依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min，
乙的速度是 30 m/min.
问题即可依据行程问题解决.
方法2
求出l1和l2对应的函数表达式，y＝50x，y＝30x＋800，再依据实际意义解决.
方法3
回顾·反思
回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？
如图，射线OA，BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数图象，图中 s，t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h.
4
1.
随堂练习
甲乙两队举行一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛
时的路程 s（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系式如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
C
2.
A.甲队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了200米
C.乙队比甲队少用0.2分钟
D.比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度大
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是_____________，
从点燃到燃尽所用的时间分别是_____________.
30厘米、25厘米
2小时，2.5小时
在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩
余部分的高度y（厘米）与燃烧时间 x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题.
3.
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式.
解
甲：设y＝k1x＋b1.
将（0，30）代入 y＝k1x＋b1中得 b1＝30,
再将点（2，0）和 b1的值代入y＝k1x＋b1中，
可得 k1＝ -15，所以 y＝ -15x＋30.
乙：设y＝k2x＋b2.
把（0，25）代入y＝k2x＋b2可知b2＝25，
再将（2.5，0）和b2的值代入y＝k2x＋b2中,
得k2＝ -10，所以y＝ -10x＋25.
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等？
当0 ≤ x ＜1时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高；
在1＜ x ＜2.5时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低.
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
(不考虑都燃尽的情况)
令 -15x＋30＝ -10x＋25， 解得 x＝1。
所以燃烧1小时时，甲、乙两根蜡烛的高度相等；
解
某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划
用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套. 已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元. 若设生产N型号的时装套数x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为y元.
4.
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
解
（2）
由y＝5x＋3600可知，
x 最大为44时，即 N 型号的时装为44套时，所获利润最大；
利润最大为：5×44＋3600＝3820（元）.
若 N 型时装为 x套，则M型时装为（80－x）套.
则 y＝50x＋45（80－x） y＝5x＋3600
因为A种布料70m，B种布料52m，则有
1.1x＋0.6（80－x）≤70 ①
0.4x＋0.9（80－x）≤52 ②
解得：40≤ x ≤44 所以x的取值范围为：40≤ x ≤44.
（1）
01获取
02解决
两个一次函数的应用
观察图象
获取关键信息
建立
一次函数模型
解决实际问题
课堂小结

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