资源简介

/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
18.5分式方程（第1课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了分式的概念、基本性质和运算的基础上进一步学习分式的应用——分式方程及其解法。
2. 内容分析
分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升。解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母。去分母时可能引起方程同解性的变化。因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节。利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为最简的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会解可化为一元一次方程的简单的分式方程。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）了解分式方程的概念。
（2）会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想。
（3）了解解分式方程根需要进行检验的原因。
2. 目标解析
（1）学生需要能清晰地说出分式方程的定义，并能准确判断一个方程是不是分式方程。通过与整式方程的对比，强化"分母中含未知数"这一关键特征。
（2）学生需要掌握解分式方程的完整步骤（去分母、解整式方程、检验、写解）。理解“去分母”的目的是将分式方程转化为整式方程。体会解分式方程需要遵循一定的步骤，每一步都有明确目的。
（3）学生需要明白，检验不是可有可无的步骤，而是必须的。因为在去分母时，方程两边同乘了含有未知数的整式，如果这个整式的值为零，就可能产生使原方程分母为零的“增根”，检验的目的就是剔除增根，确保解的有效性。
三、教学问题诊断分析
问题1：去分母时，漏乘不含分母的项。
应对策略：强调“每一项都要乘”，包括不含分母的项；用不同颜色的粉笔标出每一项要乘的公分母，进行视觉强化；示范时，把每一步都写清楚，不跳步。
问题2：忘记检验或检验方法不正确。
应对策略：引导学生自己发现问题，体会检验的必要性；强调检验方法：代入原方程或最简公分母，检查分母是否为零；把检验作为解题的必要步骤进行要求和评分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：了解解分式方程根需要进行检验的原因。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题 为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程 ①
追问 它与我们以前学习的方程有何不同？
答 方程①的分母中含有未知数.
概念 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 .
设计意图：通过回顾章引言中问题产生的方程，通过“追问”引导学生对比该方程与之前学习的方程的不同，从而自然引出“分式方程”的概念。
（二）合作探究
思考1 如何解分式方程①呢？
追问1 解整式方程的步骤有哪些？
答 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
追问2 能否将分式方程化为整式方程呢？
答 通过 “去分母”将分式方程化为整式方程.
追问3 在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
答 两边同时乘以(30+v)(30 v)
追问4 这样做的依据是什么？
答 等式的性质2.
总结
(1)分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
(2)利用等式的性质2，在方程两边都乘以各分母的最简公分母．
解 方程两边乘(30+v)(30 v)，得
解得 v=6.
检验：将v=6代入①中，左边=，右边=，这时左、右两边的值相等，所以，原分式方程的解为v=6．
由此可知，江水的流速为6 km/h.
探究 运用上述 “去分母化为整式方程”的方法解分式方程 ②， 你发现了什么问题？
解 方程两边乘(x+5)(x 5)，得
解得 x=5.
检验：当x=5时，x 5=0，x2 25=0，相应的分式无意义．
所以，原分式方程无解．
注意 x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程②的解. x=5是分式方程②的增根.
思考2 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
归纳 解分式方程
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
设计意图：通过对分式方程解法的探究、增根概念的理解，完善学生的“方程”知识体系，让学生清晰区分分式方程与整式方程的解法差异，掌握分式方程特有的“检验”要求，形成完整的方程求解认知结构。
（三）典例分析
例1 解方程.
解 方程两边乘x(x 3)，得
2x=3x 9．
解得
x=9．
检验：当x=9时，x(x 3)≠0．
所以，原分式方程的解为x=9．
例2 解方程
解 方程两边乘(x 1)(x+2)，得
x(x+2) (x 1)(x+2)=3．
解得
x=1．
检验：当x=1时，(x 1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
设计意图：通过例题巩固解法步骤，尤其是“检验”环节。通过对比“有解”与“无解”两种情况，深化学生对增根概念和检验必要性的理解。
（四）巩固练习
1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ B ）
A． B． C． D．
2.解下列方程:
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
解（1）方程两边乘x(x 2)，得
5(x 2)=7x．
解得
x= 5．
检验：当x= 5时，x(x 2)≠0．
所以，原分式方程的解为x= 5．
（2）方程两边乘(x+3)(x 1)，得
2(x 1)=x+3．
解得
x=5．
检验：当x=5时，(x+3)(x 1)≠0．
所以，原分式方程的解为x=5．
（3）方程两边乘2x(x+3)，得
x+3=4x．
解得
x=1．
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0．
所以，原分式方程的解为x=1．
（4）方程两边乘3(x+1)，得
3x=2x+3(x+1)．
解得
x=．
检验：当x=时，3(x+1)≠0．
所以，原分式方程的解为x=．
（5）方程两边乘(x+1)(x 1)，得
2(x+1)=4．
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x+1)(x 1)=0，因此x=1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
（6）方程两边乘x(x+1)(x 1)，得
5(x 1) (x+1)=0．
解得
x=.
检验：当x=时，x(x+1)(x 1)≠0．
所以，原分式方程的解为x=．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（ A ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（ A ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围（ B ）
A． B．且
C． D．且
4．（2025·四川遂宁）若关于的分式方程无解，则的值为（ D ）
A．2 B．3 C．0或2 D．或3
5．（2025·浙江）解分式方程：．
解：
方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理知识点之间的联系，让学生直观感知分式单元的学习脉络，构建清晰、完整的知识网络，强化对分式学习的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题18.5 第1题.
2.探究性作业：习题18.5 第2题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
18.5 分式方程
（第1课时）
第十八章 分式
人教版(新教材)数学八年级上册
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
学习目标
了解分式方程的概念．
一
会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想.
二
了解解分式方程根需要进行检验的原因.
三
复习引入
原题重现 怎样研究分式？
分数的概念
分数的基本性质
分数的运算
分数的应用
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
分式的应用
类比
复习引入
问题 为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程
①
像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 .
它与我们以前学习的方程有何不同？
方程①的分母中含有未知数.
合作探究
思考 如何解分式方程①呢？
追问1 解整式方程的步骤有哪些？
答：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
追问2 能否将分式方程化为整式方程呢？
答：通过 “去分母”将分式方程化为整式方程.
合作探究
思考 如何解分式方程①呢？
在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
这样做的依据是什么？
两边同时乘以(30+v)(30 v)
解得 v=6．
总结
(1)分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
(2)利用等式的性质2，在方程两边都乘以各分母的最简公分母．
解：方程两边乘(30+v)(30 v)，得
解得 v=6.
检验：将v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，所以，原分式方程的解为v=6．
合作探究
由此可知，江水的流速为6 km/h.
合作探究
探究 运用上述 “去分母化为整式方程”的方法解分式方程
， ②
你发现了什么问题？
合作探究
解：方程两边乘(x+5)(x 5)，得
解得 x=5.
检验：当x=5时，x 5=0，x2 25=0，相应的分式无意义．
所以，原分式方程无解．
x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程②的解.
x=5是分式方程②的增根.
合作探究
思考 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
两边同时乘以(30+v)(30 v)
两边同时乘以(x+5)(x 5)
当v=6时，(30+v)(30 v)≠0
当x=5时，(x+5)(x 5)=0
去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
合作探究
解 分 式 方 程
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
典例分析
例1 解方程
解: 方程两边乘x(x 3)，得
2x=3x 9．
解得
x=9．
检验：当x=9时，x(x 3)≠0．
所以，原分式方程的解为x=9．
典例分析
例2 解方程
解: 方程两边乘(x 1)(x+2)，得
x(x+2) (x 1)(x+2)=3．
解得
x=1．
检验：当x=1时，(x 1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
巩固练习
1.下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
B
巩固练习
2.解下列方程:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
巩固练习
（1） ；
解: 方程两边乘x(x 2)，得
5(x 2)=7x．
解得
x= 5．
检验：当x= 5时，x(x 2)≠0．
所以，原分式方程的解为x= 5．
巩固练习
（2） ；
解: 方程两边乘(x+3)(x 1)，得
2(x 1)=x+3．
解得
x=5．
检验：当x=5时，(x+3)(x 1)≠0．
所以，原分式方程的解为x=5．
巩固练习
（3） ；
解: 方程两边乘2x(x+3)，得
x+3=4x．
解得
x=1．
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0．
所以，原分式方程的解为x=1．
巩固练习
（4） ；
解: 方程两边乘3(x+1)，得
3x=2x+3(x+1)．
解得
x= ．
检验：当x= 时，3(x+1)≠0．
所以，原分式方程的解为x= ．
巩固练习
（5） ；
解: 方程两边乘(x+1)(x 1)，得
2(x+1)=4．
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x+1)(x 1)=0，因此x=1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
巩固练习
（6） .
解: 方程两边乘x(x+1)(x 1)，得
5(x 1) (x+1)=0．
解得
x= .
检验：当x= 时，x(x+1)(x 1)≠0．
所以，原分式方程的解为x= ．
归纳总结
分式方程 定义 的方程叫作分式方程 .
解 分 式 方 程 解分式方程的关键是将分式方程化为 ，具体做法是 ，即方程两边乘 ．得到整式方程的解后，要对其进行检验．
分母中含未知数
整式方程
“去分母”
最简公分母
感受中考
1.（2025·湖南）将分式方程 去分母后得到的整式方程为（ ）
A．x+1=2x B．x+2=1
C．1=2x D．x=2(x+1)
A
感受中考
2.（2024·山东济宁）解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ）
A．2 6x+2=-5 B．6x 2 2= 5
C．2 6x 1=5 D．6x 2+1=5
A
感受中考
3.（2024·四川遂宁）分式方程 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m> 3 B．m> 3且m≠ 2
C．m<3 D．m<3且m≠ 2
B
感受中考
4.（2025·四川遂宁）若关于x的分式方程 无解，则a的值为（ ）
A．2 B．3
C．0或2 D． 1或3
D
感受中考
5.（2025·浙江）解分式方程： ．
解: 方程两边乘(x 1)(x+1)，得
3(x 1) (x+1)=0．
解得
x=2．
检验：当x=2时，(x 1)(x+1)≠0．
所以，原分式方程的解为x=2．
小结梳理
列式
实
际
问
题
分
式
类比分数
分式的概念
分式的基本性质
分式的约分与通分
分式有意义的条件
分式值为0的条件
分式的运算
分式的混合运算
分式的应用
分式方程
布置作业
必做题：习题18.5 第1题.
1
探究性作业：习题18.5 第2题.
2
人教版八年级上册
谢谢观看！

展开更多......

收起↑