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第4课时　数的开方与二次根式
第一章　数与式
知识点1 数的开方
平方根 如果一个数的 等于a，那么这个数就叫做a的平方根
（二次方根），记作± .一个正数有 个平方根，它们
互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根
算术 平方根 如果一个正数的平方等于a，那么这个数就叫做a的
，记作 .0的算术平方根是
立方根 如果一个数的 是a，那么这个数就叫做a的立方根
（或三次方根），记作 .0的立方根是
平方　
2　
相反数　
0　
没有　
算术平
方根　
0　
立方　
0　
知识点2 二次根式
定义 形如 （a≥0）的式子叫做二次根式
最简 二次 根式 同时满足下列条件的根式叫做最简二次根式：
①被开方数中不含 ，分母中不含二次根式；
②被开方数中不含 的因数或因式
二次 根式 的性质 （1） （a≥0）具有双重非负性，即：a≥0， ≥0；
（2）（ ）2＝a（a≥0）；
分母　
能开得尽方　
二次 根式 的性质 （3） ＝ ＝
（4）乘法： · ＝ 　 　（a，b≥0）；
（5）除法： ＝ 　 　（a≥0，b＞0）；
（6）常用形式： ＝ ＝ ；
（7）分母有理化：
① ＝ ＝ ；
② ＝
＝ ＝2－
　
　
二次 根式 的混 合运算 先把二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的
二次根式.二次根式混合运算的运算顺序与实数的运算顺序
一样：先算 ，再算 ，最后算 ，
如果有括号，就先算 里的.实数中的运算律及乘
法公式在二次根式中同样适用
乘方　
乘除　
加减　
括号　
考点一　数的开方
（1）下列结论中，正确的是（　D　）
A. 的平方根是±9
B. ＝±10
C. 立方根等于本身的数只有0，1
D. ＝－
（2）1 的平方根是 　± 　； 的算术平方根是 ；－ 的立
方根为 　－ 　； 的平方根为 ；
D
± 　
2　
－ 　
±2　
（3）若一个正数的平方根是2a－1和－a＋2，则这个正数是 .
1. 注意区别平方根和算术平方根：± 是平方根， 是算术平方
根，因此“ ”不是平方根号，“± ”才是平方根号.
2. 一个数的立方根与它同号.正数、0、负数都只有一个立方根.
9　
考点二　二次根式的相关概念和性质
（1）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　D　）
A. x＞3 B. x≥－1
C. x＞－1且x≠3 D. x≥－1且x≠3
（2）下列各式中，是最简二次根式的是（　A　）
A. B. C. D.
D
A
（3）若y＝ ＋ ＋2，则xy＝ ；
（4）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：2 －
＋ ＋ ＝ .
1. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于或等于零.
2. 分式有意义的条件：分式的分母不为零.
25　
－2a－2b＋2c　
考点三　无理数的估算
（1）（2024·重庆A卷）已知m＝ － ，则实数m的范围是
（　B　）
A. 2＜m＜3 B. 3＜m＜4
C. 4＜m＜5 D. 5＜m＜6
（2）（2025·南开）估计（ ＋ ）× 的值应在（　A　）
A. 12和13之间 B. 13和14之间
C. 14和15之间 D. 15和16之间
B
A
（3）比较大小： 6， ，－5 －4 .
（填“＞”或“＜”）
比较两个带根号的无理数的大小，最常用的方法是平方法；有时候也可
以灵活选用其他方法，如比较它们的倒数等.
＞　
＞　
＜　
考点四　二次根式的运算
（2025·一中）下列计算正确的是（　C　）
A. ＋ ＝ B. × ＝
C. 2 ＋ ＝3 D. ÷ ＝8
C
计算：
（1）（7 － ）× ＋5 ÷ ；
[答案] 解：原式＝7 －6＋5 ×
＝7 ＋5 －6
＝12 －6.
（2）（ － ）2＋（ ＋ ）（ － ）＋ .
[答案] 解：原式＝3－2 ＋2＋3－2＋ －2
＝4－ .
1. （2025·广东）计算 × 的结果是（　B　）
A. 3 B. 6 C. D. 2
2. 已知k＝ （ ＋ ）（ － ），则与k最接近的整数为
（　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
B
3. （1）（2025·重庆）若n为正整数，且满足n＜ ＜n＋1，则n
＝ ；
（2）已知ab＜0，化简： ＝ 　－a 　.
请同学们完成《作业本》第10～11页练习题及第12～15页微专题
5　
－a 　(共29张PPT)
第1课时　实　数
第一章　数与式
知识点1 实数及相关的概念
（1）实数的定义： 和 统称为实数.
有理数　
无理数　
（2）实数的分类：
按定义分 按正负分
实数 实数
（3）正负数的意义：正负数可以用来表示具有 的量，如
“零上温度与零下温度”“收入与支出”都是具有相反意义的量.
相反意义　
（4）实数的相关概念：
定义 性质
相
反
数 只有 不同的两
个数互为相反数 ①互为相反数的两个数的和为0，即a＋
b＝ ；
②互为相反数的两个数（非零）的商为
－1，即 ＝ ；
③互为相反数的两个数的绝对值相等，
即 ＝
符号　
0　
－1　
定义 性质
数
轴 规定了 、
、
的直线 数轴上的点和实数一一对应
绝
对
值 数轴上表示数a的点与
原点的距离是a的绝对
值，记作 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0，即
＝
原点　
正
方向　
单位长
度　
倒
数 乘积等于 的两个数
互为倒数 非零数a的倒数是 ，0没有倒数；
若a，b互为倒数，则ab＝
1　
　
1　
注：（1）数轴上两点距离＝数轴上右侧的点所表示的数－左侧的点所
表示的数（简称大数－小数）.
（2）数轴中点公式：数轴上A，B分别表示的数为a，b，若C是AB的
中点，C所表示的数为c，则有2c＝a＋b.
知识点2 实数的大小比较
代数 比较
法 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数，绝对
值大的反而
数轴 比较
法 在水平数轴上表示的两个实数，右边的数总是 左边的数
＞　
＜　
＞　
小　
大于　
差值 比较
法 若a，b是任意两个实数，则
a－b＞0 a b；
a－b＜0 a b；
a－b＝0 a b
商值 比较
法 若a＞0，b＞0，则 ＞1 a b；
＝1 a b； ＜1 a b
＞　
＜　
＝　
＞　
＝　
＜　
倒数 比较
法 若ab＞0，且 ＞ ，则a b
平方 比较
法 若a＞0，b＞0，则 ＞ a＞b a2 b2；
若a＜0，b＜0，则a＞b a2 b2
取特 殊值
法 当0＜a＜b＜1时，要比较a2和b2的大小，可取a＝ ，b＝
＜　
＞　
＜　
（续表）
知识点3 科学记数法与近似数
（1）把一个数N表示成 的形式（其中a的取值范围
是 ，n是整数），使用的是科学记数法.
①当 ≥10时，n等于原数的小数点向左移动的位数；
②当 ≤1时， 等于原数的小数点向右移动的位数.
a×10n　
1≤ ＜10　
（2）近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由
四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
知识点4 实数的运算
运
算
律 交换律 a＋b＝ ，ab＝
结合律 （a＋b）＋c＝ ，
（ab）c＝
分配律 a（b＋c）＝
b＋a　
ba　
a＋（b＋c）　
a（bc）　
ab＋ac　
乘
方
运
算 零指 数幂 任何非零实数的零次幂为 ，
即a0＝ （a≠0）
负整数 指数幂 a－p＝ （a≠0，p为正整数），如a－1＝ 　 　
（a≠0）
－1的 乘方 －1的奇次幂为 ，－1的偶次幂为
运
算
顺
序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行；
如有括号，先做 的运算，按小括号、中括号、大括号
依次运算
1　
1　
　
－1　
1　
括号内　
（续表）
知识点5 非负数的性质
（1）几个常用的非负数：
① ≥0；②a2≥0；③ ≥0.
（2）非负数的最小值为 .
（3）几个非负数的和仍为非负数.
（4）若几个非负数的和为零，则每个非负数 .如 ＋b2
＋ ＝0，则 ＝b2＝ ＝ .
0　
必等于零　
0　
考点一　实数的有关概念
（1）（2025·泸州）下列各组数中，互为相反数的（　A　）
A. 7和－7 B. 3和－2
C. 2和 D. －0.1和10
（2）（2025·江西）下列各数中，是无理数的是（　B　）
A. 0 B. C. 3.14 D.
A
B
（3）（2025·长沙）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义
的量.如果把向东走80米记作＋80米，那么向西走60米记作（　A　）
A. －60米 B. －80米
C. ＋90米 D. ＋60米
（4）（2025·吉林）如图，点A表示的数是1.若将点A向左移动3个单位
长度得到点A'，则点A'表示的数为（　B　）
A. －3 B. －2 C. 2 D. 4
A
B
（5）下列说法中：
①有理数的绝对值一定是正数；
②互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；
③若 ＝ ，则a与b互为相反数；
④绝对值等于本身的数是0；
⑤任何一个数都有它的相反数.
正确的个数有（　B　）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
B
1. 关于实数的概念，要注意：
（1）任何分数都是有理数，如 ，－ 等，但是 不是分数.
（2）0既不是正数，也不是负数，但0是自然数.
（3）无理数的常见类型：①开方开不尽的数，如 ， ；②与π有关
的数，如 ；③无限不循环但有规律的数，如3.010010001….
2. 实数的概念中常用到分类讨论的数学思想：若 ＝a，则a≥0；若
＝－a，则a≤0.
考点二　科学记数法与近似数
（1）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵
式于2025年9月3日在天安门广场举行，纪念大会直播期间，全国电视大
屏直播收视1.6亿户次，实时收视4.3亿人次，数据1.6亿用科学记数法
表示为（　A　）
A. 1.6×108 B. 0.16×108
C. 1.6×107 D. 16×107
A
（2）（2025·威海）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片
与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制
出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”将存储器擦写速度提升至400皮
秒实现一次擦或者写，一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学
记数法表示为（　A　）
A. 4×10－10秒 B. 4×10－11秒
C. 4×10－12秒 D. 40×10－12秒
A
（3）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是
（　B　）
A. 0.1（精确到0.1）
B. 0.05（精确到千分位）
C. 0.05（精确到百分位）
D. 0.0502（精确到0.0001）
B
1. 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤ ＜10，n
等于原数的整数位数减1.当原数绝对值小于1时，写成a×10－n的形
式，其中1≤ ＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的
个数（包括小数点前面的零）.
2. 小技巧：1千＝103，1万＝104，1亿＝1万×1万＝108.
3. 近似数小数点后的末位数字是0的，不能去掉0.
考点三　实数的大小比较
（1）（2025·福建）下列实数中，最小的数是（　A　）
A. －1 B. 0 C. D. 2
（2）若m，n是有理数，满足 ＞ ，且m＞0，n＜0，则下列选
项中，正确的是（　B　）
A. n＜－m＜m＜－n B. －m＜n＜－n＜m
C. －n＜－m＜n＜m D. －m＜－n＜n＜m
（3）比较大小： 3，－3.14 －π.（“＞”“＜”或
“＝”）
A
B
＞　
＞　
考点四　实数的运算
（2025·云南）计算：（π－2）0－（ ）2＋ ＋ －2 cos
60°＝ .
计算： ＋（ ＋1）0－3tan30°＋（－1）2025－（ ）－1.
[答案] 解：原式＝4－2 ＋1－3× －1－2
＝4－2 ＋1－ －1－2
＝2－3 .
8　
在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则
和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进行.要注意常用的负整数指数幂a－p、零指数幂a0和（－1）2n＋1＝－1，（－1）2n＝1（n是整数）等规律.有下列典型错误：
①3－2＝－ （×） 3－2＝ （√）
②2a－2＝ （×） 2a－2＝ （√）
③（ ）－2＝ （×） （ ）－2＝22 （√）
考点五　非负数的性质
若（a＋1）2026＋ ＋ ＝0，则a＋b＋c＝ .
－2　
考点六　规律探究
（1）（2025·重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中
有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图
中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是
（　C　）
A. 32 B. 28 C. 24 D. 20
C
（2）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取
两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当n＝2时，只有
一种取法，即k＝1；当n＝3时，有 和 两种取法，
即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；….若n＝6，则k的值为 ；若n
＝24，则k的值为 .
9　
144　
1. （2025·北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌
卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回
之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月
球远地点距离约为4×105 km，则该小行星与地球的最近距离约为
（　C　）
A. 1.8×105 km B. 1.8×106 km
C. 1.8×107 km D. 1.8×1010 km
C
2. （1）（2025·青海）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则
a＋b 0（填“＞”“＝”或“＜”）；
[第2（1）题]
（2）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第⑦个图案中
有 根火柴棒.
[第2（2）题]
＞　
15　
3. 计算：
（1）（2025·连云港）（－2）×（－5）－ － ＝ ；
（2） ＋ －2 cos 30°－ ＝ .
请同学们完成《作业本》第4～5页练习题
6　
3　(共21张PPT)
第2课时　整式与因式分解
第一章　数与式
知识点1 代数式及求值
（1）代数式的概念：用基本的运算符号（＋、－、×、÷）及乘方、
开方等把数和 连接而成的式子叫做代数式.单独
的 也是代数式.
（2）代数式的书写要求：
①数（或字母）与字母相乘时，乘号“×”通常写作“·”或省略不
写；
表示数的字母　
一个数或一个字母　
（3）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算
关系得出的结果.进行代数式求值时一般要先进行化简，再将字母的取
值代入.
④除法运算时，应写成分数形式.
②数与字母相乘、数与括号相乘，可省略乘号，但要把数写在前面；当
1或－1与字母相乘时，“1”省略不写，如1×a直接写成a；
③带分数与字母相乘，应把带分数写成假分数；
知识点2 整式的相关概念
内
容 整式
单项式 多项式
定
义 数与字母或字母与字母的 组成
的代数式叫做单项式.单独的一个数或一
个字母也是单项式 几个单项式的 叫
做多项式
次
数 一个单项式中，
叫做这个单项式的次数 多项式里，
叫做这个多
项式的次数
乘积　
和　
所有字母的指数的
和　
次数最高
项的次数　
内
容 整式
单项式 多项式
系
数 单项式中的 —
项 — 每个单项式
数字因数　
知识点3 同类项
所含字母相同，并且相同字母的 也分别相同的项叫做同类
项.同类项只与字母及其指数是否相同有关，与系数无关，与字母的排
列顺序无关，即两相同，两无关.
合并同类项的法则：系数相加减，所得的结果作为系数，字母及相
同字母的指数 .
指数　
不变　
知识点4 整式的运算
类别 法则
整式 加减 整式的加减实质就是去括号后合并同类项
幂的 运算 同底数 幂相乘 am·an＝
（m，n都为整数）
幂的 乘方 （am）n＝
（m，n都为整数）
am＋n　
amn　
类别 法则
幂的 运算 积的 乘方 （ab）n＝
（n为整数）
同底数 幂相除 am÷an＝
（a≠0，m，n都为整数）
整式 乘法 单项式乘 单项式 把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在
一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作
为积的一个因式
anbn　
am－n　
相乘　
整式 乘法 单项式乘 多项式 m（a＋b＋c）＝
多项式乘 多项式 （m＋n）（a＋b）＝
ma＋mb＋mc　
ma＋mb＋na＋nb　
类别 法则
整式 除法 单项式 除以单 项式 把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在
被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商
的一个因式
多项式除 以单项式 （am＋bm）÷m＝
（m≠0）
相除　
a＋b　
类
别 法则
乘
法 公
式 平方
差公式 （a＋b）（a－b）＝
完全平方公式 （a±b）2＝
a2－b2　
a2±2ab＋b2　
（续表）
类别 法则
常用 恒等式 乘法公 式变形 a2＋b2＝（a－b）2＋2ab
＝（a＋b）2－2ab
（a－b）2＝（a＋b）2
（a＋1/a ）2＝ .
二次 三项式 （x＋a）（x＋b）＝x2＋ x＋
－4ab　
a2＋ ＋2　
（a＋b）　
ab　
知识点5 因式分解及常用的方法
1. 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式就是因式分解.因
式分解要进行到每一个因式都不能再分解为止.
2. 因式分解常用的方法：
（1）提公因式法：ma＋mb＋mc＝ .
（2）公式法：
①a2－b2＝ ；
②a2＋2ab＋b2＝ ；
③a2－2ab＋b2＝ .
积　
m（a＋b＋c）　
（a＋b）（a－b）　
（a＋b）2　
（a－b）2　
（3）十字相乘法：x2＋（p＋q）x＋pq＝ .
（x＋p）（x＋q）　
3. 分解因式的一般步骤：一“提”，提取公因式；二“用”，运用
完全平方公式或平方差公式；三“查”，检查结果是否正确，分解
是否彻底.
考点一　整式的相关概念及其运算
（1）下列说法中，正确的是（　A　）
A. 2是整式
B. 多项式2x3＋3xy－5的常数项是5
C. 单项式－xy3z2的次数是5
D. 多项式x3y－3y＋2是三次三项式
（2）（2025·齐齐哈尔）下列计算正确的是（　A　）
A. （3x）2＝9x2 B. 5x·2x＝10x
C. x6÷x2＝x3 D. （x－2）2＝x2－4
A
A
（3）若多项式x2＋ax＋9是完全平方式，则a的值为 ；
（4）若（ax＋3）（6x2－2x＋1）中不含x的二次项，则a的值为 .
±6　
9　
考点二　代数式求值
（1）若当x＝2时，ax3＋bx＋3＝6，则当x＝－2时，多项式ax3
＋bx＋3的值为（　B　）
A. －6 B. 0 C. 1 D. 6
B
（2）如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024，那
么第2026次输出的结果为（　C　）
A. 64 B. 16 C. 4 D. 1
（3）已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝ .
C
29　
考点三　因式分解
（1）（2025·八中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的
是（　C　）
A. x2－x－2＝x（x－1）－2
B. （a＋b）（a－b）＝a2－b2
C. x2－9＝（x＋3）（x－3）
D. x－1＝x
（2）因式分解：
①（2025·东营）2m3－12m2＋18m＝ ；
②2a4－18a2＝ .
C
2m（m－3）2　
2a2（a＋3）（a－3）　
考点四　整式的化简与求值
（1）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简
－ －2 ＝ ；
（2）化简：（2x＋y）（y－2x）－（y－4x）（x＋y）.
[答案] 解：原式＝y2－4x2－（xy＋y2－4x2－4xy）
＝y2－4x2－y2＋4x2＋3xy
＝3xy.
－3b－3c　
（2025·外语校）先化简，再求值：
（2a－b）2－（a＋2b）（a－2b）＋（4a2b2－6ab3）÷（ab），其
中a，b满足 ＋（2b－1）2＝0.
[答案] 解：原式＝4a2－4ab＋b2－（a2－4b2）＋（4ab－6b2）
＝4a2－4ab＋b2－a2＋4b2＋4ab－6b2
＝3a2－b2.
∵ ＋（2b－1）2＝0，
∴a＋2＝0，2b－1＝0，
∴a＝－2，b＝ ，
∴原式＝3×（－2）2－ ＝12－ ＝11 .
1. （2025·云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，
9a，…，第n个代数式是（　A　）
A. （2n－1）a B. （2n＋1）a
C. （n＋1）a D. 2 025a
2. （2025·安徽）下列式子变形是正确的因式分解的是（　D　）
A. a2＋b2＝（a－b）2＋2ab
B. x2＋1＝x
C. （x－2y）2＝x2－4xy＋4y2
D. （x－2y）2＋3（x－2y）＝（x－2y）（x－2y＋3）
A
D
3. （1）计算 的结果为 ；
（2）多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那
么加上的单项式可以是 （填一个即可）；
－8a6b3　
4x（答案不唯一）　
（3）（2025·成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算（如图）.若
输出的结果是15，则x的值为 ；
[第3（3）题]
（4）已知x＋2y＝5，x－2y＝－3，则代数式x2－4y2－4x＋8y的值
是 .
请同学们完成《作业本》第6～7页练习题
3　
－3　(共15张PPT)
第3课时　分　式
第一章　数与式
知识点1 分式的有关概念
B≠0　
B＝0　
A＝0，且B≠0　
没有公因式　
定义 分母B中含有字母的代数式（A，B都是整式）叫做分式
分式有意义 当　 时，分式有意义
分式无意义 当　 　时，分式无意义
分式值为0 当 　时，分式的值为0
最简分式 分子与分母　 　的分式
最简公分母 几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积
知识点2 分式的性质
基本 性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分
式的值不变，即 ＝ ＝ （其中M≠0）
约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的
约去
公因式　
通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为与原来的分式
相等的 的分式
符号 法则 分子、分母与分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不
变，即 ＝ ＝－ ＝－
同分母　
知识点3 分式的运算
分式的 加减 ①同分母的分式相加减， 不变，把分子相
，即 ± ＝ 　 　；
②异分母的分式相加减，先 ，变为 的
分式，再按 运算法则进行计算，即 ±
＝
分式的 乘除 乘法： · ＝ 　 　；
除法： ÷ ＝ 　 　
分母　
加
减　
　
通分　
同分母　
同分母分式　
　
　
　
分式的 乘方 （ ）n＝ 　（n为正整数）
分式的 混合运算 顺序 先算 ，再算 ，最后算 ，有括号
的，先算括号内的
乘方　
乘除　
加减　
　
考点一　分式的有关概念及分式的值
（1）在代数式 ，2x＋y， ， ， ， 中，是分
式的有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（2）已知 ＋ ＝1（a＋b≠0），则 ＝（　C　）
A. B. 1 C. 2 D. 3
C
C
（3）当x 时，分式 有意义；
当x＝ 时，分式 的值为0；
（4）分式 的值是整数，则正整数m的值为 .
≠－1　
1　
2或3或5　
考点二　分式的基本性质
（1）下列分式变形从左到右一定成立的是（　C　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝－
（2）（2025·八中）下列分式中，是最简分式的是（　B　）
A. B. C. D.
（3）分式 ， ， 的最简公分是 .
C
B
2x（x＋1）（x－
1）　
考点三　分式的运算
下列运算正确的是（　D　）
A. · ＝ B. ÷ ＝
C. ＋ ＝ D. － ＝
（2025·甘肃）化简： ＋ ÷ .
D
[答案] 解：原式＝ ＋ ÷
＝ ＋ ·
＝ ＋
＝1.
1. 约分的注意事项：
（1）约分前分子分母是多项式的，一定要先分解因式，再找公因式.
（2）约去的公因式是分子分母中相同字母、因式的最低次幂.
2. 通分的注意事项：
（1）通分前先注意将各个分母按同一字母降幂排列，并使首项系数为
正；当分母是多项式时，一般应先分解因式.
（2）分式的通分是代数式的恒等变形，注意它与解分式方程的区别，
不能把通分变成“去分母”.
考点四　分式的化简与求值
（2025·山东）先化简，再求值：
（x2－1） ，其中x＝ × ＋π0.
[答案] 解：原式＝（x＋1）（x－1）
＝（x＋1）（x－1）·
＝（x＋2）（x－1）
＝x2＋x－2.
∵x＝ × ＋π0＝ ×3＋1＝2，
∴原式＝22＋2－2＝4.
分式的化简求值需注意：
（1）分式的化简过程就是反复利用分式的基本性质的过程，最后的结
果要是最简分式或整式.
（2）最容易出错的是符号，每次添括号、去括号，都要注意每一个符
号的正确处理.
（3）选择字母的值时，注意字母取值一定要使原分式有意义，而不是
只看化简后的式子.
（4）有些化简求值问题，单个字母的值不容易或不能求出时，可以考
虑整体代入求值.
1. （2025·河南）化简 － 的结果是（　A　）
A. x＋1 B. x
C. x－1 D. x－2
A
2. （1）（2025·扬州）计算： ÷ ＝ ；
（2）（2025·湖北）计算 －x的结果是 ；
（3）（2025·绥化）计算：1－ ÷ ＝ 　－ 　；
（4）（2025·河北）若a＝－3，则 ＝ .
x－2　
2　
－ 　
－1　
3. （2025·德阳）先化简，再求值：
· ，其中a＝2.
解：原式＝ ·
＝（a－1＋1）（a－3）
＝a（a－3）
＝a2－3a.
当a＝2时，
原式＝22－3×2＝4－6＝－2.
请同学们完成《作业本》第8～9页练习题

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