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第8课时　一元一次不等式（组）及其应用
第二章　方程（组）与不等式（组）
知识点1 不等式的相关概念与基本性质
不
等
式
的
相
关
概
念 不等式 一般地，用不等号连接的式子叫做不等式
不等式 的解 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解
不等式 的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等
式的解集
一元一次 不等式 只含有 个未知数，且未知数的次数是 的
不等式，称为一元一次不等式
一元一次 不等式组 关于相同未知数的几个 合在一
起就组成一个一元一次不等式组
1　
1　
一元一次不等式　
不
等
式
的
相
关
概
念 不等式组 的解集 几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成
的不等式组的解集
公共解　
不
等
式
的
性
质 基本 性质1 如果a＞b，那么a±c b±c
基本 性质2 如果a＞b，c＞0，
那么ac bc，
基本 性质3 如果a＞b，c＜0，
那么ac bc，
＞　
＞　
＞　
＜　
＜　
不
等
式
的
性
质 其他性质 若a＞b，则b a；
若a≥b，且b≥a，则a b；
若a＞b，b＞c，则a c；
若a＞b，c＞d，则a＋c b＋d
＜　
＝　
＞　
＞　
知识点2 解一元一次不等式的一般步骤
去分母， ，移项， ，化系数为1.
知识点3 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况（已
知a＜b）
（1） 的解集是 ；
（2） 的解集是 ；
去括号　
合并同类项　
x＞b　
x＜a　
（3） 的解集是 ；
（4） 的解集是 .
口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找.
a＜x＜b　
无解　
知识点4 不等式（组）的应用
利用不等式（组）解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关
系的语句，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不高于”等来列
出不等式（组），问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有
意义来确定.
考点一　不等式的性质与不等式（组）的解集
（1）（2025·广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克
水，b克水，且a＞b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃
杯中水质量的大小关系的是（　A　）
A. a＋c＞b＋c B. a＋c＝b＋c
C. a＋c＜b＋c D. a－c＜b－c
A
（2）不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为（　A　）
A B
C D
A
（3）解不等式组 时，不等式①和不等式②的解
集在数轴上表示正确的是（　C　）
A B
C D
C
考点二　一元一次不等式（组）的解法
（1）解不等式 －1＜x－ ，并把解集在数轴上表示出来；
[答案] 解：去分母，得3x＋3－6＜6x－4x－6，
移项、合并同类项，得x＜－3.
在数轴上表示解集如答案图所示.
（答案图）
（2）（2025·威海）解不等式组 并把它的
解集表示在数轴上；
[答案] 解：解不等式①，得x＞－4，
解不等式②，得x≤3.
在数轴上表示不等式①，②的解集
如答案图所示.
（答案图）
∴不等式组的解集为－4＜x≤3.
（3）（2025·重庆）求不等式组 的所有整数解.
[答案] 解：解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥－1.
在数轴上表示不等式①，②的解集如答案图
所示.
（答案图）
∴不等式组的解集为－1≤x＜2，该不等式组的所有整数解是－1，
0，1.
中考解答要求：解一元一次不等式（组）的解答过程需通过画数轴来确
定解集.
考点三　含参数的不等式（组）
（1）已知关于x的不等式（a＋2）x＜1的解集为x＞ ，则a
的取值范围为 ；
（2）（2025·南充）若关于x的不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是 ；
（3）若关于y的不等式组 有解，则满足条件的整数m
的最大值为 ；
a＜－2　
m≤3　
7　
（4）若关于x的不等式组 的解集为－1＜x＜1，则（a＋
1）（2b－1）的值为 ；　
（5）已知a为整数，关于x的方程a（x－1）＝4有整数解，关于y的不
等式组 至少有6个整数解，则符合条件的a的和为 ；
（6）若关于x的不等式组 的解集为x＞1，且关于
y的分式方程3－ ＝ 有非负整数解，则所有满足条件的整数m的
值之和是 .
－10　
－6
－7　
考点四　不等式（组）的应用
（2025·宜宾）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有
20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要
在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　C　）
A. 14道 B. 13道
C. 12道 D. 11道
C
《哪吒之魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款
哪吒玩偶的金额是2 400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1 600元，购进
A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶的单价是B
款哪吒玩偶的2倍.
（1）A，B两款玩偶的单价分别是多少元？
[答案] 解：（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单
价是2x元.由题意，得
＋50＝ ，解得x＝8.
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意.
∴2x＝16.
答：A，B两款玩偶的单价分别是16元和8元.
（2）为满足消费者需求，在A，B两款玩偶单价不变的条件下，该
超市准备再次购进A，B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多
于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1 100元，问有多少种进
货方案？
[答案] 解：（2）设购进A款哪吒玩偶a个，则购进B款哪吒玩偶（100
－a）个.
由题意，得
解得 ≤a≤ .
∵a为整数，∴a＝34，35，36，37，
∴100－a＝66，65，64，63.
故共有4种进货方案.
1. （2025·外语校）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　B　）
A. －a－2＜－b－3 B. （x2＋1）a＞（x2＋1）b
C. －3xa≤－3xb D. ＜
B
2. （2025·内蒙古）不等式组 的解集在数轴上表示正确的
是（　C　）
A B
C D
C
3. （1）（2025·龙东）关于x的不等式组 恰有3个整数
解，则a的取值范围是 ；
（2）（2025·西附）若关于x的不等式组 有且只有4
个整数解，且关于y的方程－5－2（y－1）＝a的解为非负整数，则符
合条件的所有整数a的和为 .
请同学们完成《作业本》第22～23页练习题及第24～27页微专题
－2≤a＜－1　
－8　(共20张PPT)
第6课时　一元二次方程及其应用
第二章　方程（组）与不等式（组）
知识点1 一元二次方程的定义
只含有 未知数，并且 ，这样
的 方程就是一元二次方程.
一元二次方程的一般表达式为 ，其
中 是二次项， 叫做二次项系数； 是一次
项， 叫做一次项系数； 是常数项.
一个　
未知数的最高次数是2　
整式　
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）　
ax2　
a　
bx　
b　
c　
知识点2 一元二次方程的解法
直接开 平方法 适合于（x＋a）2＝b（b≥0）或 （ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的方程
因式 分解法 基本 思想 把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
方法 规律 常用的方法主要是提公因式法，运用平方差公式、完全平方公式等分解因式
公式法 求根 公式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
当b2－4ac≥0时，x＝
一般 步骤 （1）将方程化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形
式；
（2）确定a，b，c的值；
（3）①若b2－4ac 0，则代入求根公式，得x1，x2；
②若b2－4ac 0，则方程无实数根
　
≥　
＜　
（续表）
配方
法 基本 思想 通过配成完全平方的形式解一元二次方程
一般 步骤 （1）化二次项系数为1；
（2）把常数项移到方程的另一边；
（3）在方程两边同时加上一次项系数一半的平
方；
（4）把方程整理成（x＋a）2＝b的形式；
（5）当b 时，运用直接开平方法解方
程；当b＜0时，无解
≥0　
知识点3 一元二次方程根的判别式
当b2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac 0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac 0时，方程没有实数根.
知识点4 一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两根x1，x2，那么有
x1＋x2＝ 　－ 　，x1x2＝ 　 　.
＞　
＝　
＜　
－ 　
　
知识点5 一元二次方程的实际应用
平均增长 率（下降 率）问题 （1）增长率＝ ×100％；
（2）设a为原来量，x为平均增长（下降）率，n为增
长（下降）次数，b为增长（下降）后的量，则a
（1±x）n＝b
（续表）
面积
问题 （1）如图1，矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为
x，则阴影部分的面积为（a－2x）（b－2x）；
（2）如图2，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽为
x，则空白部分的面积为（a－x）（b－x）；
（3）如图3，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽为
x，则空白部分的面积为（a－x）（b－x）
（续表）
利润问题 利润＝售价－成本；
总利润＝单件利润×销量；
利润率＝ ×100％
握手、单 循环赛 问题 握手、单循环赛总次数为 （n为人数或队伍数）；
送礼物总份数为n（n－1）（n为人数）
考点一　一元二次方程的相关概念
（1）若关于x的一元二次方程（m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常数
项等于0，则m的值为（　C　）
A. 0 B. 3 C. －3 D. －3或3
（2）（2025·达州）已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则
m的值为 ；
（3）若一元二次方程x2－2x－5＝0的一个解为a，则a（2a－3）＋a
（1－a）的值为 .
C
2　
5　
考点二　一元二次方程的解法
解下列一元二次方程：
（1）2（x－3）2－18＝0；
[答案] 解：整理，得（x－3）2＝9，
开方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝0.
（2）x2＋2x－3＝0；
[答案] 解：整理，得x2＋2x＝3，
配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝±2，
解得x1＝－3，x2＝1.
解：整理，得（x－3）2＝9，
开方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝0.
解：整理，得x2＋2x＝3，
配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝±2，
（3）2x（x－2）＝1；
[答案] 解：整理，得2x2－4x－1＝0，
∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
（4）4x（x－2）＝2（2－x）.
[答案] 解：移项，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，
因式分解，得（4x＋2）（x－2）＝0，
∴4x＋2＝0或x－2＝0，
解得x1＝－ ，x2＝2.
解：整理，得2x2－4x－1＝0，
∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
解：移项，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，
因式分解，得（4x＋2）（x－2）＝0，
∴4x＋2＝0或x－2＝0，
关于解方程，要依据一元二次方程的结构特点，灵活选用“因式分解
法、配方法、公式法”几种方法.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）.
（1）若b＝0，直接开平方；
若c＝0，采用因式分解法；
（2）当b，c都不为0时，一般遵循“先分解因式→后配方法→再公式
法”的顺序，具体来说：
①如果能在有理数范围内分解因式，用因式分解法计算量小；
②当方程的一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用
配方法；
③如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数时，
配方法可能计算量较大，此时宜选用公式法来解，而公式法是万能法.
考点三　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
（1）（2025·广安）关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的
情况是（　B　）
A. 没有实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法确定
B
（3）（2025·绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2 025x＋1
＝0的两个根，则（m＋1）（n＋1）＝ ；
（4）（2025·广安）已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代
数式a2－4a＋b的值为 .
2 027　
29　
（2）（2025·东营）若关于x的方程（k2－1）x2＋（k＋1）x＋ ＝0无
实根，则k的取值范围是 ；
k≤－1　
考点四　一元二次方程的应用
（2025·新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙
（墙足够长）和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地.设矩形
的宽为x m，根据题意可列方程（　A　）
A
A. x（24－2x）＝40
B. x（24－x）＝40
C. 2x（24－2x）＝40
D. 2x（24－x）＝40
（2025·八中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50
元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，
每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？
[答案] 解：（1）某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利（50－3）
元，销售（30＋2×3）件，
当天可盈利（50－3）×（30＋2×3）＝1 692（元）.
答：当天可盈利1 692元.
（2）设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少
元时，商场日盈利可达到2 000元？
[答案] 解：（2）根据题意，得（50－x）（30＋2x）＝2 000，
整理，得x2－35x＋250＝0，
解得x1＝10，x2＝25.
∵为了尽快减少库存，
∴x＝25.
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2 000元.
1. 下列是一元二次方程的是（　C　）
A. 2x＋1＝0 B. x＋y＝5
C. x2＋3x＋2＝0 D. x＋ ＝2
C
2. （2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业
呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，
预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率
为x，可列出的方程为（　A　）
A. 2 500（1＋x）2＝9 100
B. 2 500（1－x）2＝9 100
C. 2 500（1－2x）2＝9 100
D. 2 500（1＋2x）2＝9 100
A
3. （1）（2025·上海）已知关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0没有
实数根，则m的取值范围是 ；
（2）（2025·德阳）若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个
相等的实数根，则k的值是 ；
（3）若关于x的一元二次方程（m－1）x2－4x＋1＝0有两个不相等的
实数根，则m的取值范围为 .
请同学们完成《作业本》第18～19页练习题
m＜－ 　
－2　
m＜5且m≠1　(共30张PPT)
第5课时　一次方程（组）及其应用
第二章　方程（组）与不等式（组）
知识点1 等式的基本性质
内容
性质1 等式两边 ，所得
结果仍是等式.
若a＝b，则a±c＝
同时加上（或减去）同一个数（或式子）　
b±c　
内容
性质2 等式两边 ，
所得结果仍是等式.
若a＝b，则ac＝ ；
若a＝b，则 ＝ 　 　（c≠0）
其他
性质 若a＝b，则b＝a（对称性）；
若a＝b，b＝c，则a c（传递性）
等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意等式性质成立的
条件.
同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）　
bc　
　
＝　
知识点2 一次方程（组）的相关概念和解法
概念 解法
一元一次方程 只含有 未知数，并且未知数的次数 ，且系数 的方程，叫做一元一次方程 去分母，去括号，移项，合
并同类项，系数化为1
二元一
次方程 含有 ，并且所含未知数的项的次数 的方程，叫做二元一次方程 —
一个　
是1　
不为
0　
两个未知数　
都是1　
概念 解法
二元 一次 方程 组 含有两个未知数的两
个 所组
成的一组方程，叫做
二元一次方程组 （1）代入消元法：将其中一个方程中
的某个未知数用含有另一个未知数的代
数式表示出来，并代入另一个方程中，
从而消去一个未知数，简称代入法；
（2）加减消元法：通过方程两边分别
相加（或减）消去其中一个未知数，简
称加减法
一次方程　
概念 解法
二元 一次 方程 组的 解 二元一次方程组中各
个方程的
，叫做这个二元
一次方程组的解 —
公共
解　
（续表）
知识点3 关于x的方程ax＝b的解的情况
（1）当a≠0时，有唯一解x＝ ；
（2）当a＝0，b＝0时，解为任意实数；
（3）当a＝0，b≠0时，无解.
知识点4 列一次方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；
（2）设未知数；
（3）列方程（组）；
（4）解方程（组）；
（5）检验并写答案.
知识点5 几种常见的实际问题
常见的实际问题 数量关系
经济问题 商品销售 问题 利润＝售价－进价
利润率＝ ×100％
售价＝标价×折扣
售价＝进价×（1＋利润率）
行程问题 基本量之 间的关系 路程＝速度×时间
相遇问题 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
（续表）
常见的实际问题 数量关系
行程问题 追及问题 路程差＝快走的路程－慢走的路程
水流（航行） 问题 v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水
工程问题 基本量之 间的关系 工作效率＝
其他常用 量关系 （1）通常把工作总量看作“1”；
（2）甲、乙合做的工作效率＝甲的效率＋
乙的效率
考点一　等式的性质与一次方程（组）的相关概念
（1）下列等式的变形，正确的是（　C　）
A. 若m＋n＝2n，则m＝2n
B. 若x＝3，则4x＝9
C. 若a＝b，则a＋2c＝b＋2c
D. 若x＝y，则 ＝
C
（2）若方程（k＋2） ＋6＝0是关于x的一元一次方程，则k＋
2025＝ ；
（3）如果 是方程x－3y＝－3的一组解，那么代数式2025－2a
＋6b＝ .
2025　
2031　
考点二　一元一次方程的解法
把方程 ＝1－ 去分母后，正确的结果是（　C　）
A. 2x－1＝1－（3－x）
B. 2（2x－1）＝1－（3－x）
C. 2（2x－1）＝8－（3－x）
D. 2（2x－1）＝8－3－x
C
解方程：
（1） ＝1＋ ；
[答案] 解：去分母，得2（2x＋1）＝6＋（1－3x），
去括号，得4x＋2＝6＋1－3x，
移项，得4x＋3x＝6＋1－2，
合并同类项，得7x＝5，
系数化为1，得x＝ .
解：去分母，得2（2x＋1）＝6＋（1－3x），
去括号，得4x＋2＝6＋1－3x，
移项，得4x＋3x＝6＋1－2，
合并同类项，得7x＝5，
系数化为1，得x＝ .
（2） － ＝2.
[答案] 解：原方程可变形为2x＋15－ ＝2，
去分母，得3（2x＋15）－（10x－1）＝6，
去括号，得6x＋45－10x＋1＝6，
移项、合并同类项，得－4x＝－40，
系数化为1，得x＝10.
解方程一方面要熟悉解法步骤，另一方面要注意各个步骤的易错点，比
如：①去分母时漏乘不含分母的项；②移项不变号；③分数线的括号功
能；④最后一步系数化为1的时候，颠倒分子和分母的位置.
考点三　二元一次方程（组）的解法
二元一次方程2x＋y＝8的正整数解有（　B　）
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
B
解方程组：
（1）
解：由①，得y＝3x＋4.③
将③代入②，得x－2（3x＋4）＝－3，解得x＝－1.
将x＝－1代入③，得y＝3×（－1）＋4＝1，
∴原方程组的解为
[答案]解：由①，得y＝3x＋4.③
[答案] 解：原方程组整理得
解：原方程组整理得
①－②，得－2y＝6，解得y＝－3.
将y＝－3代入①，得2x＋9＝9，解得x＝0，
∴原方程组的解为
（2）
解二元一次方程组时要根据方程组的特点灵活选择方法，当方程组中一
个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方
便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加
减法较方便.利用加减法解二元一次方程组时，选择方程组中同一个未
知数的系数绝对值较小的未知数消元，这样会使运算量较小.
考点四　含参数的一次方程（组）
（1）已知关于y的方程 ＋m＝1与y－m＝3的解相同，则m
＝ ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x－y
＝10，则a的值为 .
　
11　
考点五　一次方程（组）的应用
（1）（2025·内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每
套100元.店方表示：如果多购，可以优惠.结果校方购了72套，每套减
价3元，但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅
的成本为x元，则可列方程为（　B　）
A. 72（100－x）＝60（100＋3－x）
B. 60（100－x）＝72（100－3－x）
C. 60（100＋x）＝72（100－3＋x）
D. ＝
B
（2）（2025·齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航
天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前
往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要
租）.若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有
（　B　）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
B
（3）（2025·自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同
的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若大平行四边形的短边长
40 cm，则小地砖的短边长（　B　）
A. 7 cm B. 8 cm C. 9 cm D. 10 cm
B
（4）（2025·陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果
农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草
莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg，小悦平均每小时采摘
4 kg，则小康采摘的时长是 h.
1.2　
（2025·广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游
广西的外省籍小客车可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优
惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高
速费享受的优惠如下：
湖南境内 路段 广西境内 特定路段 广西境内
其他路段
周一至 周四 9.5折
周五至 周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境
内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元.则此行程
的高速费实付多少元？
[答案] 解：（1）此行程实际支付的高速费为
0.95a＋0＋0.5c＝（0.95a＋0.5c）元.
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55
元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元.则此行程中A市与
K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元？
[答案]（2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为x元和y
元.由题意，得
解得
答：此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费
原价分别是45.9元和55.1元.
列方程解应用题的关键是找出题中蕴含的等量关系，当题目中没有明确
等量关系时，可以选择题中一个量（如：时间、路程、销售额等），用
两种方式表示“它”，中间用“＝”连接即可.当有多种思路可以列出
不同方程时，所选用的可用两种方式表示的量需是题目中现成给出的，
或者容易直接表示的量，用最简便快捷的思路解题.
1. 下列等式变形正确的是（　B　）
A. 如果 x＝6，那么x＝3
B. 如果x－3＝y－2，那么x＝y＋1
C. 如果mx＝my，那么x＝y
D. 如果 x＋2＝y－1，那么x＋2＝3y－3
B
2. （1）若关于x的方程 －x＝1的解是正整数，则符合条件的所有
整数a的和为 ；
（2）甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程
①中的m，得到方程组的解为 乙看错了方程②中的n，得到
方程组的解为 则该方程组正确的解是 　 　.
31　
　
3. 解方程（组）：
（1）x－ ＝1＋ ；
解：去分母，得6x－3（x－2）＝6＋2（2x－1），
去括号，得6x－3x＋6＝6＋4x－2，
移项、合并同类项，得－x＝－2，
系数化为1，得x＝2.
（2）
解：原方程组可化为
①－②×2，得y＝10.
把y＝10代入②，得2x＋10＝1，
解得x＝－4.5，
∴原方程组的解为
请同学们完成《作业本》第16～17页练习题(共15张PPT)
第7课时　分式方程及其应用
第二章　方程（组）与不等式（组）
知识点1 分式方程
分母中含有 的方程叫做分式方程.
知识点2 解分式方程
解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般
步骤是：
（1）去分母：分式方程两边同时乘方程中各分母的 ，
把分式方程转化为整式方程.
注：最简公分母：①系数取最小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③
出现的因式取最高次幂.
未知数　
最简公分母　
（3）验根：将整式方程的解代入 ，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分
式方程的解，是原分式方程的增根.如果分式本身约分了，也要代进去
检验.
（4）得出结论.
最简公分母　
（2）解方程：解整式方程，得到方程的根.
知识点3 增根与无解
在分式方程变形时，扩大了未知数的取值范围，所以可能产生不适
合原方程的根，使方程中的分母为 ，此时这个根就是分式方程的
增根，因此解分式方程要验根.
产生增根的两个条件：①是分式方程去分母后整式方程的解；②使
最简公分母的值为零.
无解的两种情况：①方程去分母后整式方程无解；②为增根.
知识点4 分式方程的应用
分式方程的应用与一元一次方程的应用类似，不同的是分式方程的
应用题的验根有两次：
（1）检验所求的解是不是原分式方程的解；
（2）检验所求的解是否符合题意.
零　
考点一　分式方程的解法
（2025·湖南）将分式方程 ＝ 去分母后得到的整式方程为
（　A　）
A. x＋1＝2x B. x＋2＝1
C. 1＝2x D. x＝2（x＋1）
A
（1）（2025·江苏） － ＝1；
[答案] 解：方程两边同时乘（x＋1）（x－1），
得（x＋1）2－4＝（x＋1）（x－1），解得x＝1.
检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0，
∴x＝1是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解.
解方程：
（2）（2025·威海） －1＝ ；
[答案] 解：方程两边同时乘（2x－1），
得x－2－（2x－1）＝－1，解得x＝0.
检验：当x＝0时，2x－1≠0，
∴x＝0是原分式方程的解.
（3）（2025·上海） － ＝ .
[答案] 解：方程两边同时乘（x－2）（x－1），
得（x－3）（x－1）－2＝2（x－2），解得x＝1或x＝5.
检验：当x＝1时，（x－2）（x－1）＝0，
∴x＝1是原分式方程的增根；
当x＝5时，（x－2）（x－1）≠0，
∴x＝5是原分式方程的解.
综上，原分式方程的解为x＝5.
考点二　含参数的分式方程
（1）若关于x的方程 ＝ ＋1有增根，则m的值是
（　D　）
A. 3 B. 0或3 C. 7 D. －7
（2）（2025·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 ＋ ＝2无解，那
么实数m的值是（　C　）
A. m＝1 B. m＝－1
C. m＝1或m＝－1 D. m≠1且m≠－1
D
C
（3）若关于x的分式方程 －2＝ 的解为正数，则k的取值范围
为 .
k＞－2且k≠－1　
1. 分式方程有增根与无解并不是同一概念.分式方程无解可能有两种情
形：一是有增根产生，二是变形后的整式方程无解，比如ax＝b（a＝
0，b≠0）.
2. 在含参数的分式方程问题中，要特别注意分母不为零的隐含条件，
一定要注意增根所对应的参数的值一定要排除.
考点三　分式方程的应用
（2025·绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车
每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用
时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为
（　C　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
春风轻拂，万物复苏，青团成为这个季节不可或缺的美食.它不仅
是一种食物，更是一种情感的寄托，承载了人们对春天的赞美和怀念.
某甜品店开业当天推出了爆珠榴莲和麻辣牛肉两种青团.
（1）上午，两种青团共卖出300个，销售额为2800元，其中爆珠榴莲的
单价为10元，麻辣牛肉的单价为8元，求卖出两种青团各多少个；
[答案] 解：（1）设卖出爆珠榴莲x个，则卖出麻辣牛肉（300－x）
个.根据题意，得
10x＋8（300－x）＝2800，解得x＝200，
∴300－x＝100.
答：卖出爆珠榴莲200个，卖出麻辣牛肉100个.
（2）下午，该店调整了两种青团的价格，结果爆珠榴莲的单价比麻辣
牛肉的单价贵3元，售出爆珠榴莲的个数比麻辣牛肉的个数多50％，爆
珠榴莲的销售额为1050元，麻辣牛肉的销售额为400元，求爆珠榴莲的
单价是多少元.
[答案] 解：（2）设麻辣牛肉的单价是m元，则爆珠榴莲的单价是（m
＋3）元.根据题意，得
＝ ×（1＋50％），解得m＝4.
经检验，m＝4是原方程的解，且符合题意，
∴m＋3＝7.
答：爆珠榴莲的单价是7元.
1. （2025·深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，
实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下
列方程正确的是（　A　）
A. － ＝3 B. － ＝3
C. ＝2× D. ＝2×
A
2. （1）（2025·北京）方程 ＋ ＝0的解为 ；
（2）若关于x的方程 ＋ ＝1有增根，则这个增根为x＝ ，
m的值为 ；
（3）（2025·凉山州）若关于x的分式方程 ＋ ＝3无解，则m
＝ ；
（4）（2025·龙东）已知关于x的分式方程 － ＝3的解为负数，
则k的取值范围为 .
x＝2　
2　
5　
－1　
k＜－4　
3. （2025·自贡）去年暑假，小张与小李主动帮刘大爷掰玉米，他们各
掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2
筐，则小李平均每小时掰玉米 筐.
请同学们完成《作业本》第20～21页练习题
10　

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