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(共23张PPT)
第12课时　反比例函数
第三章　函数及其图象
知识点1 反比例函数的定义
定义 形如 的函数叫做反比例函数，其
中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数
解析
式 y＝ （k≠0）或xy＝k（k≠0）或y＝kx－1（k≠0）
易错
警示 （1）k≠0；（2）自变量x≠0；
（3）函数值y≠0
y＝ （k为常数，k≠0）　
知识点2 反比例函数的图象与性质
函数 y＝ （k≠0）
图象 反比例函数y＝ （k≠0）的图象是
k＞0 k＜0
所在 象限 第 象限（x，y同
号） 第 象限（x，y异
号）
双曲线　
一、三　
二、四　
函数 y＝ （k≠0）
性质 在每个象限内，y随x的增大
而 在每个象限内，y随x的增大
而
双曲线的两支关于直线 成轴对称； 双曲线的两支关于 成中心对称
特点 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交，即x≠0，y≠0
减小　
增大　
y＝x及y＝－x　
原点　
知识点3 反比例函数的比例系数k的几何意义
k的
几 何意
义 过双曲线y＝ （k≠0）上任意一点，分别引x轴、y轴的垂
线，两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为
拓展 过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴及
该点与原点的连线所围成的三角形的面积为
　
知识点4 关于k的几何意义的常用模型及结论
S△ABC＝　　
S△ABC＝
S△AOE＝S四边形ECDB
　　 S矩形ABCD＝|k1|－|k2|　
S△AOB＝ （|k1|－|k2|）
S△ABC＝S△AOB＝ （|k1|＋|k2|）
①AC＝BD；
②S△AOB＝S梯形AEFB；
③ ＝
考点一　反比例函数的图象与性质
（1）（2025·湖南）对于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是
（　D　）
A. 点（2，2）在该函数的图象上
B. 该函数的图象分别位于第二、四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大
D. 当x＞0时，y随x的增大而减小
D
（2）（2025·天津）若点A（－3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都
在反比例函数y＝－ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　D　）
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1
C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1
D
（3）反比例函数y＝ （k≠0）和一次函数y＝－kx＋3在同一平面直
角坐标系的大致图象可能是（　D　）
A B C D
D
考点二　反比例函数中k的几何意义与解析式的确定
（1）（2025·绥化）如图1，反比例函数y＝ 的图象经过A，C
两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接
OA，OC，AC. 若S△ACO＝4，CD∶OB＝1∶3，则k的值是
（　D　）
D
图1
A. －12 B. －9 C. －6 D. －3
（2）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图2所示，反比例函数y
＝ 的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，且
OE＝2AE. 若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（　D　）
A. B. C. D.
D
图2
（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，
点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形
ABCD. 若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝ ，则图象经过点
D的反比例函数的解析式是 .
y＝－ 　
图3
A. x＜－1或x＞1
B. x＜－1或0＜x＜1
C. －1＜x＜0或x＞1
D. －1＜x＜0或0＜x＜1
图1
考点三　反比例函数与一次函数
（1）（2025·连云港）如图1，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图
象与反比例函数y2＝ （k2＜0）的图象交于A，B两点，点A的横坐标
为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是（　C　）
C
（2）（2025·贵阳）如图2，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数y
＝ （x＞0）的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴的垂
线，垂足为D，交一次函数y＝x的图象于点B，点A的横坐标为1.下
列结论：
①线段AB的长为8；
②点C的坐标为（3，3）；
③当x＞3时，一次函数的值小于反比例函数的值.
其中结论正确的个数是（　C　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
图2
（2025·凉山州）如图，一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数
y2＝ （x＞0）的图象交于点A（6，1），B（2，m）.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
[答案] 解：（1）∵反比例函数y2＝ （x＞0）的图象经过点A（6，1），
∴1＝ ，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y2＝ （x＞0）.
在y2＝ （x＞0）中，当x＝2时，y2＝ ＝3，
∴B（2，3）.
将A（6，1），B（2，3）代入y1＝ax＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y1＝－ x＋4.
（2）利用图象，直接写出不等式ax＋b＞ 的解集为 　　；
[答案] 解：（2）2＜x＜6.
（3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值.
[答案] 解：（3）如答案图，作点B关于x轴的对
称点D，连接AC，BC，DC，AD，则点D（2，
－3），BC＝DC.
∵A（6，1），B（2，3），
∴AB＝ ＝2 ，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AC＋BC＋
2 ，
∴当AC＋BC取最小值时，△ABC的周长取最小
值.
∵AC＋BC＝AC＋DC≥AD，
∴当A，C，D三点共线时，AC＋DC有最小值，
即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD＋
2 .
（答案图）
∵A（6，1），D（2，－3），
∴AD＝ ＝4 ，
∴△ABC的周长的最小值为4 ＋2 .
易得直线AD的解析式为y＝x－5.
在y＝x－5中，当y＝0时，x＝5，
∴C（5，0）.
综上所述，当点C的坐标为（5，0）时，△ABC的
周长有最小值，最小值为4 ＋2 .
1. （2025·湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I
（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R
大于9 Ω时，电流I可能是（　A　）
（第1题）
A. 3 A B. 4 A C. 5 A D. 6 A
A
2. （1）已知点A（a，y1），B（a＋1，y2）在反比例函数y＝
（m是常数）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是
；
（2）（2025·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－
x－1的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象在第二象限内交于点
A，与x轴交于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC. 若AC＝
BC，则实数k的值为 .
－1＜a＜
0　
－6　
[第2（2）题]
3. 如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位
长度得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝ （x＞0）的
图象交于点A（2，4）.过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax＋
b与y＝ （x＞0）的图象于C，D两点.
（第3题）
（1）求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝ 的表达式；
解：（1）∵将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数
y＝ax＋b的图象，
∴y＝ax＋b＝ax＋3.
把A（2，4）代入y＝ax＋3中，得
2a＋3＝4，解得a＝ ，
∴一次函数y＝ax＋b的表达式为y＝ x＋3.
把A（2，4）代入y＝ （x＞0）中，得
k＝2×4＝8，
∴反比例函数y＝ （x＞0）的表达式为y＝ （x＞0）.
（2）连接AD，求△ACD的面积.
解：（2）∵BC∥x轴，B（0，2），
∴点C和点D的纵坐标都为2.
在y＝ x＋3中，当y＝ x＋3＝2时，x＝－2，
即C（－2，2）；
在y＝ （x＞0）中，当y＝ ＝2时，x＝4，
即D（4，2），
∴CD＝4－（－2）＝6.
∵A（2，4），
∴S△ACD＝ CD·（yA－yC）＝ ×6×（4－2）＝6.
请同学们完成《作业本》第34～35页练习题(共22张PPT)
第10课时　一次函数的图象及其性质
第三章　函数及其图象
知识点1 一次函数和正比例函数的相关概念
概念 一般地，如果y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），那么
y叫做x的一次函数.特别地，当b＝0时，y＝kx（k为常
数，且k≠0），这时y叫做x的正比例函数
正比例函 数的图象 正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象是经过
点 和点（1，k）的一条直线
（0，0）　
一次函数 的图象 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是经过点
和 的一条直线
图象关系 一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平
移得到.当b＞0时，向上平移b个单位长度；当b＜0时，
向下平移 个单位长度
（0，
（－ ，0）　
b）　
知识点2 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与性质
函
数 y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）
k＞0 k＜0
b＞
0 b＝
0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图
象
经
过 象
限 第
象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 第

象限
性
质 y随x的增大 而 y随x的增大 而
一
、
二
、
三
一
三
一、　
三、四　
一、　
二、四　
二
、　
四　
二、　
三、四　
增大　
减小　
（1）k的符号决定直线的增减性； 的大小决定直线的倾斜程度，即
越大，直线与x轴相交的锐角的度数越大（直线越 ）； 越
小，直线与x轴相交的锐角的度数越小（直线越 ）.
（2）b（称为截距）表示直线y＝kx＋b（k≠0）与y轴的交点的纵坐
标.
陡　
平缓　
知识点3 一次函数的平移
知识点4 同一平面内，直线y＝k1x＋b1（k1≠0）与y＝k2x＋b2
（k2≠0）的位置关系
当 时，两直线重合；
当 时，两直线平行；
当 时，两直线相交；
当 时，两直线垂直；
当 时，两直线交于y轴上同一点.
k1＝k2且b1＝b2　
k1＝k2，b1≠b2　
k1≠k2　
k1k2＝－1　
k1≠k2，b1＝b2　
知识点5 特殊直线方程
x轴：直线 ，y轴：直线 ；
与x轴平行的直线为y＝a（a为常数，且a≠0），与y轴平行的直
线为x＝b（b为常数，且b≠0）；
第一、三象限的角平分线为直线 ，第二、四象限的角平
分线为直线 .
y＝0　
x＝0　
y＝x　
y＝－x　
知识点6 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组
的关系
一次函数 与一元一 次方程 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标
是一元一次方程kx＋b＝0的解
一次函数 与一元一 次不等式 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象位于x轴上方（或下
方）时，相应x的取值范围是不等式kx＋b＞0（或kx＋
b＜0）的解集
（续表）
一次函数 与二元一 次方程组 两直线相交 k1≠k2 两直线的交点坐标即为两个一次函数解析
式所组成的方程组 的解
两直线平行 k1＝k2， b1≠b2 方程组 无解
两直线重合 k1＝k2， b1＝b2 方程组 有无数组解
考点一　一次函数的图象与性质
（1）下列有关一次函数y＝－3x＋6的说法中，错误的是
（　D　）
A. y的值随着x的增大而减小
B. 函数图象经过第一、二、四象限
C. 函数图象与y轴的交点坐标为（0，6）
D. 当x＞0时，y＞6
D
（2）（2025·安徽）已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点M
（1，2），且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的
坐标可以是（　D　）
A. （－2，2） B. （2，1）
C. （－1，3） D. （3，4）
（3）一次函数y＝（b－1）x－3＋b不经过第二象限，则b的取值范围
为 .
D
1＜b≤3　
考点二　确定一次函数的解析式
（1）（2025·陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，
2）的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是
（　B　）
B
A. （1，－3） B. （1，3）
C. （－3，2） D. （3，2）
（2）如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，
那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（　D　）
A. y＝ x B. y＝x
C. y＝ x D. y＝2x
（3）直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转
15°，得到直线l2，则直线l2的解析式是 .
D
y＝ x－ 　
考点三　一次函数与方程（组）、不等式
（1）已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋
b的图象大致是（　B　）
A 　B　 C 　D
B
（2）一次函数y＝mx＋n（m≠0）与y＝ax＋b（a≠0）在同一平面
直角坐标系中的图象如图所示.根据图象有下列五个结论：
①a＞0；
②n＜0；
③方程mx＋n＝0的解是x＝1；
④不等式ax＋b＞3的解集是x＞0；
⑤不等式mx＋n≤ax＋b的解集是x≤－2.
其中正确的结论有 .（填序号）
①②④　
考点四　一次函数与几何的综合应用
（2025·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋4
与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，
A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线
CD的对称点为E，连接DE.
（1）求证：∠OAB＝45°；
[答案] （1）证明：易得A（0，4），B（4，0），
∴OA＝OB＝4.
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°.
（2）设点C的坐标为（0，m）.当0＜m＜2时，线段DE与线段OB相
交于点F，求四边形COFD面积的最大值.
[答案] （2）解：∵C（0，m），
∴OC＝m，AC＝4－m.
∵点A（0，4）关于直线CD的对称点为E，
∴CE＝AC＝4－m，∠OAB＝∠CED＝45°，
∴OE＝CE－OC＝4－2m.
∵∠EOF＝90°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴OF＝OE＝4－2m.
∵CD⊥OA，
∴∠OAB＝∠CDA＝45°，
∴CD＝AC＝4－m，
∴S四边形COFD＝ （OF＋CD）·OC＝ （4－2m＋4－m）×m＝－
m2＋4m＝－ ＋ .
∵－ ＜0，0＜m＜2，
∴当m＝ 时，S四边形COFD有最大值，最大值为 .
1. （2025·新疆）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是
（　C　）
A 　B　 C 　D
C
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴
上，顶点B在直线y＝ x上.若点B的横坐标是8，则点C的坐标为
（　B　）
A. （－1，6） B. （－2，6）
C. （－3，6） D. （－4，6）
B
（第2题）
3. （2025·育才）如图，一次函数y＝kx＋4与一次函数y＝x＋b的图象
交于点P（1，2），则下列说法不正确的是（　D　）
A. 关于x，y的方程组 的解是
B. 不等式kx＋4＜x＋b的解集是x＞1
C. 方程x＋b＝0的解是x＝－1
D. 方程kx＋4＝0的解是x＝－2
请同学们完成《作业本》第30～31页练习题
D
（第3题）(共15张PPT)
第14课时　二次函数的图象和性质（二）
第三章　函数及其图象
知识点1 二次函数的解析式
一般式： ；
顶点式： ；
交点式： .
方法 适用条件及求法
一般式 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2
＋bx＋c，将已知条件代入，求出a，b，c的值
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）　
y＝a（x－h）2＋k（a≠0）　
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）　
顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴或最大值、最小
值），则设所求二次函数为y＝a（x－h）2＋k，将已知条件
代入，求出a，h，k的值
交点式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标分别为（x1，
0），（x2，0），则设所求二次函数为y＝a（x－x1）（x－
x2），将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出a的值
　　注：当二次函数图象进行了几何变换（平移、对称、旋转）
时，求新抛物线解析式通常利用顶点式，抓住变换后的顶点坐标及a的
值即可写出新抛物线的解析式.
知识点2 二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）用配方法化成
的形式，而任意抛物线y＝a（x－h）2＋k均可由抛物线y
＝ax2平移得到，其规律是：左加右减，上加下减.
y＝a（x－
h）2＋k　
知识点3 抛物线与x轴交点的个数
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解.该方程的判别式Δ＝b2－
4ac的符号决定抛物线与x轴的交点个数.
若抛物线与x轴只有一个交点 ；
若抛物线与x轴有两个交点 ；
若抛物线与x轴没有交点 .
Δ＝0　
Δ＞0　
Δ＜0　
考点一　二次函数图象与几何变换
已知抛物线y＝x2－2x＋3，则：
（1）将它向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛
物线的解析式为 ；
（2）将它沿直线y＝x向上平移 个单位长度后所得抛物线的解析式
为 ；
y＝（x－3）2＋5　
y＝（x－2）2＋3　
（3）它关于x轴对称的抛物线的解析式为 ；
（4）它关于y轴对称的抛物线的解析式为 ；
（5）它关于原点对称的抛物线的解析式为 ；
y＝－（x－1）2－2　
y＝（x＋1）2＋2　
y＝－（x＋1）2－2　
（6）将它绕着顶点旋转180°后所得抛物线的解析为 .
y＝－（x－
1）2＋2　
考点二　确定二次函数的解析式
（1）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为
（　B　）
B
A. y＝x2＋2x－3
B. y＝x2－2x－3
C. y＝－x2＋2x－3
D. y＝－x2－2x＋3
（2）将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点（－2，4），则6a－3b－7＝ .
2　
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4交两坐标轴于B，
C两点，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，且A
（－1，0）.
（1）求二次函数的解析式；
[答案] 解：（1）对于y＝－x＋4，
令x＝0，则y＝4，∴C（0，4）；
令y＝0，则x＝4，∴B（4，0）.
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A（－1，0），B（4，0），C
（0，4）三点，
∴设二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－4）.
将C（0，4）代入，得4＝－4a，解得a＝－1，
∴二次函数的解析式为y＝－（x＋1）（x－4）＝－x2＋3x＋4.
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的长度最短，求
点P的坐标；
[答案] 解：（2）抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝ .
∵直线x＝ 为AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，∴PA＋PC＝PB＋PC，
∴当点P在线段BC上时，PA＋PC的长度最短.
当x＝ 时，y＝－ ＋4＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ）.
（3）将该抛物线沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过（2）中PA＋
PC的长度最短时的点P，求新抛物线的解析式.
[答案] 解：（3）由题意，易得抛物线向左平移 个单位长度，向上平
移 个单位长度，
∴y＝－（x＋ ）2＋3（x＋ ）＋4＋ ＝－x2－2x＋ .
考点三　二次函数与方程和不等式
（1）已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A（m，n），B（m－4，
n）两点，且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（　A　）
A. 4 B. －4 C. 6 D. 16
A
（2）如图，直线y＝kx＋h与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A（－1，
m），B（5，n）两点，则关于x的不等式ax2＋（b－k）x＋c＞h的
解集是 ；
－1＜x＜5　
（3）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），且a－
b＋c＝0，a＞0.下列四个结论：①对于任意实数m，a（m2－1）＋b
（m－1）≥0恒成立；②若a＋b＝0，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集
是－1＜x＜2；③一元二次方程－a（x－2）2＋bx＝2b＋c有一个根x
＝1；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上.若c＞a，则当－1
＜x1＜x2时，总有y1＜y2.其中正确的是 .（填序号）
②④　
1. （2025·外语校）抛物线y＝ x2＋2mx＋8与x轴有且只有一个交点，
则m的值为（　B　）
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
B
2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交
点为（－3，0），则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 .
（第2题）
－3＜x＜5　
3. （1）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如
下表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 …
则当－2＜x＜2时，y的取值范围是 ；
（2）将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度.若平移后得到的
抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 .
请同学们完成《作业本》第38～39页练习题
－4≤y＜5　
k≥3　(共20张PPT)
第15课时　二次函数的图象和性质（三）
第三章　函数及其图象
知识点1 建立二次函数模型解决几何问题
　　建立二次函数模型解决几何问题，常见的有两类：一是用公式，如
周长公式、面积公式、体积公式等建立；二是用图形的有关性质，如勾
股定理、三角形相似、三角形全等等建立.
知识点2 二次函数的实际应用问题常见类型
（1）利用抛物线顶点坐标来求最值；
（2）最值不在抛物线顶点处取得；
（3）分段函数求最值问题；
（4）复合函数求最值问题；
（5）借助二次函数图象解一元二次不等式.
考点一　抛物线中的线段（周长）最值问题
（2025·眉山改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋
bx＋c关于直线x＝－3对称，与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴
交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
[答案] 解：（1）易知B（－5，0），
∴抛物线的解析式为y＝（x＋1）（x＋5）＝x2＋6x＋5.
（2）在线段OC上是否存在点Q，使2AQ＋ CQ取最小值？若存
在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由.
[答案] 解：（2）存在.如答案图，在x轴上取点M（5，0），连接
CM. 过点A作AH⊥CM于点H，交y轴于点Q'，过点Q作QG⊥CM
于点G，则OM＝5，∠QGC＝90°.
易知C（0，5），∴OC＝OM＝5，
∴∠OCM＝∠OMC＝45°，
∴△QGC为等腰直角三角形，
∴QG＝CG＝ CQ，
∴2AQ＋ CQ＝2 ＝2（AQ＋QG）≥2AH，
∴当点Q与点Q'重合时，2AQ＋ CQ的值最小为2AH的长.
（答案图）
∵A（－1，0），∴OA＝1，AM＝6.
∴AH＝AM· sin 45°＝6× ＝3 ，
∴2AQ＋ CQ的最小值为6 .
在Rt△AHM中，∠AMH＝45°，
∴∠MAH＝45°，
∴△OAQ'为等腰直角三角形，
∴OQ'＝OA＝1，∴Q'（0，1）.
综上，存在点Q的坐标为（0，1），使2AQ＋ CQ取最小值，最小
值为6 .
线段最值的基本图形[详见本书第二部分专题十二第1课时知识方法
归纳]
考点二　抛物线中的面积最值问题
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，其中B（1，0），C（0，3）.
（1）求抛物线的解析式；
[答案] 解：（1）将B（1，0），C（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
（2）在第二象限的抛物线上存在一点P，使得△APC的面积最大，请
直接写出点P的坐标和△APC面积的最大值.
[答案] 解：（2）对于y＝－x2－2x＋3，令y＝0，即－x2－2x＋3＝0，
（答案图）
解得x1＝－3，x2＝1，
∴A（－3，0），∴OA＝3.
易知直线AC的解析式为y＝x＋3.
如答案图，过点P作PE⊥x轴交AC于点E.
设P（m，－m2－2m＋3）（－3＜m＜0），则E（m，m＋3），
∴S△APC＝ PE·
＝ （－m2－2m＋3－m－3）×3
＝－ （m＋ ）2＋ .
∵－ ＜0，－3＜m＜0，
∴当m＝－ 时，S△APC有最大值为 ，此时点P的坐标为（－ ， ）.
1. 与抛物线上动点有关的面积问题常用方法：
（1）如果有某条边在坐标轴上或者平行于坐标轴可直接底乘高；
（2）等高面积之比可转化为底边之比；
（3）利用平行进行等面积转化；
（4）铅垂高乘水平宽；
（5）两点在坐标轴上，动点象限确定可直接连接原点和动点；
（6）利用相似表示面积.
2. 由动点产生的面积最大值，通常是求二次函数的最值，有时也可转
化为求高的最大值，即动点到定直线距离最远（此时高最大），而当直
线与抛物线相切时，此时联立直线和抛物线表达式，由判别式Δ＝0可求
最值.
考点三　双最值问题
如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c过点A（3，2），且与直线y＝
－x＋ 交于B，C两点，点B的坐标为（4，t）.
（1）求抛物线的解析式；
[答案] 解：（1）将点B（4，t）代入y＝－x＋ ，
得t＝－4＋ ＝－ ，∴B .
将A（3，2），B 代入y＝－ x2＋bx＋c，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋x＋ .
（2）点D为位于直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥x轴交
直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求
PD＋PA的最小值.
[答案] 解：（2）设D （0＜m＜4），则E，
∴DE＝ － ＝－ m2＋2m＝－ （m－2）2
＋2.
∵－ ＜0，0＜m＜4，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D .
易知抛物线的对称轴为直线x＝1.
如答案图，作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D与对称轴交于点
P，连接AP，
则PD＋PA＝PD＋PA'≥A'D，当A'，P，D三点共线时取得等号，此
时PD＋PA最小，为A'D的值.
∵A（3，2），∴A'（－1，2），
A'D＝ ＝ ，
即PD＋PA的最小值为 .
考点四　利用二次函数模型解决几何面积问题
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D，
E分别是BC，AC边上的点，DE∥AB，则S△BDE的最大值是 .
4　
如图，学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆
围成.已知墙长42m，篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为xm，平行于
墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2.
（1）求y与x，S与x的关系式；
[答案] 解：（1）∵篱笆长80m，
∴AB＋BC＋CD＝80m.
∵AB＝CD＝xm，BC＝ym，
∴x＋y＋x＝80，∴y＝80－2x.
∵墙长42m，
∴0＜80－2x≤42，解得19≤x＜40，
∴y＝80－2x（19≤x＜40）.
矩形面积S＝BC·AB＝y·x＝（80－2x）x＝－2x2＋80x（19≤x＜
40）.
（2）围成的矩形花圃面积能否为750m2？若能，求出x的值；
[答案] 解：（2）令S＝750，则－2x2＋80x＝750，
整理，得x2－40x＋375＝0，
解得x1＝25，x2＝15.
∵19≤x＜40，∴x＝25，
∴当x＝25时，围成的矩形花圃面积为750 m2.
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大
值，并求出此时x的值.
[答案] 解：（3）S＝－2x2＋80x＝－2（x－20）2＋800.
∵－2＜0，19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取得最大值，最大值为800 m2.
1. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为
射线AD上一点.若AP＝PF，则△APF面积的最大值为（　C　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
（第1题）
C
2. 某商店将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每
天能卖出20个.通过
市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个.为
了获取最大利润，这种商品的销售单价应降 元.
5　
3. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是 m，出手
后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是
4m.若实心球落地点为M，则OM＝ m.
（第3题）
请同学们完成《作业本》第40～41页练习题及第42～47页微专题
　(共15张PPT)
第11课时　一次函数的实际应用
第三章　函数及其图象
知识点 利用一次函数性质解决实际问题的一般步骤
（1）理解题意，分析题意，将文字语言或函数图象中的点的坐标转化
为数学语言；
（2）根据条件中的等量关系确定一次函数解析式及自变量的取值范
围；
（3）利用一次函数的性质解决问题.
考点一　利用一次函数图象解决实际问题
（2025·新疆）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀
速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止.两车之间的距离s
（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的
是（　C　）
C
A. 两车出发2 h后相遇
B. A，B两地相距280 km
C. 快车比慢车早 h到达目的地
D. 快车的速度为80 km/h，慢车的速度为60 km/h
（2025·齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了
科技与民族文化的完美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织
科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆.校园里一条笔直的
“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从
A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度
匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继
续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速
度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人
同时到达C区.机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时
间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a＝ ；
240　
7.5　
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
[答案] 解：（2）由题意可知，E（9，0），
F（15，90）.
设直线EF的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.把E（9，0），F（15，
90）代入，得
解得
∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x－135.
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直
接写出答案即可）
[答案] 解：（3）分情况讨论：
当机器人甲和乙都未到达B区且相距30米时，
则150－20x＋90－10x＝30，解得x＝7，符合题意；
当机器人乙从B区返回，机器人甲仍在B区停留期间，且相距30米时，
则15x－135＝30，解得x＝11，符合题意；
当机器人乙从B区返回，机器人甲离开B区向C区前进，且相距30米
时，即12≤x≤15时，
易知此时机器人甲的速度为
90÷（15－12）＝30（米/分），
则（15x－135）－30（x－12）＝30，
解得x＝13，符合题意.
综上，机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距
30米.
考点二　利用一次函数模型解决实际问题
（2025·烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿
色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区
域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需
220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
[答案] 解：（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为x元，y元.根据题
意，得 解得
答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元.
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超
过乙种路灯数量的 ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
[答案] 解：（2）设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯（40－m）
盏.根据题意，得m≤ （40－m），解得m≤10.
设所需费用为n元.根据题意，得
n＝60m＋80（40－m）＝－20m＋3 200.
∵－20＜0，m≤10，
∴当m＝10时，n取得最小值，此时40－m＝30.
答：购买甲种路灯10盏、乙种路灯30盏时，所需费用最少.
考点三　动态几何问题
如图1，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，其中BC＝9cm，BE
＝3cm.动点P从点B开始，以3cm/s的速度沿B→C→D路线运动，然后
再以vcm/s的速度沿D→A路线运动，到达点A后停止.如图2是点P出
发t s后，△BPE的面积S（cm2）随时间t（s）变化的图象.根据图中提
供的信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，CD＝ cm，b＝ ，v＝ ；
3　
6　
　
2　
（2）当△BPE的面积为9cm2时，求t的值；
[答案] 解：（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝9cm.
∵BE＝3cm，△BPE的面积为9cm2，
∴点P到AB的距离为6cm.
当点P在BC上时，t＝ ＝2（s）；
当点P在AD上时，DP＝9－6＝3（cm），
∴t＝5＋ ＝5＋ ＝6.5（s）.
综上，t的值为2或6.5.
（3）如图3，当点P以3cm/s的速度在BC上运动时，动点Q同时以
xcm/s的速度从点C出发，沿边CD运动，到达点D后停止.当x为何值
时，△PBE与△PCQ全等？请直接写出x的值.
[答案] 解：（3）∵∠B＝∠C＝90°，
∴当△PBE与△PCQ全等时，有两种情况：
①当△PBE≌△PCQ时，BE＝CQ，PB＝PC，
∴ 解得x＝2；
②当△PBE≌△QCP时，PB＝CQ，BE＝PC，
∴ 解得x＝3.
综上，x的值为2或3.
1. （2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运
行，其电池剩余的能量y（W·h）与骑行里程x（km）之间的关系如图
所示.当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警.根据图象，
下列结论正确的是（　C　）
A. 电池能量最多可充400 W·h
B. 摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D. 摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
（第1题）
C
2. （2025·青海）如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程
中，汽车离开A地的路程y（km）与时刻t之间的对应关系如图所示.下
列结论错误的是（　C　）
A. 乙车先到达B地
B. A，B两地相距300 km
C. 甲车的平均速度为100 km/h
D. 在8：30时，乙车追上甲车
（第2题）
C
3. 小王前往距家2000m的公司参会，先以v0m/min的速度步行一段时间
后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14min，小
王距家的路程s（m）与所用时间t（min）之间的函数图象如图所示.若
小王全程以v0m/min的速度步行，则他到达时距会议开始还有 min.
（第3题）
请同学们完成《作业本》第32～33页练习题
5　(共15张PPT)
第13课时　二次函数的图象和性质（一）
第三章　函数及其图象
知识点1 二次函数的定义及表达式
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的函
数，叫做二次函数.
知识点2 二次函数的图象和性质
函数 y＝a（x－h）2
＋k（a＞0） y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
开口 方向 开口向 开口向
对称
轴 直线 直线
顶点 坐标 （ ，
） （ 　－ 　， 　 　）
上　
下　
x＝h　
x＝－ 　
h　
k　
－ 　
　
增减
性 当 时，y随x的增大而 ；当 时，y随x的增大而
当 时，y随x的增而 ；当 时，y随x的增大而
最值 当x＝
时，y有最
值为 当x＝ 　 － 　时，y有最 值为 　 　
x＜
h　
减
小　
x＞
h　
增
大　
x＜－ 　
增大　
x＞－ 　
减小　
h　
小　
k　
－ 　
大　
　
知识点3 抛物线y＝ax2＋bx＋c中系数a，b，c的几何意义
字母 字母符号 图象特征
a （决定开口
方向和开口
大小） a＞0 开口向
a＜0 开口向
越大 开口越
越小 开口越
a，b （决定对称
轴位置） b＝0 对称轴为
ab＞0 对称轴在y轴 侧
ab＜0 对称轴在y轴 侧
上　
下　
小　
大　
y轴　
左　
右　
c （决定与y
轴交点位置） c＝0 抛物线经过
c＞0 与y轴 半轴相交
c＜0 与y轴 半轴相交
b2－4ac （决定与x
轴交点个数） b2－4ac＝0 与x轴有 个交点
b2－4ac＞0 与x轴有 个交点
b2－4ac＜0 与x轴有 个交点
特殊关系：
①当x＝±1时，y＝a±b＋c；
②若a±b＋c＞0，则x＝±1时，y＞0.
原点　
正　
负　
一　
两　
0　
考点一　二次函数的概念
（1）下列函数中：①y－x2＝0；②y＝x2＋ ；③y＝（x＋2）
（x－2）－（x－1）2；④y＝ ；⑤y＝x（5－x），是
以x为自变量的二次函数的是 ；（填序号）
（2）如果函数y＝（m－3） ＋3x－1是二次函数，那么m的值
为 .
（1）判断是不是二次函数，要先化为一般式来判断；（2）二次函数的
二次项系数不为0.
①⑤　
－1　
考点二　二次函数的图象和性质
（1）（2025·福建）已知点A（－2，y1），B（1，y2）在抛物线
y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　A　）
A. 1＜y1＜y2 B. y1＜1＜y2
C. 1＜y2＜y1 D. y2＜1＜y1
A
（2）函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y2＝ （k≠0）的图象如图1所
示，若y1，y2均随着x的增大而减小，则（　D　）
A. x＜－1 B. －1＜x＜0
C. 0＜x＜2 D. x＞1
　　
D
图1
（3）如图2是一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则二次函数y＝kx2
＋bx＋2的图象可能为（　C　）
A B
C
C D
图2
（4）已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数y的
几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　D　）
D
A. 图象的开口向上
B. 当x＞0时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线x＝1
（5）若关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个不相等的实数根，则抛物线
y＝x2＋（a－4）x－5的顶点在第 象限.
四　
考点三　二次函数图象与系数a，b，c的关系
（1）（2025·达州）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x
轴交于点A（1，0），B（3，0）.下列结论：①abc＜0；②4a＋b＝
0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数为（　D　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
图1　
（2）（2025·广安）如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常
数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（－1，0），点
B的坐标是（n，0）.下列结论：①abc＜0；②4a＋c＞2b；③关于x
的方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－1，x2＝n；④－ ＝ .其中正
确的有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
图2
1. 关于二次函数y＝（x－2）2＋3，下列说法正确的是（　D　）
A. 函数图象的开口向下
B. 函数图象的顶点坐标是（－2，3）
C. 当x＞2时，y随x的增大而减小
D. 该函数图象与y轴的交点坐标是（0，7）
2. 抛物线y＝ （x－1）2＋c经过（－2，y1），（0，y2），（ ，
y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　D　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1
C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2
D
D
3. （2025·凉山州）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图
所示，其对称轴为直线x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误
的是（　D　）
A. bc＞0
B. 4a＋b＝0
C. 若a ＋bx1＝a ＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4
D. 若（－1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2
＋bx＋c上，则y2＜y1
（第3题）
请同学们完成《作业本》第36～37页练习题
D(共19张PPT)
第9课时　平面直角坐标系与函数
第三章　函数及其图象
知识点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
[设P（x，y）]
各象限内 的点的坐 标特征
坐标轴上 的点的坐 标特征 点P在x轴上 ；
点P在y轴上 ；
点P既在x轴上，又在y轴上（原点） ；
x轴、y轴上的点不属于任何象限
纵坐标y＝0　
横坐标x＝0　
P（0，
0）　
平行于坐 标轴的直 线上的点 的坐标 特征 平行于x轴的直线上的各点的
相同；
平行于y轴的直线上的各点的
相同
纵坐标　
横坐标　
各象限的 角平分线 上的点的 坐标特征 点P在第一、三象限的夹角平分线上
；
点P在第二、四象限的夹角平分线上

关于x轴、 y轴或原 点对称的 点的坐标 特征 关于x轴对称 横坐标 ，纵坐标
；
关于y轴对称 横坐标 ，纵坐标
；
关于原点对称 横坐标 ，纵坐标

横、纵坐标相
等，即x＝y　
横、纵坐标互
为相反数，即x＝－y　
相同　
互为相反
数　
互为相反数　
相
同　
互为相反数　
互为
相反数　
知识点2 平面直角坐标系中的点到坐标轴及点的距离
点P（x，y）到
x轴的距离
点P（x，y）到
y轴的距离
点P（x，y）到
原点的距离
点P（x1，y1）
到点Q（x2，
y2）的距离
　
　
　
　
知识点3 函数的概念
（1）一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一
个值，y都有 与它对应，那么就说x是自变量，y是x
的函数.
（2）函数的三种表示方法： 、 、 .
唯一确定的值　
列表法　
图象法　
解析式法　
知识点4 函数的图象
（1）把一个函数的自变量x与其所对应的y值分别作为点的横坐标和纵
坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该
函数的图象.
（2）画函数图象一般分为三步： 、 、 .
列表　
描点　
连线　
知识点5 函数自变量的取值范围
函数解析式的
形式 自变量的取值范围
解析式为整式
解析式为分式
解析式为二次
根式
零次幂或负整
数次幂型
各种形式的组合 使各个部分有意义的公共部分
涉及实际问题 使实际问题有意义
全体实数　
使分母不等于零的实数　
被开方数为非负实数　
底数不为零　
考点一　平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）在平面直角坐标系中，将点P（1，－1）向右平移2个单位
长度后，得到的点P1关于原点的对称点的坐标是（　B　）
A. （1，－1） B. （－3，1）
C. （3，－1） D. （1，1）
（2）（2025·巴蜀）已知点P（x，y）为平面直角坐标系xOy内一点，
xy＞0，且点P到x轴、y轴的距离分别为3，5，则点P的坐标为
（　B　）
A. （3，5）或（－3，－5） B. （5，3）或（－5，－3）
C. （5，3）或（－3，－5） D. （3，5）或（－5，－3）
B
B
（3）（2025·青海）在平面直角坐标系中，点P（a－2，1＋a）在第
三象限，则a的取值范围是 ；
（4）（2025·广安）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，
b），且a，b满足（a－2）2＋ ＝0，则点A在第 象限.
a＜－1　
四　
考点二　点的坐标综合
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），B
（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，
PA，则PO＋PA的最小值为 ；
（2）如图2，已知四边形ABCD是菱形，若点A（0，0），C（3，
1），则直线BD与x轴的交点E的坐标为 ；
5　
　
图1
图2
（3）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐
标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取
决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；
当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单
位长度.
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，
2），其平移过程如下：
P（2，1） P1（3，1） P2（3，2）
P3（2，2）
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（－1，9），则
点Q的坐标为（　D　）
A. （6，1）或（7，1） B. （15，－7）或（8，0）
C. （6，0）或（8，0） D. （5，1）或（7，1）
D
考点三　函数自变量的取值范围
（1）函数y＝ － 中，自变量x的取值范围是（　D　）
A. x≥1 B. x＞－1且x≠2
C. x≠2 D. x≥－1且x≠2
（2）函数y＝ ＋（x＋1）0的自变量x的取值范围是 　x＜ 且
.
D
x＜ 且
x≠－1　
考点四　函数的表示及图象
（2025·八中）如图，曲线表示无人机在五分钟内离地面的飞行高
度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，下列说法错误的是
（　D　）
D
A. 无人机最初的高度为30 m
B. 1 min时的高度和5 min时的高度相同
C. 3 min时无人机达到最高高度为60 m
D. 2 min到4 min之间，无人机飞行高度h持续上升
如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，动点P
从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，按A→B→C→D的路径匀速
运动，到达点D后停止.如图2是点P运动t秒后（0＜t＜8），△PAD的
面积S随时间t变化的图象.由以上信息回答下列问题：
（1）AB＝ ，a＝ ；
4　
14　
（2）当t为何值时，△PAD的面积为6？
[答案] 解：（2）分情况讨论：
当点P在AB上时，AP＝2t，
∴S△PAD＝ AD·AP＝ ×4×2t＝6，
解得t＝ ；
当点P在CD上时，DP＝16－2t，
∴S△PAD＝ AD·DP＝ ×4×（16－2t）＝6，
解得t＝ .
综上，当t＝ 或 时，S△PAD＝6.
通过函数图象获取信息时，数形结合是关键，要读懂x轴、y轴代表的
实际意义，以及拐点、起点、终点等表示的实际意义，同时也要弄清图
象的变化趋势及其实际意义.
1. （2025·广西）生态学家通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种
群数量y（个）随时间t（天）的变化情况，得到了如图所示的“S”形
曲线.下列说法正确的是（　B　）
A. 第5天的种群数量为300个
B. 前3天种群数量持续增长
C. 第3天的种群数量达到最大
D. 每天增加的种群数量相同
（第1题）
B
2. （2025·自贡）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边
长为5，AB边在y轴上，B（0，－2）.若将正方形ABCD绕点O逆时针
旋转90°得到正方形A'B'C'D'，则点D'的坐标为（　A　）
A. （－3，5） B. （5，－3）
C. （－2，5） D. （5，－2）
（第2题）
A
3. （2025·威海）某广场计划用如图1所示的A，B两种瓷砖铺成如图2
所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为（1，1），其右边瓷砖的位
置记为（2，1），其上面瓷砖的位置记为（1，2）.按照这样的规律，
下列说法正确的是（　B　）
A. （2 024，2 025）位置是B种瓷砖
B. （2 025，2 025）位置是B种瓷砖
C. （2 026，2 026）位置是A种瓷砖
D. （2 025，2 026）位置是B种瓷砖
（第3题）
B
请同学们完成《作业本》第28～29页练习题

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