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第20课时　直角三角形与勾股定理
第四章　图形的性质
知识点1 直角三角形的性质与判定
性质 判定
直角三角形 （1）两锐角
； （2）斜边上的中
线等于
； （3）30°角所对
直角边等于
； （1）有一个角是直角的三角形是
直角三角形；
（2）勾股定理的逆定理：如果三
角形的三边长a，b，c满
足： ，那么这个
三角形是直角三角形；　
（3）如果三角形的一边中线等于
这条边的一半，那么这个三角形
是直角三角形
互
余　
斜边的一
半　
斜边
的一半　
a2＋b2＝c2　
直角三角形 （4）勾股定理：
直角三角形两直角
边的平方和等
于
，即a2＋b2＝
c2（c为斜边）； （5）直角顶点在
以斜边为直径的圆
上 （1）有一个角是直角的三角形是
直角三角形；
（2）勾股定理的逆定理：如果三
角形的三边长a，b，c满
足： ，那么这个
三角形是直角三角形；　
（3）如果三角形的一边中线等于
这条边的一半，那么这个三角形
是直角三角形
斜边的平
方　
a2＋b2＝c2　
知识点2 勾股定理
内容 用途
勾股 定理 如果直角三角形的
两条直角边长分别
为a，b，斜边长
为c，那么
（1）勾股定理是求线段长的重要工具；
（2）利用勾股定理可建立三边关系的方
程；
（3）勾股定理可用于证明平方关系
a2＋
b2＝c2　
内容 用途
勾股 定理 的逆 定理 如果三角形的三边
长a，b，c满足 ，
那么这个三角形是
直角三角形 （1）判断某三角形是否为直角三角形；
（2）证明两条线段垂直；
（3）解决生活实际中的问题，比如最短
路径问题
勾
股 数 能构成直角三角形
的三条边长的三个
正整数，称为勾股
数 —
a2＋b2＝c2　
（3）三边之比为1∶1∶ 的三角形 三内角是30°，30°，120°；
（4）等边三角形中，若边长为a，则高h＝ a，面积S＝ a2，外接
圆半径r＝ a，边心距（内切圆半径）d＝ a.
　　注意：利用勾股定理及其逆定理可以得到以下常用结论：
（1）三边之比为1∶ ∶2的三角形 三内角是30°，60°，90°；
（2）三边之比为1∶1∶ 的三角形 三内角是45°，45°，90°；
考点一　勾股定理及其逆定理
（1）（2025·辽宁）如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，
BE＝BC，连接CE. 若AB＝3，AE＝4，则CE的长为（　D　）
A. 1 B. 5 C. 2 D.
D
图1
（2）（2025·自贡）已知三角形三边长为a，b，c，如果 ＋
＋（c－6）2＝0，那么△ABC是（　A　）
A. 以a为斜边的直角三角形
B. 以b为斜边的直角三角形
C. 以c为斜边的直角三角形
D. 不是直角三角形
A
（3）如图2，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接
DE. 若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　C　）
A. 5 B. 2 C. D. 4
C
图2
考点二　直角三角形相关性质
（1）如图1，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，
AC＝6，则BC的长是（　A　）
A. 3 B. 6 C. D. 3
A
图1
（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且
CD＝AB，则BD的长是（　B　）
A. － B. －
C. 2 －2 D. 2 －
B
图2
（3）（2025·育才）如图3，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线MN
与AC交于点M，连接BM. 若∠A＝15°，BM＝2，则△ABC的面积
为 .
　
图3
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D为边AC上一动点.
（1）如图1，若DC＝6，∠ABD＝15°，求BD的长；
（答案图1）
（1）解：如答案图1，过点B作BH⊥AC于点H.
∵BA＝BC，BH⊥AC，∠ABC＝90°，
∴AH＝CH，∠ABH＝∠CBH＝45°，
∴BH＝AH＝CH.
∵∠ABD＝15°，∴∠DBH＝30°.
设DH＝x，则BD＝2x，BH＝CH＝ x.
∵DC＝DH＋CH＝6，
∴x＋ x＝6，解得x＝3 －3，
∴BD＝6 －6.
[答案]
图1
（2）如图2，以BD为直角边作Rt△BDE，使得BD＝BE，连接AE，
点F为AE中点.求证：4BF2＋AD2＝DE2.
图1
图2
（2）证明：如答案图2，连接CE并延长交AB的延长
线于点T.
（答案图2）
∵∠ABC＝∠DBE＝∠CBT＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，∠EBT＝∠DBC.
∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝45°，∠ADB＝∠CEB，
∴∠BDC＝∠BET，
∴△DBC≌△EBT（ASA），
∴CD＝ET，BC＝BT，∴AB＝BT.
又∵点F为AE中点，∴ET＝2BF，∴CD＝2BF.
∵∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，
∴DE2＝CD2＋CE2，∴4BF2＋AD2＝DE2.
考点三　勾股定理与最值问题
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰Rt△ABC的底边AB
在x轴上滑动，且AB＝4，y轴上有一点M（0，5），连接MA，MC，
则MA＋MC的最小值为 ；
2 　
图1
（2）如图2为一个圆柱形容器，其高为1.2m，底面周长为1m，在容器
内壁离容器底部0.3m的点B处有一只蚊子.此时，一只壁虎正好在容器
外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路
程为 m（容器厚度忽略不计）.
1.3　
图2
（第1题）
1. （2025·安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC
的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的长是
（　B　）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
B
2. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，
摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离
BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉
直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是
（　A　）
A. 0.9 m B. 1 m C. 1.1 m D. 1.2 m
（第2题）
A
3. （1）（2025·广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝
2，BD＝CD＝ ，则AD＝ 　 －1　；
[第3（1）题]
－1　
（2）（2025·扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提
出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的
生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了
下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，
41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 .
请同学们完成《作业本》第56～57页练习题
11，60，61　(共24张PPT)
第16课时　几何初步
第四章　图形的性质
知识点1 线段与角的有关概念与性质
（1）两点间的距离：连接两点之间线段的长度.
（2）基本事实：①两点确定一条 ；
②两点之间 最短.
（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的
中点.
（4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度，
叫做点到直线的距离.
直线　
线段　
垂线段　
（5）角的有关概念
角的概念 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个
公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边
定义2：一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另
一个位置所形成的图形叫做角.所旋转射线的端点，叫做
角的顶点，开始位置与终止位置的两条射线叫做角的边
常见的角 周角、平角、钝角、 、
端点　
直角　
锐角　
角度的换算 1°＝ '，1'＝ ″
角平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等
的角的射线，叫做这个角的平分线
邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，
这样的两个角互为邻补角
60　
60　
（6）有关概念的定义和性质
定义 性质
互为 余角 如果两个角的和等
于 ，就说这两个
角互为余角 同角（或等角）的余角
互为 补角 如果两个角的和等
于 ，就说这两
个角互为补角 同角（或等角）的补角
对顶角 有公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，这样的两个角互为对顶角 对顶角
90°　
相等　
180°　
相等　
相等　
垂直 如果两条直线相交成
，那么这两条直线互相
垂直，其中一条直线叫做另
一条直线的垂线，互相垂直
的两条直线的交点叫做
同一平面内，过一点有且只
有 直线与已知直线垂直
垂线段 从直线外一点引一条直线的
垂线，这点和垂足之间的线
段叫做垂线段 垂线段
直
角　
垂
足　
一条　
最短　
知识点2 相交线和平行线
同一平面内两条 直线的位置关系 相交或平行
平行线的定义 在同一平面内， 的两条直线叫做平行
线
平行公理 经过直线外一点， 与已知
直线平行
不相交　
有且只有一条直线　
平行公理推论 如果两条直线都和第三条直线 ，那么这
两条直线也互相平行
平行线的性质 两直线平行，同位角 ，内错角
，同旁内角
平行线的判定 同位角 ，两直线平行；内错角
，两直线平行；同旁内角 ，两直线
平行
平行　
相等　
相
等　
互补　
相等　
相
等　
互补　
知识点3 命题、定理和定义
定义 对新的数学对象进行清晰、明确的描述，这样的描述称为数
学对象的定义
定理 正确性经过推理证实得到的真命题叫做定理，推理的过程称
为
基本 事实 公认的真命题称为基本事实
证明　
命题 判断一件事情真假的陈述句叫做命题，命题分为
和 ，正确的命题称为 ，错误的命题称
为 .每个命题都由 和 两个部分
组成
互逆 命题 如果两个命题的 和 正好相反，我们把这样
的两个命题称为互逆命题.如果我们把其中一个命题称为原
命题，那么另一个命题称为该命题的
互逆 定理 若一个定理的逆命题是正确的，则它就是这个定理的
，称这两个定理为互逆定理
真命题　
假命题　
真命题　
假命题　
题设　
结论　
题设　
结论　
逆命题　
逆定
理　
知识点4 反证法
不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此
经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成
立，这种方法叫做反证法.
　　反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立，即提出与命题结论相反的假设；
（2）从假设的结论出发，推出矛盾；
（3）由矛盾的结果说明假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
知识点5 平行线基本模型归纳
（1）∠2＝∠1＋∠3
（2）∠2＝∠1＋∠3
（3）∠1＝∠2＋∠3
（4）∠1＋∠2＋∠3＝ °
360
（5）∠1＋∠3－∠2＝ °
180　
（6）∠2－∠1＋∠3＝ °
180
（7）∠1＋∠2＋∠3＝ °
180　
考点一　命题的有关概念
（1）（2025·达州）下列说法正确的是（　A　）
A. 两点之间线段最短
B. 平行四边形是轴对称图形
C. 若 有意义，则x的取值范围是全体实数
D. 三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
A
（2）（2025·一中）下列说法中是假命题的是（　D　）
A. 对顶角相等
B. 三边分别相等的两个三角形全等
C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（3）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是
，该逆命题是 （填“真”或
“假”）命题.
D
两个锐角互
余的三角形是直角三角形　
真　
考点二　余角与补角
（1）如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线
CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有（　C　）
C
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
（2）将一副三角板按不同位置摆放，则∠α与∠β互余的是（　A　）
　　A　 B
C　　　 D
（3）如果∠α的余角比它的补角的 大30°，那么∠α＝ .
A
20°　
考点三　线段、角的计算
（1）如图1，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若
∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 ；　
（2）9点45分时，钟面上的时针与分针的夹角是 °；
20°　
22.5　
（3）已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则
线段AC＝ cm；
5或11　
图1
（4）如图2，已知AB和CD的公共部分BD＝ AB＝ CD，线段AB，
CD的中点E，F之间的距离是10cm，则AB的长是 cm.
12　
图2
考点四　平行线的判定和性质
（1）如图1，点E在BC的延长线上，下列条件：①∠1＝∠4；②
∠2＝∠3；③∠5＝∠B；④∠DCB＋∠B＝180°.其中能判定
CD∥AB的是（　C　）
C
A. ①②③④ B. ①②③
C. ①③④ D. ①②
图1
（2）（2025·深圳）如图2为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经
平面镜后反射入眼.若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则
入射角∠AON的度数为（　B　）
A. 22° B. 32° C. 35° D. 122°
B
图2
（3）（2025·威海）如图3，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝
30°.若∠1＝18°，则∠2等于（　A　）
A. 42° B. 38° C. 36° D. 30°
A
图3
（4）如图4，已知EF∥GH，A，D为GH上的两点，M，B为EF上
的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC. 若
∠ACB＝120°，则∠DBA的度数为 .
60°　
图4
1. （2025·广西）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下
的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地
点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（　A　）
A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 两直线平行，内错角相等
（第1题）
A
2. （2025·辽宁）如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为
D，DE∥OA. 若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为（　C　）
A. 50° B. 120° C. 130° D. 140°
（第2题）
C
3. 用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么 ＞ ”的第一步应假
设 .
请同学们完成《作业本》第48～49页练习题
≤ 　(共13张PPT)
第25课时　与圆有关的计算
第四章　图形的性质
知识点1 与圆有关的计算公式
公式 备注
圆周长 C＝2πR R为圆的半径
圆面积 S＝πR2
弧长 l＝ R为弧所在圆的半径，n为
弧所对的圆心角的度数
扇形 面积 S扇＝ πR2 S扇＝ lR R为圆的半径，l为弧长，
n为扇形的圆心角度数
知识点2 正多边形和圆
关系 把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边
形，这个圆就是这个正多边形的外接圆
有关 概念 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的
正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的
正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的

中心　
半径　
中心角　
边心距　
知识点3 与圆有关的阴影部分面积
把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用的方法有：分割
法、补全法、等积变形法.
知识点4 圆锥侧面展开图
如图，圆锥侧面展开图为扇形，其中扇形弧长与圆锥底面圆周
长 ，即l＝2πr，扇形半径等于圆锥的母线，圆锥的高h，母线
R，底面圆半径r满足h2＋r2＝R2.圆锥的体积V＝ πr2·h，侧面积S侧＝
πrR.
相等　
考点一　正多边形和圆
（1）如图1，正五边形ABCDE内接于☉O，连接OC，OD，则
∠BAE－∠COD＝（　D　）
A. 60° B. 54°
C. 48° D. 36°
D
图1　
（2）如图2，边长为2的正六边形ABCDEF内接于☉O，则它的内切圆
半径为（　D　）
A. 1 B. 2 C. D.
D
图2
考点二　弧长的有关计算
（1）（2025·连云港）如图1，△ABC是☉O的内接三角形，
∠BAC＝45°.若☉O的半径为2，则劣弧 的长为 ；
　　　
图2
（2）（2025·青海）如图2，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，
AD为☉O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°.已知BC＝2，则 的长
为 ；
π　
π　
图1
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为
半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC，连接OB交☉O于
点F. 若AD＝ ，AE＝1，则☉O的直径EC＝ ，弧CF的长
为 .
图3
2　
　
考点三　扇形面积的有关计算
（1）（2025·山西）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长
线分别交于点D，E. 若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　D　）
A. 2π－4 B. 4π－4
C. 8π－8 D. 4π－8
D
图1
（2）（2025·烟台）如图2，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点
O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴
影部分的面积为 ；（结果不取近似值）
　　
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD长
为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与 交于点F，则
图中阴影部分的面积为 .（结果不取近似值）
－8 　
＋ π　
图2
图3
考点四　圆锥中的计算
（2025·广安）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇
形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（　A　）
A
A.
B.
C.
D. 5
1. 如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，OA＝1，则AB的长为
（　C　）
A. 2 B. C. 1 D.
C
2. （2025·绥化）在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，
那么☉O的半径是（　A　）
A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
A
（第1题）
（第3题）
3. （2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，
创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形， 所在圆的
圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与☉O相切于点E，连接
BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F. 若AB＝4，则图中阴影部分
的面积为 .（结果不取近似值）
请同学们完成《作业本》第66～67页练习题
π－2 　(共20张PPT)
第21课时　多边形与平行四边形
第四章　图形的性质
知识点1 多边形的有关概念和性质
多边形 的概念 在同一平面内，由不在同一直线上的线段首尾顺次相接
组成的图形叫做多边形
多边形 的性质 内
角
和 n边形的内角和为
（n－2）·180°　
多边形 的性质 外角和 任意多边形的外角和为
对角线 n（n＞3）边形中，从一个顶点出发可以引 条对角线，n边形共有 条对角线
360°　
（n－
3）　
　
正多 边形 定义 各个角 ，各条边 的多边形叫做正多边形
对称性 正多边形都是 图形，其中边数为偶数的正多边形是中心对称图形
每个 内角
每个 外角
相等　
相等　
轴对称　
知识点2 平行四边形
定
义 的四边形是平行四边形
性
质 （1）平行四边形的两组对边分别平行
（2）平行四边形的两组对边分别
（3）平行四边形的两组对角分别
（4）平行四边形的对角线
（5）平行四边形是 对称图形，它的对称中心是

两组对边分别平行　
相等　
相等　
互相平分　
中心　
两条对角
线的交点　
相等　
判
定 （1）定义法
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且 的四边形是平行四边形
（4）两组对角分别 的四边形是平行四边形
（5）对角线 的四边形是平行四边形
面
积 平行四边形的面积＝底×高
同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等
相等　
相等　
互相平分　
知识点3 平行四边形中的几个基本图形及结论
（1）如图1，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边
得到△ABE为 三角形，即AB＝ .
等腰　
BE　
图1
（2）如图2，平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如
△ABD≌△CDB（△ABC≌△CDA）；两条对角线把平行四边形分为两
组全等的三角形，如△AOD≌△COB，△AOB≌△COD；根据平行四边
形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中
心对称位置的三角形全等，如△AOE≌△COF. 图2中阴影部分的面积为
平行四边形面积的 .
一半　
图2
（3）如图3，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，
可得S△BEC＝S△ABE＋S△CDE＝ S ABCD.
（4）如图4，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC＝AF·CD.
图4
图3
考点一　多边形的有关概念及性质
（1）（2025·凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4
倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引对角线（　B　）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
（2）（2025·宜宾）用边长相等的两种正多边形进行密铺，其中一种是
正八边形，则另一种正多边形可以是（　B　）
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
B
B
（3）（2025·自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝
（　B　）
A. 140° B. 150°
C. 160° D. 170°
B
考点二　平行四边形的判定
如图，在四边形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE并延长交
CB的延长线于点F，且CB＝BF. 若添加一个条件使四边形ABCD是平
行四边形，则下面四个条件中可选择的是（　D　）
A. AB＝DC B. AD＝BF
C. ∠A＝∠C D. ∠F＝∠ADF
D
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C.
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
[答案] （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠B＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC.
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）如图，∠ADC的平分线交AB于点E，点F在BC上，BE＝BF，
连接DF，EF. 若∠BAD＝120°，点F是线段BC的中点，S△DEF＝
4 ，求四边形ABCD的周长.
[答案] （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝∠B＝60°.
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝60°，BE＝BF＝EF.
∵∠ADC的平分线交AB于点E，
∴∠ADE＝∠CDE＝ ∠ADC＝30°.
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE＝30°，
∴∠DEF＝180°－∠AED－∠BEF＝90°，AD＝AE.
如答案图所示，过点A作AG⊥DE于点G，
设BE＝x，则AE＝AD＝BC＝2x，
∴AG＝ AD＝x，
∴DG＝ ＝ x.
∵AD＝AE，AG⊥DE，
∴DE＝2DG＝2 x.
∵S△DEF＝4 ，
（答案图）
∴AD＝BC＝2x＝4，AB＝AE＋BE＝2x＋x＝3x＝6，
∴四边形ABCD的周长＝2（AD＋AB）＝2×（4＋6）＝20.
∴ DE·EF＝4 ，
∴ ×2 x·x＝4 ，解得x＝2（负值舍去），
判定平行四边形的基本思路：
（1）若已知一组对边平行，可以证明这一组对边相等，或另一组对边
平行；
（2）若已知一组对边相等，可以证明这一组对边平行，或另一组对边
相等；
（3）若已知条件与对角线相关，可考虑证明对角线互相平分；
（4）若已知一组对角相等，可以证明另一组对角相等.
考点三　平行四边形的性质
（1）（2025·八中）如图1，四边形ABCD是平行四边形，
∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD边于点E，F. 若AD＝
3，EF＝1，则AB的长为（　B　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
　　　
图2
B
图1
（2）如图2， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，MN过点O且与
边AD，BC分别相交于点M，N. 若 ABCD的周长为20，MN＝4，则
四边形CDMN的周长为 ；
（3）如图3， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，BM，CM分别
平分∠ABC，∠BCD，连接OM. 若OM＝1，AD＝ AB，则 ABCD
的周长为 .
图3
14　
20　
1. （2025·甘肃）如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的
剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　A　）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
（第1题）
A
2. （2025·内江）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝11，AE平分
∠BAD，DF平分∠ADC，那么EF的长为（　C　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 以上都不对
（第2题）
C
）
3. （2025·育才）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于
点O，点E为线段BC的中点，连接OE. 若∠BAC＝90°，AE＝3，
AC＝4，则OE的长为 .
（第3题）
请同学们完成《作业本》第58～59页练习题
　(共23张PPT)
第23课时　正方形
第四章　图形的性质
知识点1 正方形的性质和判定
性
质 边 对边平行，四边都相等
角 四个直角
对角线 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对
角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
判定 （1）有一组邻边相等的 是正方形
（2）有一个角是直角的 是正方形
（3）对角线 的平行四边形是正
方形
面积公式 S＝边长2＝ ·对角线长度之积
矩形　
菱形　
互相垂直且相等　
知识点2 中点四边形
定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形，称为中点四边形
常见 结论 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是
顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是
顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是
平行四边形　
菱形　
矩形　
常见 结论 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是

顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形
是
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四
边形是
正方形　
菱
形　
矩形　
正方形　
知识点3 正方形中的基本图形及结论
【模型一】正方形中的十字架模型
模型介绍：如图1，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF＝MN.
变形1：如图2，若AF⊥BE，则AF＝ .
变形2：如图3，若BE⊥MN，则BE＝ .
易错点：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
解题技巧：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.
BE　
MN　
【模型二】双中点（十字架模型拓展）
（1）知2推1：①M是中点；②N是中点；③AM⊥DN.
（2）已知：M是中点，N是中点，连接CE并延长，交AD于点F.
①EM∶ED∶EN∶AE＝ ；
②EC平分∠NEM，即∠MEC＝∠NEC＝ °；
③DF∶AF＝ .
1∶2∶3∶4　
45　
1∶2　
【模型三】中点＋折叠
如图1，点E为中点，正方形ABCD沿BE折叠.
性质一：如图2，AA'⊥A'D；
性质二：如图2，F，G为中点；
性质三：如图3，A'M＝CM；
性质四：如图3，∠EBM＝ °；
性质五：如图3，DM＝2CM；
性质六：如图4，tan∠DCN＝ .
45　
　
拓展：12345模型结论：若tan α＝ ，tan β＝ ，则①α＋β＝45°；②tan
2α＝ ，tan 2β＝ .
考点一　正方形的性质及判定
（1）如图1，要使 ABCD是正方形，需增加条件.在条件①AB
＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝90°中选取两个作为条
件，不正确的是（　B　）
B
A. ①和② B. ①和③
C. ②和③ D. ③和④
　　 　　
图1 图2 图3
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接
AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于
（　A　）
A. 2α B. 90°－2α
C. 45°－α D. 90°－α
A
（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，连接
AE，作∠DAE的平分线交CD于点F. 若F为CD的中点，则BE的长为
（　C　）
A. B. C. D.
C
（2025·兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的
图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在
AB，BC上，根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋
转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接
BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系.
【解决问题】
证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；
或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三
角形.
（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出
AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
[答案] 解：（1）AH＝CH＋ BH. 理由如下：
如图3，当点G，H重合时，
∵在正方形ABCD与正方形BEFG中，
AB＝BC，BE＝BH，∠ABC＝90°，∠EBH＝90°，
∴EH＝ BH，∠ABE＝90°－∠EBC＝∠CBH，
∴△ABE≌△CBH（SAS），
∴AE＝CH，
∴AH＝AE＋EH＝CH＋ BH.
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化
问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关
系，并说明理由；
[答案] （2）AH＝CH＋ BH. 理由如下：
如答案图1，在AE上截取AM＝CH，连接BM.
同（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴∠2＝∠1，∠ABE＝∠CBG.
∵AB＝BC，∴△MAB≌△HCB（SAS），
∴∠3＝∠4，BM＝BH，
∴∠5＝∠6，
∴∠MBH＝∠6＋∠EBH＝∠5＋∠EBH＝∠EBG＝90°，
∴△MBH是等腰直角三角形，
∴MH＝ BH，
∴AH＝AM＋MH＝CH＋ BH.
（答案图1）
（答案图2）
【拓展问题】
（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕
点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交
于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系.
[答案] （3）CH＝AH＋ BH. 提示：
如答案图2，在CG上截取CM＝AH，连接BM.
同（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，∠2＝∠1.
∵AB＝BC，∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴BH＝BM，∠3＝∠4.
同理，△MBH是等腰直角三角形，
∴MH＝ BH，
∴CH＝CM＋MH＝AH＋ BH.
考点二　中点四边形
（1）如图1，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形
EFGH，下列说法中正确的是（　C　）
图1
C
A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形0
B. 当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形
C. 当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形
D. 以上说法都不对
（2）（2025·德阳）如图2，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边
AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为
24，且HF＝6，则GH＝（　B　）
图2
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
B
1. 中点四边形的形状只与原四边形对角线（相等、垂直、相等且垂
直）有关.
2. 中点四边形的周长是原图形对角线之和，面积是原图形面积的一半.
1. （2025·陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，
点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　C　）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 4
（第1题）
C
2. （2025·苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接
BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接A'C，A'D，则下列结论不
正确的是（　D　）
A. A'D∥BE
B. A'C＝ A'D
C. △A'CD的面积＝△A'DE的面积
D. 四边形A'BED的面积＝△A'BC的面积
（第2题）
D
3. 如图，正方形ABCD的边长为3 ，对角线AC，BD相交于点O，
点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE.
①线段AE的长为 ；②若F为DE的中点，则线段AF的长
为 .
请同学们完成《作业本》第62～63页练习题
2　
　
（第3题）(共25张PPT)
第19课时　等腰三角形
第四章　图形的性质
知识点1 角平分线和线段垂直平分线的性质与判定
性质 判定
角
平
分
线 角平分线上的点
的点，
在这个角的角平分线所在的直线
上
到角两边的
距离相等　
到角两边的距离相等　
线
段
垂
直
平
分
线 线段垂直平分线上的点


的点，在这条线段的垂直平分线
上
到这
条线段的两个端点的距离相
等　
到线段两个端点的距离相等　
知识点2 等腰三角形和等边三角形的性质与判定
性质 判定
等
腰
三
角
形 （1）等边对等角； （2）等腰三角形三线合一； （3）是轴对称图形，有一条对称
轴 （1）定义：有两边相等的三
角形；
（2）等角对等边
等
边
三
角
形 （1）三边相等； （2）三个角都相等且都等于
60°； （3）是轴对称图形，有三条对称
轴 （1）定义：三条边都相等的
三角形；
（2）三个角都相等的三角
形；
（3）一个角是60°的等腰三
角形
知识点3 等腰三角形的性质拓展
图示 结论
等腰三角形两腰上的高、中线和两底角的角平分线分别都相等，
即BD＝EC
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，即∠DBC
＝ ∠A
等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，即AD∥BC
（续表）
图示 结论
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上
的高，即DE＋DF＝BG
等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等
于腰上的高，即DF－DE＝BG
顶角为120°的等腰三角形，底边长为腰长的 倍，即
BC＝ AB＝ AC
考点一　角平分线的性质与判定
（1）如图1，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，
∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的
周长为（　C　）
C
A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
图1
（2）如图2，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分
∠BAD，连接DE. 下列四个结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝
∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD. 其中成立的是 .
（填序号）
①②④　
图2
考点二　线段垂直平分线的性质与判定
（1）如图1，在△ABC中，AB，AC的中垂线DM，EN分别交
BC于点M，N，连接AM，AN. 若∠BAC＝79°，则∠MAN的度数为
（　C　）
A. 20° B. 21° C. 22° D. 23°
C
图1
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，B为
圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直
线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　C　）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
C
图2
（3）如图3，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB于点P，
DF⊥AC于点F，DE⊥BE于点E. 若BC＝3cm，AC＝5cm，则CE
＝ cm.
1　
图3
考点三　等腰三角形的性质与判定
（1）（2025·西附）如图1，在△ABC与△DEF中，点B在DF
上，点D在AC上，且AB＝AC. 若∠EDF＝45°，∠ABD＝15°，则
∠BCE的度数为（　C　）
C
A. 115° B. 110°
C. 105° D. 100°
图1
图2
（2）（2025·八中）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝60°，
AD＝4，BD＝1.5，则CD＝ .
5.5　
如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点F是线段CB上一点，
连接AF.
（1）如图1，若AF⊥CB，AB＝10，BF＝8，求线段AC的长；
[答案] （1）解：∵AF⊥BC，AB＝BC，AB＝10，BF＝8，
∴∠AFC＝∠AFB＝90°，CF＝2.
在Rt△ABF中，AF＝ ＝6，
在Rt△ACF中，AC＝ ＝2 .
图1
（2）如图2，点E为线段AB上一点，连接CE，使∠ACE＝∠B，且
EA＝BF，点D为AF的中点，连接CD. 求证：∠ACD＝∠BCE.
　　　
图2
[答案] （2）证明：∵∠ACE＝∠B，
∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，
∴∠ACB＝∠AEC.
∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，
∴∠AEC＝∠BAC，∴AC＝EC.
如答案图，延长BC至点G，使CG＝CF，连接AG.
∵CG＝CF，且点D为AF的中点，
∴CD∥AG，
∴∠ACD＝∠GAC.
（答案图）
∵∠CEA＝∠ACB，
∴∠ACG＝∠CEB.
∵AB＝BC，AE＝BF，
∴BE＝CF＝CG.
又∵AC＝CE，∴△ACG≌△CEB（SAS），
∴∠GAC＝∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.
考点四　等边三角形的性质与判定
　（2025·黑龙江）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，设∠BAC
＝α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转
α至AE，连接DE，BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F. 探究如
下：
（1）若α＝60°，如图1，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF＋
BC；如图2，点D在BC延长线上时，试探究线段BF，DF，BC之间存
在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由；
[答案] 解：（1）BF＝DF－BC，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝60°，
∴∠ACD＝180°－∠BCA＝120°.
∵∠EAD＝∠BAC＝α＝60°，
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF中，BE＝ ＝ ＝2BF.
∵CD＝BD－BC＝BF＋DF－BC，CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BF＋DF－BC，∴BF＝DF－BC.
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，
∴∠EBF＝∠ABE－∠ABC＝120°－60°＝60°.
（2）若α＝120°，点D在CB延长线上时，如图3，猜想线段BF，
DF，BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明.
[答案] 解：（2）∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，
∴∠ABC＝∠BCA＝ （180°－∠BAC）＝30°.
∵∠EAD＝∠BAC＝α＝120°，
∴∠BAC＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，
即∠DAC＝∠EAB.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∵CD＝BC＋BD＝BC＋DF－BF，CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BC＋DF－BF，∴3BF＝DF＋BC.
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝30°，
∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝30°＋30°＝60°.
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF中，BE＝ ＝ ＝2BF.
1. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE分别与AB，AC边交于点
D，E，BC边的中垂线FG分别与BC，AC边交于点F，G，连接
BE，BG. 若△BEG的周长为16，GE＝1，则AC的长为（　B　）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
B
（第1题）
2. （1）（2025·南开）已知等腰三角形的两边长分别为2，5，则该等腰
三角形的周长是 ；
（2）等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这
个三角形的周长为 .
3.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AD平分∠CAB，点E为AB中点，连接CE，DE. 若CD＝1，CE＝ ，则△ABD的面积为 　 　.
请同学们完成《作业本》第54～55页练习题
12　
17　
　
（第3题）(共41张PPT)
第26课时　几何中的常见模型
第四章　图形的性质
知识点1 中点模型
倍长中线模型
已 知 点D为△ABC中BC边的中点，延
长线段AD到点E，使DE＝AD 点D为△ABC中BC边的中点，
延长线段FD到点E，使DE＝
DF，连接EC
图 示
结 论 （1）连接EC，则
△ABD≌△ECD，AB∥CE （2）连接BE，则
△ADC≌△EDB， AC∥BE △BDF≌△CDE，
AB∥CE
平行线中点模型与雨伞模型
已 知 AB∥CD，点E，F分别在直线
AB，CD 上，点O为线段EF的
中点，延长PO交CD于点Q AP平分∠BAC，BD⊥AP，
垂足为点D，延长BD交AC
于点C
图 示
结 论 △POE≌△QOF， PO＝QO △ABD≌△ACD，
AB＝AC，BD＝CD
知识点2 手拉手模型
对角互补模型
已 知 如图1，∠AOB＝ ∠DCE ＝90°，OC平分∠AOB
如图2，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB
如图3，△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∠BPC＝
60°
图 示 　
图1
图2
图3
结 论 如图1，（1）CD＝CE
（2）OD＋OE＝ OC
（3）S四边形ODCE＝S△COE＋S△COD＝ OC2
如图2，（1）CD＝CE
（2）OD＋OE＝OC
（3）S△COD＋S△COE＝ OC2
如图3，PB＋PC＝ PA
共顶点三角形模型
已知 如图1，直线AB的同一侧的△ABC和△AMN都为等边三角形
（A，B，N三点共线），连接BM，CN交于点E
如图2，△ABC和△AMN都为等边三角形（A，B，N三点不共
线），连接BM，CN交于点O
如图3，四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，连接EB，
GD交于点O
图 示
图1
图2
图3
结 论 如图1，（1）△ABM≌△ACN　（2）BM＝CN
（3）∠MEN＝60°
（4）△ANF≌△AMD　（5）△AFC≌△ADB
（6）连接DF，DF∥BN
（7）连接AE，AE平分∠BEN
（8）存在3组四点共圆
（9）EN＝EM＋EA，EB＝EC＋EA
结 论 如图2，（1）△ABM≌△ACN　（2）BM＝CN
（3）∠MON＝60°
（4）连接AO，AO平分∠BON
（5）存在2组四点共圆
（6）ON＝OM＋OA，OB＝OC＋OA
如图3，（1）△AGD≌△AEB　（2）GD＝EB
（3）GD⊥EB　（4）连接AO，AO平分∠EOD
知识点3 半角模型
半角模型
已 知 如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°
如图2，∠BAC＝2α，AB＝AC，∠DAE＝α
图 示 图1　 图2
（续表）
结 论 如图1，（1）△BCE≌△DCG
（2）△CEF≌△CGF
（3）EF＝BE＋DF
（4）△AEF的周长＝2AB
（5）CE，CF分别平分∠BEF和∠EFD
如图2，（1）△BAD≌△CAF
（2）△EAD≌△EAF
（3）∠ECF＝180°－2α
知识点4 一线三等角模型
一线三等角模型
已知 （同侧）∠A＝∠CPD＝∠B＝α，CP＝PD
图示 　
结论 △ACP≌△BPD，AB＝AC＋BD
已知 （异侧）∠EAC＝∠ABD＝∠DPC＝α，CP＝PD
图示 　　
结论 △ACP≌△BPD，AB＝BD－AC
考点一　中点模型
如图，在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF
为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点
G是BE的中点，连接AG，DG.
（1）如图1，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，已知AC＝3 ，CD＝2，
求AG的长度；
[答案] 解：（1）如图1，延长DG与BC交于点H，连接AH，AD.
易得四边形CDEF是正方形，
∴DE＝DC，DE∥CF，
∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE.
∵G是BE的中点，∴BG＝EG.
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵∠DCF＝90°，∴∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝45°＝∠ABH，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD.
∵∠BAH＋∠HAC＝90°，
∴∠CAD＋∠HAC＝90°，即∠HAD＝90°，
∴AG⊥GD，AG＝GD.
在Rt△ABC中，AB＝AC＝3 ，∴BC＝6.
在Rt△DCH中，DC＝2，HC＝BC－BH＝6－2＝4，
∴DH＝ ＝2 ，
∴AG＝GD＝ DH＝ .
（2）如图2，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，AG与DG有怎样的位置和
数量关系？不需证明.
[答案] 解：（2）AG⊥DG，AG＝ DG.
考点二　对角互补模型
如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB.
（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D，E，∠AOB＝
∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出的解法：
解：CD＝CE. 理由如下：
如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该解法的剩余部分；
[答案] 解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°.
∵∠OCF＝90°，
∴∠OFC＝45°，∴OC＝FC.
∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，
∴△CDO≌△CEF（ASA），∴CD＝CE.
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；（利用图2
作答）
[答案] 解：（2）如图2，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点
N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°.
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN.
在四边形ODCE中，
∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO＋∠CEO＝180°.
又∵∠CDO＋∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE.
（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°.
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D，E时，（1）中的
结论还成立吗？为什么？线段OD，OE，OC有什么数量关系？说明
理由；
②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，（1）中的结论是否成
立？并请直接写出线段OD，OE，OC之间的数量关系；如图5，
∠DCE的一边与BO的延长线相交时，（1）中的结论是否成立？并请
直接写出线段OD，OE，OC之间的数量关系.
[答案] 解：（3）①（1）中的结论仍成立.OE＋OD＝OC. 理由如
下：
如图3，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，∴∠CMD＝
∠CNE＝90°.
又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，
∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°.
同（2）可得△CMD≌△CNE（AAS），
∴CD＝CE，DM＝EN.
∴OE＋OD＝OE＋OM＋DM＝OE＋OM＋EN＝ON＋OM.
∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，
∴OM＝ OC，同理可得ON＝ OC，
∴OE＋OD＝ OC＋ OC＝OC.
②在图4中，（1）中的结论仍成立，OE－OD＝OC.
在图5中，（1）中的结论仍成立，OD－OE＝OC.
考点三　共顶点三角形模型
【问题背景】（1）如图1，P是等边三角形ABC外一点，∠APB
＝30°，则PA2＋PB2＝PC2.小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆
时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；
[答案] 解：（1）如答案图1，作∠PAP'＝60°，AP'＝AP，连接P'C，则△P'AC即为所求作的图形.
（答案图1）
【拓展创新】（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边
形ABCD内部，且DE＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝
3，BC＝4，直接写出AB的长.
（答案图3）
[答案] 解：（3）AB＝5.
提示：如答案图3，将△AED绕点E
顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，
则∠ADE＝∠FCE，AD＝FC.
∵AD∥BC，∠DEC＝90°，
∴易得∠ADE＋∠BCE＝90°，
即∠FCE＋∠BCE＝∠FCB＝90°，
∴BF＝ ＝5.
∵∠AEF＝90°，
∴∠BEF＝360°－∠AEB－∠AEF＝135°，
∴∠AEB＝∠FEB.
∵AE＝FE，BE＝BE，
∴△AEB≌△FEB ，∴AB＝BF＝5.
考点四　半角模型
（2025·东营）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边
形为背景，探究非动点的几何问题.若四边形ABCD是正方形，M，N
分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，
在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.
（1）【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与
点B重合，得到△ABE，连接MN. 用等式写出线段DM，BN，MN的
数量关系 ；
（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，
N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连
接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；
DM＋BN＝MN　
[答案] 解：（2）BN－DM＝MN. 理由如下：
如答案图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到
△ABE，
∴AE＝AM，BE＝DM，∠EAM＝90°.
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝45°＝∠MAN.
∵AN＝AN，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴EN＝MN.
∵BN－BE＝EN，
∴BN－DM＝MN.
（答案图1）
（3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形
ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M
分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式写出线段BN，DM，
MN的数量关系，并说明理由.
[答案] 解：（3）DM＋BN＝MN. 理由如下：
如答案图2，将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B重合，得
到△ABE，
∴∠ABE＝∠D，∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，EB＝MD.
∵∠ABC＋∠D＝180°，
∴∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴E，B，N三点共线.
∵∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，
（答案图2）
∵AN＝AN，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴EN＝MN，
∵EB＋BN＝EN，
∴DM＋BN＝MN.
∴∠DAM＋∠BAN＝60°，
∴∠BAE＋∠BAN＝∠EAN＝60°，
∴∠EAN＝∠MAN.
考点五　一线三等角模型
【观察理解】（1）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过
点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，
求证：△AEC≌△CDB；
[答案] 证明：（1）∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ACE＝∠ACE＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD.
∵AC＝CB，
∴△AEC≌△CDB（AAS）.
【理解应用】（2）如图2，过△ABC边AB，AC分别向外作正方形
ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I. 利
用（1）中的结论证明：I是EG的中点；
[答案] （2）分别过点E，G向HI作垂线，垂
足分别为M，N，如答案图.
（答案图）
由（1）易证△EMA≌△AHB，
△ANG≌△CHA，
∴EM＝AH，GN＝AH，
∴EM＝GN.
在△EMI和△GNI中，

∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，即I是EG的中点.
【类比探究】（3）①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线
段ED，EA和BD之间的数量关系为 ；
②如图4，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，并且
有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则DE，
BD，CE之间的数量关系为 ；
ED＝EA－BD　
DE＝BD＋CE　
③如图5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝
3，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE，CE，则△AED的
面积为 .
1　
1. 如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN
的中点.
（1）求证：DE⊥MN；
（答案图）
（1）证明：如答案图，连接DM，DN.
∵BN，CM分别是△ABC的两条高，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°.
∵D是BC的中点，
∴DM＝DN＝ BC.
∵E是MN的中点，
∴DE⊥MN.
（第1题）
（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长.
（2）解：∵BC＝26，∴DM＝ BC＝13.
∵点E是MN的中点，MN＝10，∴ME＝5.
在Rt△MDE中，由勾股定理，得
DE＝ ＝12.
2. 如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE与CD，延长AE交
CD于点H.
（1）求证：AE＝DC；
（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC.
（2）求∠AHD的度数；
（2）解：由（1）得∠BAE＝∠BDC.
∴∠HAD＋∠HDA＝∠HAD＋∠BDC＋∠BDA＝∠HAD＋∠BAE
＋∠BDA＝∠BAD＋∠BDA＝120°，
∴∠AHD＝180°－（∠HAD＋∠HDA）＝60°.
（3）连接HB，求证：HB平分∠AHC.
（第2题）
（3）证明：如答案图，作BF⊥HA于点F，
BG⊥HC交HC的延长线于点G，则∠AFB＝
∠BFH＝∠G＝90°.
（答案图）
由（1）得∠BAF＝∠BDG.
∵BA＝BD，
∴△BAF≌△BDG（AAS），
∴BF＝BG，
∴点B在∠AHC的平分线上，
∴HB平分∠AHC.
请同学们完成《作业本》第68～70页练习题及第71～73页微专题(共16张PPT)
第22课时　矩形与菱形
第四章　图形的性质
知识点 矩形与菱形的性质和判定
矩形 菱形
性
质 边 对边 ； 对边 ， 对边平行，四边都相等
角 四个直角 对角相等，邻角互补
对
角
线 对角线互相平分且 对角线互相 ；
每条对角线平分一组对角
对
称
性 既是轴对称图形，又是中心对
称图形 既是轴对称图形，又是中心
对称图形
平行　
相等　
相等　
垂直平分　
（续表）
矩形 菱形
判定 （1）有三个角是直角的四边
形； （2）平行四边形＋一个角是直
角； （3）平行四边形＋对角线相等 （1）四条边都相等的四边形；
（2）平行四边形＋一组邻边相
等；
（3）平行四边形＋对角线互相
垂直
拓展 （1）矩形的面积等于两邻边的
乘积 （2）在直角三角形中，斜边上
的中线等于斜边的一半 （1）菱形的面积＝底×高
（2）菱形的面积等于两条对角
线长度乘积的一半
考点一　矩形的性质及判定
（1）（2025·德阳）如图1，要使平行四边形ABCD是矩形，需要
增加的一个条件可以是（　D　）
D
A. AB∥CD B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D D. AC＝BD
　　　
图1
（2）（2025·育才）如图2，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线
AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD. 若AD＝3，AB＝4，则OE
的长为（　A　）
A. 0.7 B. 1.5 C. 2 D. 0.5
A
图2
（3）（2025·兰州）如图3，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相
交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点
P. 若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　C　）
图3
A. 95° B. 100° C. 110° D. 145°
C
（2025·云南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中
点.延长BO至点D，使OD＝OB. 连接AD，CD，记AB＝a，BC＝
b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
[答案] （1）证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC.
∵OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
（2）若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长.
[答案] （2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，AC＝BD，
∴l3＝2a＋2b＝28，AO＝OC，
∴a＋b＝14.①
∵l2－l1＝BO＋OC＋BC－（BO＋AB＋AO），
即l2－l1＝BC－AB＝b－a＝2.②
联立①②，得a＝6，b＝8，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝10.
判定矩形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找角或对
角线上的特殊关系.若角度易求，则证明一内角为90°即可；若对角线
易找，则证明对角线相等即可.
考点二　菱形的性质及判定
（1）如图1， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不
能证明 ABCD是菱形的是（　D　）
D
A. ∠BAC＝∠BCA
B. ∠ABD＝∠CBD
C. OA2＋OD2＝AD2
D. AD2＋OA2＝OD2
图1
（2）（2025·青海）如图2，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为
AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 ；
12　
图2
（3）（2025·凉山州）如图3，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD
相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC
于点G. 若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 .
5　
图3
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一
点，F是BC的延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝
60°.
（1）求证：AE＝CF；
[答案] 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ACB和△ADC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠DAC＝60°，
∴∠DCF＝60°＝∠DAC.
∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF.
（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG.
（答案图）
[答案] （2）如答案图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H.
由（1）知△ABC为等边三角形，
∠ACF＝∠ACD＋∠DCF＝120°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH＋∠BAC＝180°，
∴∠ABH＝120°＝∠ACF.
∵点G为BE的中点，∴BG＝EG.
在△HGB和△AGE中，
∴△HGB≌△AGE（AAS），
∴BH＝AE＝CF，AG＝GH，∴AH＝2AG.
在△ABH和△ACF中，
∴△ABH≌△ACF（SAS），
∴AH＝AF，∴AF＝2AG.
1. （2025·内蒙古）如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相
交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20 m，AD＝30 m，
则该草坪的面积为（　C　）
A. 2 400 m2 B. 1 800 m2
C. 1 200 m2 D. 600 m2
（第1题）
C
2. （2025·河南）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在
边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠.若点B落在BC延长线上的点
F处，则CF的长为（　D　）
A. 2 B. 6－3
C. 2 D. 6 －6
（第2题）
D
3. （2025·天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边
BC上，且EC＝2BE.
（第3题）
（1）线段AE的长为 ；
　
（2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点.若∠FMN＝
75°，则线段MN的长为 .
请同学们完成《作业本》第60～61页练习题
　(共19张PPT)
第18课时　全等三角形
第四章　图形的性质
知识点1 三角形全等的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
知识点2 全等三角形的性质
全等三角形的对应边 ，对应角 ，对应线段（高、
中线、角平分线） ，周长、面积 .
相等　
相等　
相等　
相等　
知识点3 全等三角形的判定
已知条件 全等的判定
两角 一边 两角及夹边 ASA
两角及其中一角的对边 AAS
两边 一角 两边及夹角 SAS
直角三角形中的斜边和直角边 HL
三边 SSS
知识点4 常见全等的基本模型
平移 型
对称 型
旋转 型
考点一　全等三角形的性质
（1）如图1，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AC＝4，DE＝3，则
CE的长为（　A　）
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
图1
图2
（2）如图2，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交
于点F. 若∠AED＝108°，则∠DEF的度数为 .
36°　
考点二　全等三角形的判定
（1）如图1是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝
AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的
支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有
△ADM≌△AEM，其判定依据是（　C　）
图1
C
A. ASA
B. AAS
C. SSS
D. SAS
（2）如图2，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结
论：①∠EAC＝∠FAB；②CM＝BN；③CD＝DN；④
△ACN≌△ABM. 其中正确的有（　B　）
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
B
图2
（3）如图3，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在
线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动.同时，点Q在线段BD上由
点B向点D运动.设运动时间为ts，则当△ACP与△BPQ全等时，点Q
的运动速度为 cm/s.
1或 　
图3
1. 证明三角形全等的思路：
（1）已知两边：①找夹角（SAS）；②找直角（HL）；③找第三边
（SSS）.
（2）已知一边和一角：①边为角的对边，找任意一角（AAS）；②边
为角的邻边，找夹角的另一边（SAS）；找夹边的另一角（ASA）；找
边的对角（AAS）.
（3）已知两角：找夹边（ASA）或任意一角的对边（AAS）.
2. 寻找对应边、对应角的方法和规律：
（1）有公共边的，公共边一定是对应边；
（2）有公共角的，公共角一定是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（4）两个全等三角形中一对最长（短）的边（或最大、最小的角）一
定是对应边（角）.
考点三　全等三角形的判定与性质
（2025·西附）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，∠ABC
＝∠DEF＝90°，BC∥EF，AF＝DC，连接BF，EC，BE，BE与
AC相交于点O.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
[答案] 　 （1）证明：∵BC∥EF，
∴∠BCA＝∠EFD.
∵AF＝DC，
∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF.
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（2）若BF＝BC，OF＝OC，∠A＝30°，AB＝6，求线段BE的长.
[答案] （2）解：由（1）可知，△ABC≌△DEF，∠BCA＝∠EFD，
∴BC＝EF.
∵OF＝OC，∴△BOC≌△EOF（SAS），
∴OB＝OE，∴BE＝2OB.
又∵BF＝BC，OF＝OC，
∴BO⊥CF，∴∠BOC＝90°.
∵∠A＝30°，AB＝6，∴OB＝ AB＝3，
∴BE＝2OB＝6.
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中
点，点E在CD上（点E不与点D和点C重合），AG⊥BE于点G，交
BD于点F，连接DG.
（1）求证：△ADF≌△BDE；
[答案] （1）证明：∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴∠ADF＝∠BDE＝90°，∴∠DAF＋∠AFD＝90°.
∵AG⊥BE，∴∠BFG＋∠DBE＝90°.
∵∠AFD＝∠BFG，∴∠DAF＝∠DBE.
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴AD＝BD，∴△ADF≌△BDE（ASA）.
（2）若DF＝3，GE＝4，求GF的长；
[答案] （2）解：连接EF，如答案图1所示.
由（1）得，∠FDE＝∠FGE＝90°，△ADF≌△BDE，
∴DE＝DF，∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF＝ DF＝3 .
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
GF＝ ＝ ＝ .
（答案图1）
（3）找出线段GF，GE，GD之间的数量关系.
[答案] （3）解：GF＋GE＝ GD. 理由如下：
过点D作DH⊥DG交BE的延长线于点H，如答案图2所示，则∠GDE＋∠EDH＝90°.
∵∠GDE＋∠FDG＝90°，∴∠FDG＝∠EDH.
∵△ADF≌△BDE，∴∠AFD＝∠BED，DF＝DE，
∴∠DFG＝∠DEH，
∴△FDG≌△EDH（ASA），
∴DG＝DH，GF＝EH，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴GH＝EH＋GE＝ GD，∴GF＋GE＝ GD.
（答案图2）
1. （2025·青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，
∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，
使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶
点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（　C　）A.
AAS B. SAS C. SSS D. ASA
C
（第1题）　
2. （2025·八中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是边AC上一点，
点F在边AC右侧，连接AF，BE，EF，CF. 若AE＝AF，∠BAC＝
∠EAF，点B，E，F共线，则下列结论错误的是（　D　）
A. △ABE≌△ACF B. BE＝CF
D
C. ∠BAC＝∠BFC D. BA＝BF3.
（第2题）
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是过点A的直线，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E. 若BD＝4，CE＝6，则DE的长为 .
请同学们完成《作业本》第52～53页练习题
10　
（第3题）(共22张PPT)
第24课时　圆的有关性质及与圆有关的位置关系
第四章　图形的性质
知识点1 圆的定义及有关概念
（1）到定点的距离等于 的点的轨迹叫做圆，其中定点叫圆
心，定长叫半径.
（2）相关概念：弦、直径、弧、优弧、劣弧、等弧、半圆、等圆、同
心圆、圆心角、圆周角、弓形、圆内接四边形.
定长　
知识点2 圆的有关性质
（1）圆的对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆心是对称
中心，任意一条直径所在的直线都是对称轴；圆还有旋转不变性.
（2）垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 这条弦所对的两条弧.
平分　
平分　
垂径定理的推论：平分弦（非直径）的 垂直于弦，并且平
分 .
知二推三：（如图）
直径　
这条弦所对的两条弧　
①AB为直径；②AB⊥CD；③CE＝DE；
④ ＝ ；⑤ ＝ .
其中，任意满足两个结论，均可推出其余三个结论成立.
（3）圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦（或弦心距）中有一组量相等，那么它所对应的其余各
组量都分别相等.
（4）圆周角定理及推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对
的圆心角的 ；　
②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ；
③直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ；
④圆内接四边形的对角 ，圆内接四边形的任意一个外角等于它
的内对角.
相等　
一半　
相等　
直角　
直径　
互补　
知识点3 三角形的内心和外心
　　三角形的外心（外接圆的圆心）是三边 的交点，它
到 的距离相等；三角形的内心（内切圆的圆心）是三内
角 的交点，它到 的距离相等.
知识点4 点与圆的位置关系
垂直平分线　
三顶点　
角平分线　
三边　
点与圆的 位置关系 图形 点到圆心的距离d
与半径r的关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
d＜r　
d＝r　
d＞r　
知识点5 直线与圆的位置关系
相交 相切 相离
图形
公共点个数
圆心到直线 的距离d与 半径r的关系
2　
1　
0　
d＜r　
d＝r　
d＞r　
知识点6 切线的性质与判定
性质 判定
圆的切线与过切线的半
径（直径） （定义法）与圆只有一个公共点的直线是圆
的切线
过圆心且垂直于切线的
直线必过切点 （数量法）到圆心的距离等于半径的直线是
圆的切线，通常作垂线、证半径
经过切点且垂直于切线
的直线必过该圆的圆心 （判定定理）经过半径的外端且垂直于半径
的直线是圆的切线，通常连半径、证垂直
垂直　
知识点7 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆
心的连线 两条切线的夹角.
相等　
平分　
考点一　与圆有关的位置关系
（1）（2025·云南）已知☉O的半径为5 cm，若点P在☉O上，则
点P到圆心O的距离为 cm；
5　
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12.若☉O的
半径为3，当圆心O与点C重合时，☉O与直线AB的位置关系为
；若☉O从点C开始沿直线CA移动，当OC＝ 时，☉O
与直线AB相切.
相
离　
或 　
考点二　圆周角定理及推论
（1）（2025·山西）如图1，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上
位于AB异侧的两点，连接AD，CD. 若 ＝ ，则∠D的度数为
（　B　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
B
图1
（2）（2025·东营）如图2，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD＝
130°，则∠ECD的度数是（　C　）
A. 50° B. 55° C. 65° D. 70°
C
图2
（3）如图3，△ABC内接于☉O，点O在AB上，AD平分∠BAC交☉O
于点D，连接BD. 若☉O的半径为5，BD＝2 ，则AD的长
为 ，BC的长为 .
4 　
8　
图3
考点三　垂径定理及推论
（1）（2025·陕西）如图1，AB为☉O的直径， ＝ ，
∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 ；
（2）如图2，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦
AC的长为 .
66°　
3 　
图1
图2
考点四　切线的性质与判定
（1）（2025·自贡）PA，PB分别与☉O相切于A，B两点.点C
在☉O上，不与点A，B重合.若∠P＝80°，则∠ACB的度数为
（　D　）
A. 50° B. 100°
C. 130° D. 50°或130°
D
（2）（2025·陕西改编）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径
的☉O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为☉O的直径，FD与
AC相交于点G，∠F＝45°.若 sin A＝ ，AB＝8，则AD＝ ，
DG＝ .
4　
　
（2025·烟台）如图，△ABC内接于☉O，∠ABC＝2∠C，点D
在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD.
（1）求证：AD是☉O的切线；
[答案] （1）证明：如答案图，连接AO并延长交☉O于点E，连接
BE，
∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD，∴∠ABC＝∠D＋∠DAB＝2∠D.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠D＝∠C＝∠BAD.
∵∠C＝∠E，∴∠BAD＝∠E.
∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即AD⊥AE.
∵AE为☉O的直径，
∴AD是☉O的切线.
（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及☉O的半径.
　　　
（答案图）
[答案]（2）解：∵∠D＝∠D，∠DAB＝∠C，
∴△DAB∽△DCA，∴ ＝ .
∵∠D＝∠C，∴AD＝AC＝8.
又∵DB＝AB＝5，∴ ＝ ，解得BC＝ .
如答案图，过点A作AF⊥DC于点F.
∵AD＝AC，
∴ sin E＝ sin D＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝ ，∴AO＝ AE＝ ，
则☉O的半径为 .
∴DF＝FC＝ （DB＋BC）＝ × ＝ ，
∴AF＝ ＝ ，∴ sin D＝ ＝ ＝ .
又∵∠E＝∠D，
1. （2025·青海）如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC
的度数是（　B　）
A. 80° B. 50° C. 40° D. 25°
（第1题）
B
2. 如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上.若
∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E的度数是（　C　）
A. 56° B. 60° C. 68° D. 70°
（第2题）
C
3. （2025·深圳改编）如图，以矩形ABCD的顶点B为圆心，BC的长为
半径作☉B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕
点E顺时针旋转90°至EG，点G落在☉B上，且点F为EG中点.若AF
＝1，AE＝3，则EC的长为 ，CD的长为 .
（第3题）
请同学们完成《作业本》第64～65页练习题
2 　
6　(共20张PPT)
第17课时　三角形的有关概念与中位线
第四章　图形的性质
知识点1 三角形的定义
（1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是三
角形.
（2）三角形按边可分为等腰三角形、不等边三角形；按角可分为直角
三角形、锐角三角形、钝角三角形.
知识点2 三角形的性质
（1）三角形具有稳定性.
（2）三角形的三边关系：三角形的 大于第三
边， 小于第三边.
任意两边之和　
任意两边之差　
（3）三角形的内（外）角和定理
定理 三角形三个内角的和等于
推论 ①三角形的外角等于
②三角形的外角大于任何一个
③直角三角形的两个锐角
④三角形的外角和等于
拓展 在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；
最多有一个钝角；最多有一个直角
180°　
与它不相邻的两个内角的和　
与它不相邻的内角　
互余　
360°　
知识点3 三角形中的重要线段
图形 性质
角
平
分
线
（1）三条内角平分线相交于三角形内部一点（内
心）；
（2）内心到三边的距离相等
高 （1）三条高所在的直线相交于一点（垂心）；
（2）交点位置不同：
锐角三角形的三条高线交点在三角形内部；直角三
角形的三条高线交点在三角形的直角顶点处；钝角
三角形的三条高线交点在三角形外部
图形 性质
中
线 （1）三条中线相交于三角形内部一点（重心）；
（2）每条中线平分三角形的面积
中
位
线 平行于第三边，且等于第三边的
一半　
知识点4 常见基本图形以及相应的结论
A字模型 8字模型 飞镖模型
∠1＋∠2＝ ∠A＋180° ∠A＋∠B＝ ∠C＋∠D ∠C＝∠A＋
∠B＋∠D
（续表）
风筝 模型（一） 风筝 模型（二） 双角平分线
模型（一）
∠A＋∠O＝ ∠1＋∠2 ∠A＋∠O＝ ∠2－∠1 ∠D＝90°＋ ∠A
双角平分线 模型（二） 双角平分线 模型（三） 三角形折叠
模型（一）
∠D＝90°－ ∠A ∠E＝ ∠A ∠1＝2∠C
三角形折叠 模型（二） 三角形折叠
模型（三）
2∠C＝∠1＋∠2 2∠C＝∠2－∠1
考点一　三角形的三边关系
（1）（2025·西附）以下列各组线段为边，能组成三角形的是
（　B　）
A. 3，4，8 B. 2，5，4
C. 14，4，9 D. 3，3，6
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，并满足 ＋（c－3）2＝0.若b为奇数，则△ABC的周长为 ；
（3）（2025·八中）若a，b，c是△ABC的三边长，则化简
＋ 的结果是 .
B
10或12　
2a　
考点二　三角形的内角和（外角）定理
（1）（2025·宜宾）下列关于三角形的性质描述错误的是
（　D　）
A. 三角形具有稳定性
B. 三角形的高线不一定在三角形的内部
C. 三角形的外角和为360°
D. 三角形的一个外角等于两个内角之和
D
（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.将△ABC沿直线
m翻折，点A落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是（　C　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
图1
C
图2
（3）如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC交CB的延长线
于点D，∠ABD的平分线BF所在直线与射线AE相交于点G. 若∠ABC
＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为 .
60°　
考点三　三角形中的重要线段
（1）如图1，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F
在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为
（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
图1
B
图2
（2）（2025·西附）如图2，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，
△ABC的面积是40，AB＝13，BC＝7，则DE＝ ；
4　
（3）（2025·八中）如图3，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直
平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝69°，∠FAE＝18°，则
∠C的度数为 ；
图3
25°　
（4）如图4，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与
∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是
.（填序号）
①∠BOC＝90°＋ ∠A；②∠D＝ ∠A；③∠E＝∠A；④∠E＋
∠DCF＝90°＋∠ABD.
①②
④　
图4
1. （2025·广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A
＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D.
（第2题）
C
（第3题）
110°
（第1题）
（第2题）
2. （2025·陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，
CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有
（　C　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. （2025·西附）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，点
E在AD上，且 ＝ ，EF⊥BD于点F. 若BC＝12，EF＝8，则
△ABC的面积为 .
请同学们完成《作业本》第50～51页练习题
C
80　

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