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甘肃省张掖市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438
C．389（1+2x）=438 D．438（1+2x）=389
3．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．cm
5．方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
6．如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图1，在中，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
二、填空题
11．关于的方程是关于一元二次方程，则m ．
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
13．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．
14．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为 ．
15．一元二次方程的解是 ；
16．如图，在中，分别以AC，BC为边作等边和等边.设，，的面积分别是，，，现有如下结论：
①；②连接AE，BD，则；③若，则.其中结论正确的序号是 .
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点、的坐标．
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，并写出点A、B的对应点、的坐标．
（3）判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
18．解方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
20．如图，在梯形中，，，E是延长线上的点，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论a为何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根分别为且满足，求a的值．
22．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
23．某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．若商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
24．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
25．阅读下面的解答过程，求y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y+2)2+4≥4，∵(y＋2)2≥0即(y＋2)2的最小值为0，∴y2＋4y＋8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求m2＋m＋4的最小值和4﹣x2＋2x的最大值.
26．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A C C A C D B
1．C
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
2．B
【详解】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得：
389（1+x）2=438．
故选B．
3．B
【详解】解：∵是一元二次方程即的两个根，
∴，
故选：B．
4．A
【详解】解：方法1：设书的宽为x，
则有，
解得cm．
方法2：书的宽为cm．
故选：A．
5．C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，，
故选：．
6．C
【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意；
B、由得，，故本选项不符合题意；
C、由得，，故本选项符合题意；
D、由得，，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．A
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．C
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
9．D
【详解】解：∵点，以O为位似中心，相似比为，
∴点的对应点的坐标为：或，
即或，
故选：D．
10．B
【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程，点 M运动到点B的位置时，的面积y达到最大值3，即的面积为3．
∵
∴
∴．
∴，即： ，
，即： ．
∵，
∴．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B
11．2
【详解】解：由题意得，且，
解得m=2，
故答案为：2．
12．-1
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1．
故答案为：-1．
13．20%
【详解】解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880，
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去），
故答案为20%．
14．12
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2，
∴S ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．
故答案为12．
15．x1=1，x2=2
【详解】解：由题意可得：
（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2．
16．①②③
【详解】解：①S1：S2=AC2：BC2正确，
∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2=AC2：BC2；
②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）；
③若，则正确，
设等边三角形ADC的边长为a，等边三角形BCE边长为b，
则△ADC的高为a，△BCE的高为b，
，
，
，
，
；
故答案是：①②③.
17．（1）图见解析，，；（2）图见解析，，；（3）与是关于点为位似中心的位似图形．
【详解】解：（1）如图所示，，．
（2）如图所示，，．
（3）与是关于点为位似中心的位似图形．
18．(1)，；
(2)，；
(3)，．
(4)，．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴即，
∴或，
解得：，．
（4）解：，
∴或，
解得：，．
19．每条道路的宽为1米．
【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，
解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
由（1）知，，
∴，即，
∴．
21．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴不论a为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
检验，当时，，
∴．
22．（1）1个；（2）
【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，依题意得
解得，．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
红 红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红，白）、（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红）、（白，红）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．
23．元
【详解】解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每天可销售件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
∴商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价元．
24．（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6．
【详解】（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
25．； 5
【详解】解：（1）m2+m+4=(m+)2+，
∵（m+）2≥0，
∴(m+)2+≥．则m2+m+4的最小值是；
，
∵≤0，
∴≤5，
∴最大值是5.
26．（1）证明见解析；（2）∠ACB=96°或114°；（3）．
【详解】（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃，∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴设BD=x，∴），∵x＞0，∴x=，∵△BCD∽△BAC，∴=，∴CD=×2=．

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