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分式 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2． 我国自主研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知28nm为0.000 000 028米，数据0.000 000 028用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列整式的计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．小林家距学校，乘公交车上学比步行上学所需时间少，乘公交车的平均速度是步行平均速度的倍．设步行平均每小时走，根据题意可列方程（　　）
A． B． C． D．
6．冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
7．在分式 中，x、y都扩大10倍，则分式的值（　　）
A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．保持不变 D．缩小5倍
8．方程 的解是（　　）
A． B．2 C．5 D．无解
9．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．若分式的值为0，则的值为（　　）
A．0或1 B．0或或2 C．0或1或2 D．0或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．关于 的分式方程 有增根，则 的值是　 　.
12．分式 有意义，则ⅹ的取值范围是　 　。
13．若4x＝a，8y＝b，则22x-3y可表示为　 　(用含a、b的代数式表示)．
14．若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
15．当 =　 　时，关于x的方程 的解与方程 的解互为相反数.
16． 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
18．列分式方程解应用题：宝珠梨是昆明市首个国家地理标志保护产品，2023 年 12月 16日，呈贡区宝珠梨作为参展产品之一亮相2023全国“土特产”集中推荐活动． 某网店从甲、乙两农户手中各花 600 元购进两种不同品质的宝珠梨进行网上销售，从乙农户手中所购的宝珠梨单价比从甲农户手中所购的单价高出，且最终从甲农户手中所购的宝珠梨数量比从乙农户手中所购的多25 千克，求分别从甲、乙农户手中所购的宝珠梨的单价．
19．为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．
（1）请问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？
（2）如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？
20．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，且很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克．
（1）求第一次购进该水果的进价？
（2）已知第一次购进的水果以每千克元很快售完，第二次购进的水果，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
21．为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等．
（1）求饰品每件的进价分别为多少元？
（2）该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？
22．李老师想买一些球拍和书包奖励给学生，他看中的两种商品在甲，乙两家超市的标价相同.球拍和书包的单价之和为440元，球拍的单价比书包的单价4倍多40元.
（1）李老师看中的球拍和书包的单价各是多少元？
（2）“六一”期间，甲，乙两超市举办让利活动：甲超市所有商品以相同折扣打折销售，乙超市球拍不打折，书包打5折销售.
李老师发现在甲超市用576元买的书包比用576元买的球拍多7件，问甲超市的商品打几折销售.
在 的折扣条件下，李老师发现买一定量的球拍和书包，乙超市更省钱.设买球拍 副，书包12个，求李老师所有的购买方案.
23．某文化用品商店用2400元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数见是第一批购进数量的3倍，但单价贵了5元，结果购进第二批书包用了7800元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是100元，全部售出后，商店共盈利多少元？
24．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步…………第二步…………第三步……
（1）上面的运算过程中第　 　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
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分式 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算正确；
C：，计算错误；
D：，计算错误；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，完全平方公式计算求解即可。
2． 我国自主研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知28nm为0.000 000 028米，数据0.000 000 028用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 0.000 000 028 = .
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法表示小于1的正数时，一般形式为a×10-n，其中，n是正整数，正确数出小数点移动的位数即可表示.
3．下列计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、a8÷a2=a6，故错误；
B、5ab-2ab=3ab，故错误；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故错误；
D、(-ab3)2=a2b6，故正确.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据完全平方公式可判断C；积的乘方，先将每一项进行乘方，然后将结果相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
4．下列整式的计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵2a和3b不是同类项，不能合并，∴此选项不符合题意；
B、≠-6a6b3，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠a2-2ab-b2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2a和3b不是同类项，所以不能合并；B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解.
5．小林家距学校，乘公交车上学比步行上学所需时间少，乘公交车的平均速度是步行平均速度的倍．设步行平均每小时走，根据题意可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设步行平均每小时走，
由题意得，
故答案为：D
【分析】根据“小林家距学校，乘公交车上学比步行上学所需时间少，乘公交车的平均速度是步行平均速度的倍”，利用时间的等量关系列方程即可。
6．冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：0.000000045=4.5×10-8，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法一般式：，其中，n为正整数。
7．在分式 中，x、y都扩大10倍，则分式的值（　　）
A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．保持不变 D．缩小5倍
【答案】C
【解析】【解答】 将分式 中的x、y都扩大10倍，式子变为整理化简后分式的值不变。
故答案为：C
【分析】考查分式的基本性质，分式的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
8．方程 的解是（　　）
A． B．2 C．5 D．无解
【答案】A
【解析】【解答】解：
x+1=0
x=-1
经检验x=-1是原方程的解.
故方程的解为x=-1.
故答案为：A.
【分析】将分式方程化为整式方程然后求解，注意还需检验整式方程的解是否使分式方程的分母有意义，即可求得方程的解.
9．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6；A不符合题意；
B、（-2a）3=-8a3；B不符合题意；
C、a6÷a2=a4；C不符合题意；
D、 ，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘、同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减、负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）逐项分析即可求解.
10．若分式的值为0，则的值为（　　）
A．0或1 B．0或或2 C．0或1或2 D．0或
【答案】A
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x1=0，x2=1，
故答案为：A.
【分析】利用分式的值为0的条件可得，再求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．关于 的分式方程 有增根，则 的值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解： 关于 的分式方程 有增根，
，
解得 ，
由 得 ，
，
.
故答案为 .
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，再根据方程的增根为x=，将其代入整式方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
12．分式 有意义，则ⅹ的取值范围是　 　。
【答案】x≠2
【解析】【解答】解：∵分式有意义
∴x≠2
【分析】根据分式有意义的条件进行证明即可。
13．若4x＝a，8y＝b，则22x-3y可表示为　 　(用含a、b的代数式表示)．
【答案】
【解析】【解答】解：∵4x＝a，8y＝b，
∴22x=a，23y=b
∴22x÷23y= 22x-3y=.
故答案为：.
【分析】将已知条件转化为22x=a，23y=b，再利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可求出结果.
14．若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：解分式方程得到：
∵分式方程的解为负数，
∴且-2a-1≠-1
∴且a≠0
解不等式组得到：
∴a的取值范围为：
∴满足条件的整数a的值为，1，2，
∴满足条件的整数a的值之和为3，
故答案为：3.
【分析】解分式方程得到a的取值范围为：a≠0，然后解不等式组结合题意得到进而即可得到符合条件的a的值，进而即可求解.
15．当 =　 　时，关于x的方程 的解与方程 的解互为相反数.
【答案】
【解析】【解答】解：
方程的两边都乘以x
得 x+4=3x
解得 x=2，
经验建x=2是该方程的根；
因为关于x的方程 的解与方程 的解互为相反数，
所以关于x的方程 的解为x=-2，
将x=-2 代入
得，
解得m=
经检验m=是该方程的根.
所以当m=时， 关于x的方程 的解与方程 的解互为相反数.
故答案为：.
【分析】首先解出方程 的解，根据关于x的方程 的解与方程 的解互为相反数得出方程的解，然后将该方程的解代入即可求出m的值.
16． 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得，
，
解得，
由于分式方程的解为非负数，即，
所以，
而是分式方程的增根，当时，，
因此k的取值范围为且，
故答案为：且．
【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程的增根，综合求解即可。
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）解：设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元；
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据题意列出方程，再求解即可；
（2） 安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，根据题意列出方程，再求解即可。
18．列分式方程解应用题：宝珠梨是昆明市首个国家地理标志保护产品，2023 年 12月 16日，呈贡区宝珠梨作为参展产品之一亮相2023全国“土特产”集中推荐活动． 某网店从甲、乙两农户手中各花 600 元购进两种不同品质的宝珠梨进行网上销售，从乙农户手中所购的宝珠梨单价比从甲农户手中所购的单价高出，且最终从甲农户手中所购的宝珠梨数量比从乙农户手中所购的多25 千克，求分别从甲、乙农户手中所购的宝珠梨的单价．
【答案】解：设从甲农户手中所购的宝珠梨的单价为x元，则从乙农户手中所购的宝珠梨的单价为元，
根据题意可列方程 ，
解得，
经检验，是方程的根，
所以，
答：从甲农户手中所购的宝珠梨的单价是6元，从乙农户手中所购的宝珠梨的单价是8元．
【解析】【分析】设从甲农户手中所购的宝珠梨的单价为x元，从乙农户手中所购的宝珠梨的单价为元，根据题意可列方程，求出方程的解即可求出分别从甲、乙农户手中所购的宝珠梨的单价，注意分式方程需要检验．
19．为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．
（1）请问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？
（2）如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？
【答案】（1）解：设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为（x-10）元，
根据题意，得 ．
解得x=25，
经检验x=25是原方程的解，
则x-10=15，
答：甲种果树苗的单价为25元，则乙种果树苗的单价为15元；
（2）解：设甲种果树苗可以购买y棵，
根据题意，得25y+15(5500-y)≤92500，
解得y≤1000，
答：甲种果树苗最多可以购买1000棵．
【解析】【分析】（1）根据甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，列方程计算求解即可；
（2）先求出25y+15(5500-y)≤92500， 再解不等式计算求解即可。
20．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，且很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克．
（1）求第一次购进该水果的进价？
（2）已知第一次购进的水果以每千克元很快售完，第二次购进的水果，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【答案】（1）解：设第一次购进的单价为 元，则第二次购进的单价为 ，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
答：第一次购进的单价为 元；
（2）解：第一次购进的数量为 （千克），
第二次购进的数量为 （千克），
（元），
答：总体上是盈利，盈利 元．
【解析】【分析】（1）设第一次购进的单价为x元，根据“用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克”列出分式方程；
（2）分别求出第一次和第二次购进的数量，用销售额-成本=利润，若结果为正数，则是盈利；结果为负数，则是亏损。
21．为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等．
（1）求饰品每件的进价分别为多少元？
（2）该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设饰品每件的进价为元，则饰品每件的进价为元，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意；
∴饰品每件的进价为（元）
答：饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元；
（2）解：设购买饰品个，则购买饰品个，根据题意得，
解得：
∵为正整数，
∴
∴共有4种方案，
方案一：购买饰品个，购买饰品个；
方案二：购买饰品个，购买饰品个；
方案三：购买饰品个，购买饰品个；
方案四：购买饰品个，购买饰品个．
【解析】【分析】（1）设饰品每件的进价为元，根据“ 用元购买种的数量与用元购买种数量相等 ”列分式方程解题即可；
（2）设购买饰品个，根据题意列一元一次不等式组，求m的整数解解题．
（1）解：设饰品每件的进价为元，则饰品每件的进价为元，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意；
∴饰品每件的进价为（元）
答：饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元；
（2）解：设购买饰品个，则购买饰品个，根据题意得，
解得：
∵为正整数，
∴
∴共有4种方案，
方案一：购买饰品个，购买饰品个；
方案二：购买饰品个，购买饰品个；
方案三：购买饰品个，购买饰品个；
方案四：购买饰品个，购买饰品个．
22．李老师想买一些球拍和书包奖励给学生，他看中的两种商品在甲，乙两家超市的标价相同.球拍和书包的单价之和为440元，球拍的单价比书包的单价4倍多40元.
（1）李老师看中的球拍和书包的单价各是多少元？
（2）“六一”期间，甲，乙两超市举办让利活动：甲超市所有商品以相同折扣打折销售，乙超市球拍不打折，书包打5折销售.
李老师发现在甲超市用576元买的书包比用576元买的球拍多7件，问甲超市的商品打几折销售.
在 的折扣条件下，李老师发现买一定量的球拍和书包，乙超市更省钱.设买球拍 副，书包12个，求李老师所有的购买方案.
【答案】（1）解：设李老师看中的球拍的单价为 元，书包的单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：李老师看中的球拍的单价为360元，书包的单价为80元；
（2）解： 设甲超市的商品打 折销售，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：甲超市的商品打8折销售；
由题意得： ，
解得： ，
为正整数，
或2或3，
李老师所有的购买方案为：买球拍1副，书包12个或买球拍2副，书包12个或买球拍3副，书包12个.
【解析】【分析】（1）设李老师看中的球拍的单价为x元，书包的单价为y元，根据球拍和书包的单价之和为440元可得x+y=440；根据球拍的单价比书包的单价4倍多40元可得x=4y+40，联立求解即可；
（2）①设甲超市的商品打m折销售，则在甲超市用576元买的书包的数量为，用576元买的球拍的数量为，然后根据买的书包比买的球拍多7件可得关于m的方程，求解即可；
②根据球拍的单价×数量+书包的单价×数量×0.5可得在甲超市购买的总费用，根据球拍的单价×数量×0.8+书包的单价×数量×0.8可得在乙超市购买的总费用，然后根据乙超市更省钱可得关于n的不等式，求出n的范围，结合n为正整数可得n的取值，进而可得购买方案.
23．某文化用品商店用2400元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数见是第一批购进数量的3倍，但单价贵了5元，结果购进第二批书包用了7800元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是100元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）解：设第一批购进书包的单价是 元.则：
解之，得：
经检验： 是原方程的根.
答：第一批购进书包的单价是60元.
（2）解： (元)
答：商店共盈利5800元.
【解析】【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：7800元购买的数量=2400元购买的数量×3．（2）根据盈利=总售价-总进价即可得出．
24．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步…………第二步…………第三步……
（1）上面的运算过程中第　 　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）分析每步的过程，即可得到错误的地方；
（2）对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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