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山西省太原市杏花岭区山西省实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等
2．方程的解是（ ）
A． B． C． D．没有实数根
3．如图，在下面的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）
x 0 1 2
5
A． B． C． D．
6．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）

A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上
B．任意写一个整数，它能被2整除
C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”
7．已知线段，如果，那么下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列四个命题说法正确的是（　　）
A．一组对角相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连结菱形四边中点得到的四边形是矩形
D．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
9．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（ ）
A．15 B． C． D．12
10．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，已知，若，，，则的长为 ．
12．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
13．若x2－4x－7＝0的两个根为x1、x2，则x1＋x2－x1x2的值是 ．
14．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，根据题意，可列出一元二次方程为： ．（只列方程，不需求解）
15．如图，已知正方形的边长为4，M点为边上的中点，若M点是A点关于线段的对称点，则等于 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；（用配方法）
(2)；（用公式法）
(3)；
(4)．
17．如图，在菱形中，，E为边上一点（与点A，D不重合），连接，将射线绕点B在平面内顺时针旋转与射线交于点F．求证：．
18．创文创卫，就是创建“全国文明城市”和创建“国家卫生城市”．某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了文明礼仪、环境保护、卫生保洁、垃圾分类四个主题（依次用表示），每个学生选一个主题参与．
(1)张宇从四个主题中随机选择一个，求他参与文明礼仪的概率；
(2)李静和周凯分别从四个主题中随机选择一个，求他们选择不同主题的概率．
19．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接与相交于点O．求证：四边形为矩形．
20．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）．
21．年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元．
(1)当天火箭模型的销售量为_____件；
(2)求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元．
22．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即．
【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为（____________）；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程；
【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________．
23．综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长
参考答案
1．C
解：根据菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等，
故A不符合题意，B不符合题意，D不符合题意，C符合题意，
故选：C．
2．C
解：，
，
．
故选：C．
3．C
解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可，
甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，
∴相似的是甲和丙，
故选：C．
4．A
解：将方程化为一般形式为，
其中，，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．A
解：由表格数据可知当时，的值大于0，
当时，的值小于0，
因此的一个解的取值范围是．
故选：A．
6．C
解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上的概率为，不符合题意；
B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意；
C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率，符合题意；
D、从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”的概率是，不符合题意．
故选C．
7．A
解：A.对于线段，如果，则有，故选项A正确，符合题意；
B.已知条件无法确定线段的具体长度，故错误，不符合题意；
C.若，则有，故本选项错误，不符合题意；
D. 若，则有，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
8．C
【详解】A．一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，有可能是菱形，故此命题说法不正确，是假命题，故此选项错误；
B．根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误
C．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故此命题是真命题，故此选项正确；
D．平行四边形是不是轴对称图形是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误．
故选：C．
9．A
【详解】如图所示，连接，
∵点与点关于对称，
，
当在同一直线上时，
的最小值等于的长，
∴的最小值等于15，
故选：A．
10．C
解：A、对角线互相平分，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角，即对角线互相垂直，故可得四边形是菱形，故该选项不符合题意；
B、四边相等的四边形是菱形，故该选项不符合题意
C、对角线互相平分，不能证明是菱形，故该选项符合题意．
D、根据已知角可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意；
故选：C．
11．
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．4
解：∵产品的抽样合格率为，
∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
13．11
解：∵是方程的两个根，
∴，．
∴．
故答案为：11．
14．
解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，由题意，可列出一元二次方程为；
故答案为：．
15．
解：连接，
∵M、A关于对称，
∴，
设，则，，
∵M点为边上的中点，
∴，
在直角中，由勾股定理得：
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
（1）解：，
，
，
，
∴，
（2）解：，
这里，
，
∴，
∴，
（3）解：，
，
，
，
，，
∴，；
（4）解：，
，
∴，
∴，
17．证明见解析
【详解】证明：四边形是菱形，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
由旋转可得，
，
，
，
，
．
18．(1)
(2)
（1）解：（1）从四个主题中随机选择一个，
．
（2）解：列表如下：
李静 周凯 A
A
由表可得，共有16种等可能的结果，其中他们选择不同主题的结果有12种，
．
19．见解析
证明∶∵四边形为平行四边形，
∴，，
又，
∴，即.
∴.
∴四边形为平行四边形.
∵，
∴.
∴四边形为矩形．
20．见解析
解：正方形如图所示：
21．(1)
(2)当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元
（1）解：当天火箭模型的销售量为件；
故答案为：；
（2）解：依题意，得．
整理得，即，
解得，
（元）．
答：当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元．
22．（1）【理解】B；（2）【实践】，见解析；（3）【应用】1
解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想；
故选：B．
【实践】第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示，
则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即．
故答案为：；
【应用】第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示，
则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，
由于中间正方形的边长为a，其面积为，则，
即，
∴．
故答案为：1．
23．（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①．理由见解析；②5或
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：①，理由如下：
由（1）知四边形是菱形，
∴，
由折叠的性质得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：②∵，，，
∴，
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则，
同理得，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵是以为腰为底的等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上，的长为或．

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