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2025年初中数学二次函数与几何综合专题
一．二次函数面积最值和平行四边形存在问题
1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形？若存在，求出满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标．
3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究
如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP，PC，BC，当四边形APCB的面积最大时，求点P的坐标．
（3）点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接PB、BC、PC，设△PBC的面积为S，求S的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当△PBC的面积最大时，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
二．二次函数直角三角形存在问题
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，连接BC，EC，是否存在点P，使△BEC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由．
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点P的坐标为时，求△PAC的面积．
（3）如图2，连接BC，当△PBC是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标．
8．如图1，抛物线交x轴于A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图2，当点M是抛物线的顶点时，连接AM、CM、BC，求四边形ABCM的面积；
②如图3，是否存在点M，使△BCM为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC的上方，试求△PBC面积的最大值；
（3）点E是线段BC上异于B，C的动点，过点E的直线EN⊥x轴于点N，交抛物线于点M．当△ECM为直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
10．综合运用
如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD．
①连接CD，当△CDB的面积为10时，求点F的横坐标；
②直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
三．二次函数与轴对称最值结合问题
11．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直线于A（m，0），B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使EA+ED的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标．
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）已知P为抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．
（3）已知Q为抛物线上一点，当点Q运动到直线BC下方时，求△BCQ面积的最大值．
13．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将抛物线y＝ax2﹣4x+c在x轴以下的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线y＝kx+（k＞0）与此新图象有且仅有三个交点．求当1≤x≤3时，代数式kx+﹣4x+c的最大值．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A，B（4，0）两点，交y轴于点C，连接AC，BC，点，0）是线段AB的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段CB上方抛物线上的一个动点，过点P作PF∥y轴交BC于点F，点M，N是y轴上的动点，且MN＝1，连接MP，ND，DP，当PF取得最大值时，求四边形PMND周长的最小值；
（3）将该抛物线沿射线AC方向平移，使平移后的新抛物线y′经过点C，过点C作直线l∥x轴，点G是线段CB上一动点（点G不与点C重合），点H是新抛物线上一动点，连接GH交直线l于点M．当∠BGH＝3∠ABC且M为线段GH的三等分点时，请直接写出所有符合条件的点H的横坐标，并写出求解点H横坐标的其中一种情况的过程．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+b的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，已知B（6，﹣5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC，BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足MN＝3，连接CM，BN，当△ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值；
（3）当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线MC上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
四．二次函数角度关系存在问题
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴，y轴分别交A，B，C三点．其中A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，在线段BC上取点D、E，且D的横坐标比E的横坐标小1；过点D、E分别作y轴的平行线，交抛物线于P、Q两点．求PD+QE的最大值及此时点P的坐标；
（3）连接AC，若M是抛物线上一点，且∠MCB+∠ACO＝45°，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
17．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，对称轴交x轴于点E（﹣1，0）．
（1）求b的值；
（2）连接BC，P为二次函数图象上的一点，若∠PFE＝∠BCO，求点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，过点A作AC的垂线交二次函数图象于点M，连接MC，设直线MC的函数表达式为y＝kx+w．
①直接写出k的值；
②如图2，点P，Q均为二次函数图象上的一点（点P在第一象限的图象上），若∠PAB＝∠QAB，直线PQ是否平行于MC？请说明理由．
18．已知抛物线y＝x2﹣4x+c，与x轴交于点A和点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为P．
（1）直接写出这条抛物线的解析式 　 　 和顶点P的坐标 　 　 ；
（2）若点M在此抛物线上，MF⊥x轴于点F，MF与直线PQ相交于点E，设点M的横坐标为t（t＞3），且ME：EF＝2：1，求点M的坐标；
（3）在（2）的基础上，在直线AM上是否存在一点N，使直线PN与直线AM的夹角等于∠AMP的2倍．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5），抛物线的对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限且为对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交BC于点N，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝2，连接DN，AE．当MN＝4时，求点N的坐标及|AE﹣DN|的最大值；
（3）在（2）的条件下，将点M沿射线BC方向平移，点P为点M的对应点，点Q为抛物线对称轴上的一动点．若∠QBA＝∠PMO﹣45°，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线AC上方．当△ACM面积最大时，求的最小值．
（3）将（1）中抛物线沿射线AC平移个单位长度得到新的抛物线y′，点K为新抛物线上一点，使得∠KAC+∠AEO＝45°．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
五．二次函数等腰直角形存在问题
21．如图，抛物线L：y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和点D，与y轴交于点C（0，1），顶点为A．
（1）求抛物线L的解析式和顶点A的坐标；
（2）将抛物线L上下平移，请问在平移后的抛物线L′上是否存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
22．【综合探究】
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线BC，其中点A（﹣1，0），点C（0，﹣4）．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若，求此时点P的坐标；
（3）是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣6），连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点BC重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若PF＝3PE，求m的值．
（3）在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由．
24．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），抛物线的图象经过点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）D为CO的中点，动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再到达抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E，F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（3）Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以Q为直角顶点的等腰直角三角形CQR？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
六．二次函数等腰三角形存在问题
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，A（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求直线AC和抛物线的解析式．
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AM为腰的等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且△AOB的面积为6．
（1）求b，c；
（2）若点M为二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象第二象限内一点，求四边形AMBC的面积S的最大值；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
28．【问题背景】
如图1，已知抛物线经过三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点P的坐标，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E，F两点，当△CEF为等腰三角形时，直接写出CE的长．
29．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点P是抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴于点E，PE交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①如图2，若点P在第一象限内抛物线上运动，连接AP，交直线BC于点F，记△ADF的面积为S1，△CFP的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
②抛物线的对称轴交直线BC于点Q，连接PQ，是否存在点P使△PQD是以点P为顶角顶点的等腰三角形，若存在，请直接写出m的值，若不存在，请说明理由．
30．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC，BC．点M是该抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，若点M在第一象限，点N在MA的延长线上，当∠NAC﹣∠ABC＝45°时，求点M的坐标；
（3）如图2，若点M在第四象限，直线AM与BC交于点D，过点M作ME⊥x轴交BC于点E，当△DEM是等腰三角形时，求线段EM的长．
七．二次函数与特殊平行四边形存在问题
31．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为点D，且A（﹣1，0）．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）设点P（m，n）是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形ACPB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标．
32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，BC，直线BC上方的抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，连接AC，将△OAC绕着点O顺时针旋转，记旋转过程中的△OAC为△OA′C′，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′．当点A′刚好落在线段AC上时，将△OA′C′沿着直线BC平移，在平移过程中，直线OC′与抛物线对称轴交于点E，与x轴交于点F，设点R是平面内任意一点，是否存在点R，使得以B、E、F、R为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣4），与y轴交于点B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C．
①求点C的坐标；
②已知点D为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上，位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，求P坐标为何值时PD最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
35．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线AD和抛物线的表达式；
（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．
36．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
37．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），C（﹣1，0），以AC为直角边，在第二象限作等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2+ax﹣2经过点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，CD，求△BDC的面积．
（3）在抛物线上是否还存在两点G，H，使四边形ACGH为正方形？若存在，请求出点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，且OA＝OC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图①，在直线AC上方的抛物线上存在一点M，使得S△AMC＝6，求出M的坐标；
（3）若点P是该抛物线上位于直线AC下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标．
八．二次函数与相似存在问题
39．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，存在一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）若点M在抛物线上，MN⊥x轴于N点，且△MNB与△AOC相似，直接写出点M的坐标．
40．如图，抛物线与x轴交于点A，B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4）．点D是抛物线中BC上方的一点，点E在线段BC上，直线DE交x轴于点F．
（1）求点A的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）若点F与点O重合，当时，求点D的坐标；
（3）连接AC，当△BEF与△ABC相似，且相似比为1：2时，请直接写出直线DE的函数表达式．
41．如图，抛物线y＝a（x﹣2）（x+4）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝kx+1与y轴交于点D，与x轴交于点N，与抛物线交于E、F两点（点E在点F的左侧），连接BD，，求△BDF的面积；
（3）在（2）的条件下，P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作AP⊥PQ交x轴于点Q，过点B作BM⊥EF 于M，试问：是否存在点P，使以点A，P，Q为顶点的三角形与△BNM相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
42．如图13，已知二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点，连结OP交BC于点D，连结AC．
（1）①求抛物线的函数解析式；
②求证：AC⊥BC．
（2）当的比值最大时，求△PCO的面积；
（3）是否存在这样的点P，使得△PCD∽△OBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
43．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P．
（1）求线段AB的长；
（2）若PM＝2PN，求点M的坐标；
（3）若点M在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与△BPN相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
九．二次函数与三角函数问题
44．抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
45．如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为﹣1，点B为x轴上一点，抛物线L经过A，B，O三点，点D（1，﹣1）为抛物线L的顶点，C为第一象限内一动点．过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．已知点C到定点的距离与到定直线的距离相等．
（1）求抛物线的解析式与点A，点B的坐标；
（2）求证：抛物线L必经过点C；
（3）连接AB、AC，当时，求点C的坐标．
46．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，点是抛物线上的一点．
（1）求m的值；
（2）CD⊥x轴于点D，AD与BC交于点E，求的值；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使，求点P的坐标．
47．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）请求出抛物线解析式．
（2）如图1，过点A作AE∥BC交抛物线于点E，连接BE，点P是x轴上点B右侧一动点，若△PBC与△ABE相似，求点P的坐标．
（3）如图2，已知点M（0，1），Q是抛物线上一动点，是否存在点Q使得，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
48．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC交x轴于点D，连接PA，设点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且∠EOA＝∠OCD，连接EA、EP，若CD＝2AE，，求tan∠EPC的值．
十．二次函数胡不归最值问题
49．如图1，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）已知点M是抛物线的顶点，点E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作ED⊥x轴于点D，交抛物线于点F．
①求四边形ABMC的面积；
②求△CEF的边CE上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
50．如图，抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标；
（3）若点E为线段OC上一动点，试求的最小值．
51．已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
52．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标．
53．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将此抛物线在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象L，若将直线BC向上平移t个单位长度，使得平移后的直线与图象L有两个公共点，请直接写出t的取值范围．
（3）如图②点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，直接写出的最大值及此时点P的坐标.
十一．二次函数综合问题
54．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在y轴上，点E在第一象限的抛物线上，若AC∥DE且AC＝DE，求点D的坐标；
（3）如图2，已知动点P在抛物线上，M为OP的中点，作MN∥y轴交抛物线于点N．设点P的横坐标为t，线段MN的长为d．①直接写出d关于t的函数解析式；②当时，试探究t的取值范围．
55．已知，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3a（a≠0），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）抛物线的对称轴为 　 　 （用含有a的式子表示）；
（2）若当﹣1＜x＜2时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围；
（3）如图1，当a＝1时，点E（m，n）为第四象限的抛物线上一点，过点E作EF∥x轴与抛物线另外一个交点为点F．
①连接BC，过点E作EH∥y轴，交BC于点H，以EF，EH为邻边构造矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为时，求m的值；
②以EF所在直线为对称轴将抛物线位于EF下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围．
56．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上一动点，其横坐标m满足，连接AM，交BC于点E，交直线l于点F，连接BM并延长交直线l于点G．
①求的最大值；
②求证：DG+DF为定值．
57．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（6，0），B（0，2），D（4，2）三点，且与x轴交于另一点F．
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接BC，直线BC交抛物线于另一点H，P为直线BC下方抛物线上的点，连接DH、HP，若∠DHB＝∠BHP，求P点坐标；
（3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线y＝mx+n（n＞0）与抛物线交于第四象限内一点N，连接FM、FN，分别交y轴于点D、E，且|OD| |OE|＝4，求证：直线MN恒经过一定点，并求出定点坐标．
58．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为直线BC上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥BC于点F，设点E的横坐标为t．
①用含ι的代数式表示线段EF的长；
②连接AC，EC，BE，求四边形ECAB面积的最大值，并直接写出此时EF的长；
（3）设点P的坐标为（n﹣3，n﹣3），点Q的坐标为（n+3，n﹣3），连接PQ，当抛物线y＝ax2+bx+c和线段PQ只有一个公共点时，求n的取值范围．
参考答案与试题解析
1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形？若存在，求出满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点，
∴将B（0，4），C（4，0）代入y＝ax2+x+c得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
将B（0，4），C（4，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，
过点E作EG∥y轴交BC于点G，如图所示：
设，则G（t，﹣t+4），
∴，
∴，
∴当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
（3）解：存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
由题知，B（0，4），C（4，0），
设，
当四边形PQBC是平行四边形时，PB，CQ为平行四边形的对角线，
则，
解得，
∴．
2．如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，得﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
设P（t，﹣+t+2），则E（t，﹣t+2），
∴PE＝﹣+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCP＝PE OC＝×（﹣+2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△BCP有最大值，最大值为4，此时，点P的坐标为（2，3）；
（3）设Q（m，n），又B（0，2），C（4，0），P（2，3），
当BC、PQ为对角线时，BC与PQ的中点重合，
则，
解得：，
∴Q（2，﹣1）；
当BP、CQ为对角线时，BP与CQ的中点重合，则，
解得：，
∴Q（﹣2，5）；
当BQ、CP为对角线时，BQ与CP的中点重合，则，
解得：，
∴Q（6，1）；
综上所述，Q的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，5）或（6，1）．
3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，将B、C两点的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点E作y轴的平行线交BC于点N，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点E（x，x2﹣2x﹣3），则点N（x，x﹣3），
则NE＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴＝＝，
∵，且0＜x＜3，
∴当时，△CBE面积有最大值，最大值为，
当时，，
∴此时点E的坐标为；
（3）在该抛物线上存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
如图，C（0，﹣3）、E，设P（x，x2﹣2x﹣3），M（1，m），
a．当四边形CEPM为平行四边形时，如图2，
则CE∥PM，CE＝PM，
xC+xP＝xE+xM，
即，
解得，
当时，，
所以；
b．当四边形CEMP为平行四边形时，如图3，
则CE∥MP，CE＝MP，
则xC+xM＝xE+xP，
即，
，
当时，，
所以；
c．当四边形CPEM为平行四边形时，如图4，
则CP∥EM，CP＝EM，
xC+xE＝xP+xM，
即，
解得，
当时，，
所以，
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为或或．
4．综合与探究
如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP，PC，BC，当四边形APCB的面积最大时，求点P的坐标．
（3）点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）二次函数y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，
当x＝0时，得：y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的表达式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：
﹣3k﹣3＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点G．
设P（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜0），则G（t，﹣t﹣3），
∴PG＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t．
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，AO＝3，OC＝3，
∴
＝
＝
＝
＝，
∵﹣3＜t＜0，，
∴当时，S四边形APCB取最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为（﹣5，0）或或或（﹣1，0）．理由如下：
设M（m，m2+2m﹣3），Q（q，0）．
A（﹣3，0），C（0，﹣3）．
如图2，①当AM为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴M1（﹣2，﹣3），Q1（﹣5，0）；
②当AQ为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：或，
∴，或，
；
③当AC为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴M4（﹣2，﹣3），Q4（﹣1，0）．
综上所述，在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为（﹣5，0）或或或（﹣1，0）．
5．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接PB、BC、PC，设△PBC的面积为S，求S的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当△PBC的面积最大时，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线y＝与x轴交于A（﹣1，0），B两点，
当y＝0时得：＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
如图1：过P作PG∥y轴交BC于点G，
设P（p，）（0＜p＜4），则G（p，p﹣2），
∴PG＝＝，
∴△PBC的面积为：S＝×（4﹣0）＝﹣p2+4p＝﹣（p﹣2）2+4，
∴当p＝2时，△PBC的面积最大为4，此时点P的坐标为（2，﹣3）；
（3）x轴上存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或．理由如下：
∵C（0，﹣2），F（1，0），
∴设直线CF的解析式为y＝mx+n，将点C，点F的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线CF的解析式为y＝2x﹣2，
∵当△PBC的面积最大时，过P 作PD⊥x轴于点D，连接 CF并延长交直线PD于点M，
∴M的横坐标为2，则纵坐标为2×2﹣2＝2，即M（2，2），
设，Q（q，0），
如图2：当MF为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得：
，
解得：或，
∴或；
如图2：当MF为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得：
，
解得：或，
∴或，
综上所相宜，x轴上存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或．
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，连接BC，EC，是否存在点P，使△BEC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，将点B的坐标代入y＝﹣x﹣1得：
m＝﹣4﹣1＝﹣5，
∴B（4，﹣5），
将点A，点B的坐标分别代入y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣4x﹣5；
（2）存在点P，使△BEC为直角三角形；点P的坐标为（2，﹣9）或．理由如下：
抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴的另一个交点是点C，
当y＝0时，得：x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴C（5，0），
设点D（m，0），则P（m，m2﹣4m﹣5），E（m，﹣m﹣1），
∴BE2＝（4﹣m）2+（m﹣4）2＝2m2﹣16m+32，CE2＝（5﹣m）2+（m+1）2＝2m2﹣8m+26，BC2＝（4﹣5）2+（﹣5﹣0）2＝26，
若△BEC为直角三角形，分三种情况讨论：
当∠BEC＝90°时，由勾股定理得：BE2+CE2＝BC2，
∴2m2﹣16m+32+2m2﹣8m+26＝26，即m2﹣6m+8＝0，
解得：m＝2或m＝4（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（2，﹣9）；
当∠BCE＝90°时，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，
∴2m2﹣16m+32＝2m2﹣8m+26+26，即﹣8m＝20，
解得：，
此时点P的坐标为；
当∠CBE＝90°时，由勾股定理得：BC2+BE2＝CE2，
∴2m2﹣16m+32+26＝2m2﹣8m+26，
解得：m＝4（不合题意，舍去）；
综上所述，存在点P，使△BEC为直角三角形；点P的坐标为（2，﹣9）或．
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点P的坐标为时，求△PAC的面积．
（3）如图2，连接BC，当△PBC是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），将点A、点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设PA交y轴于点G，如图1：
抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，
当x＝0时，得：y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
设直线PA的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣3，0），点P分别代入得：
，
解得：，
∴直线PA的解析式为，
当x＝0时，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴分两种情况：①点B为直角顶点，②点C为直角顶点，
①过点B作BP1⊥BC交抛物线于点P1，交y轴于点E，连接P1C，如图2，
∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵BP1⊥BC，
∴∠CBE＝90°，
∵∠BOE＝∠COB＝90°，
∴∠EBO+∠BEO＝∠EBO+∠CBO＝90°，
∴∠BEO＝∠CBO，
∴△BEO∽△CBO，
∴，即，
∴，
∴，
设直线BE的解析式为y＝kx+b，将点B，点E的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BE的解析式为，
联立得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴；
②过点C作CP2⊥BC交抛物线于点P2，连接P2B，如图3，
∵BP1⊥BC，CP2⊥BC，
∴CP2∥BP1，
设直线CP2的解析式为，将点C（0，﹣3）的坐标代入得：b＝﹣3，
∴直线CP2的解析式为，
联立得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
8．如图1，抛物线交x轴于A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图2，当点M是抛物线的顶点时，连接AM、CM、BC，求四边形ABCM的面积；
②如图3，是否存在点M，使△BCM为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线交x轴于A（﹣3，0）和点B（1，0），把点A和点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴；
（2）①如图2，作MD垂直于x轴于点D，
抛物线交y轴于点C，
当x＝0时，得：y＝2，
∴C（0，2）；
∴对称轴为直线，
当x＝﹣1时，得：y＝，
∴C（0，2），；
∴S四边形ABCM＝S△AMD+S梯形MDOC+S△OBC
＝
＝
＝6；
②存在点M，使得△BCM为直角三角形，理由如下：
如图3，
设M（﹣1，m），
∵B（1，0），C（0，2），
∴BC2＝22+12＝5，MC2＝12+（m﹣2）2＝m2﹣4m+5，BM2＝22+m2＝m2+4，
当∠CBM＝90°时，则MC2＝BC2+BM2，
∴m2﹣4m+5＝5+m2+4，
解得：m＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣1）；
当∠BCM＝90°时，BM2＝BC2+MC2，
∴m2+4＝5+m2﹣4m+5，
解得：，
∴；
当∠BMC＝90°时，BC2＝BM2+MC2，
∴5＝m2+4+m2﹣4m+5，
整理得：2m2﹣4m+4＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×2＝﹣16＜0，
∴该方程无解，这种情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（﹣1，﹣1）或．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC的上方，试求△PBC面积的最大值；
（3）点E是线段BC上异于B，C的动点，过点E的直线EN⊥x轴于点N，交抛物线于点M．当△ECM为直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴相交于点C，
当x＝0时，得：y＝5，
∴点C（0，5）．
设直线BC的关系为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+5．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，交BC于点D，如图1，
设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+4m+5），D（m，﹣m+5），PD＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PBC＝S△PDC+S△PDB
＝
＝
＝
＝．
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，S△PBC的最大值为；
（3）点M的坐标为（4，5）或（3，8）．理由如下：
如图2，当∠CME＝90°时，CM∥x轴，
∴点C与点M关于对称轴直线对称，
∴点M（4，5）；
如图3，当∠MCE＝90°，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠BEN＝∠CEM＝∠CME＝45°，∠FCM＝∠FMC＝45°，
∴CF＝FM．
设FC＝x，则点M（x，x+5），
∴x+5＝﹣x2+4x+5，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝3，
∴点M（3，8）．
综上所述，点M的坐标为（4，5）或（3，8）．
10．综合运用
如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD．
①连接CD，当△CDB的面积为10时，求点F的横坐标；
②直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+m，将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0）（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x．
①根据题意得△CDB的面积为，
∴，
解得：x1＝1，x2＝4．
∴△CDB的面积为10时，点F的横坐标为1或4；
②直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；理由如下：
∵EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得：3x2﹣17x+10＝0，
解得：（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得：2x2﹣13x+15＝0，
解得：（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为，
综上所述，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分，点D的坐标为或；
（3）点M的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．理由如下：
抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，
∴50+t2﹣10t+29＝t2+9，
解得：t＝7，
∴点M的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，
∴50+t2+9＝t2﹣10t+29，
解得：t＝﹣3，
∴点M的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，
∴t2﹣10t+29+t2+9＝50，
解得：t1＝6，t2＝﹣1，
∴点M的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，点M的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
11．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直线于A（m，0），B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使EA+ED的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直线于A（m，0），B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D，把A点坐标代入直线l的解析式得：
，
解得：m＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），
把点A的坐标代入y＝ax2﹣4ax+3（a≠0），得：
0＝4a+8a+3，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线与y轴的交点为点H，
对于，
当x＝0时，y＝1，
∴直线与y轴的交点坐标为H（0，1），
联立得：，
解得：或，
∴点B（4，3），
对于，当x＝0时，y＝3，
∴点D的坐标为（0，3），
∴DH＝2，
∵A（﹣2，0），
∴；
（3）抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小；理由如下：
由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设AB交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时EA+ED的值最小，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴点A关于对称轴的对称点为点C（6，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，把点C，点D的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线CD的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为（2，2）．
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）已知P为抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．
（3）已知Q为抛物线上一点，当点Q运动到直线BC下方时，求△BCQ面积的最大值．
【解答】（1）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）得二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴点A关于对称轴的对称点为点B，连接CB，则与对称轴的交点即为点P，连接AP，
∴△APC的周长的最小值为AP+PC+AC＝BP+PC+AC＝BC+AC，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴，，
∴△APC周长最小值为；
（3）设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设Q（m，m2﹣2m﹣3），过点Q作QE⊥x轴交BC与点E，
则E（m，m﹣3），
∴QE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵点Q在直线BC的下方，即0＜m＜3，
∴当时，△BCQ的面积有最大值，为，
∴△BCQ面积的最大值为．
13．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将抛物线y＝ax2﹣4x+c在x轴以下的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线y＝kx+（k＞0）与此新图象有且仅有三个交点．求当1≤x≤3时，代数式kx+﹣4x+c的最大值．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得，
∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小；理由如下：
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点A（1，0），
∴点B（3，0），
连接PB，如图2，
由函数的对称性质知PA＝PB，
∴四边形PAOC的周长＝OA+OC+PC+PA＝OA+OC+PC+PB，
当P、C、B三点共线时，PC+PB有最小值，最小值为BC的长，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：，
∴四边形PAOC周长的最小值为，
设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B的坐标代入得：
0＝3k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝2时，y＝﹣2+3＝1，
∴P（2，1）；
（3）由题意得，抛物线y＝x2﹣4x+3在x轴以下的部分沿x轴翻折，翻折后的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3（1≤x≤3），如图3，
当直线与图中的新图象只有三个交点时，
则直线与y＝﹣x2+4x﹣3（1≤x≤3）只有唯一的一个交点，
联立得：，
整理得：，
则，
解得或，
当时，，
解得（不符合题意1≤x≤3，舍去），
当时，代数式
＝
＝，
∵当时，的值随x的增大而减少，
故当x＝1时，代数式的值最大；
当时，的值随x的增大而增大，
故当x＝3时，代数式的值最大；
又∵当x＝1时，；
当x＝3时，；
∵，
∴当1≤x≤3时，代数式的最大值为．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A，B（4，0）两点，交y轴于点C，连接AC，BC，点，0）是线段AB的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段CB上方抛物线上的一个动点，过点P作PF∥y轴交BC于点F，点M，N是y轴上的动点，且MN＝1，连接MP，ND，DP，当PF取得最大值时，求四边形PMND周长的最小值；
（3）将该抛物线沿射线AC方向平移，使平移后的新抛物线y′经过点C，过点C作直线l∥x轴，点G是线段CB上一动点（点G不与点C重合），点H是新抛物线上一动点，连接GH交直线l于点M．当∠BGH＝3∠ABC且M为线段GH的三等分点时，请直接写出所有符合条件的点H的横坐标，并写出求解点H横坐标的其中一种情况的过程．
【解答】解：（1）∵B（4，0），点D（，0）是线段AB的中点，
∴A（﹣1，0），
把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2（a≠0），
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+2交y轴于点C，
∴C（0，2），
设直线BC的表达式为y＝kx+2，把B（4，0）代入得：4k+2＝0，
解得：k＝﹣，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），则F（t，﹣t+2），
∴PF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，PF取得最大值2，此时点P的坐标为（2，3），
∵D（，0），
∴PD＝＝，
作点P关于y轴的对称点P′（﹣2，3），连接P′M，以P′M、MN为边作 P′MNG，连接DG，如图，
则PM＝P′M，NG＝P′M，P′G＝MN＝1，且点D、G是定点，
∴G（﹣2，2），
∴四边形PMND周长＝PM+DN+PD+MN＝NG+DN++1≥DG++1，
当且仅当D、N、G三点共线时，四边形PMND周长最小，
∵DG＝＝，
∴四边形PMND周长的最小值为++1；
（3）∵A（﹣1，0），C（0，2），y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴将该抛物线沿射线AC方向平移，即向右平移m个单位，向上平移2m个单位，如图，
则y′＝﹣（x﹣﹣m）2++2m，
∵新抛物线y′经过点C（0，2），
∴2＝﹣（0﹣﹣m）2++2m，
解得：m＝0（舍去）或m＝1，
∴y′＝﹣（x﹣）2+＝﹣x2+x+2，
作点C关于x轴的对称点E，连接BE，将△BEO沿BE翻折得到△BEJ，
则∠EBJ＝∠EBO＝∠ABC，BJ＝OB＝4，EJ＝OE＝OC＝2，
过点J作JT⊥y轴于T，连接OJ交BE于点V，
则OV＝VJ，OJ⊥BE，
在Rt△BOE中，BE＝＝＝2，
∵BE OV＝OB OE，
∴OV＝＝＝，
∴OJ＝2OV＝，
∵∠JOT+∠BEO＝∠BEO+∠EBO＝90°，
∴∠JOT＝∠EBO，
∵∠OTJ＝∠BOE＝90°，
∴＝tan∠JOT＝tan∠EBO＝＝，
∴OT＝2JT，
∵OT2+JT2＝OJ2，
∴（2JT）2+JT2＝（）2，
∴JT＝，
∴OT＝2JT＝，
∴J（，﹣），
运用待定系数J法可得直线BJ的表达式为y＝x﹣，
∵∠CBJ＝3∠ABC，∠BGH＝3∠ABC，
∴∠CBJ＝∠BGH，
∴GH∥BJ，
设直线GH的表达式为y＝x+e，G（n，﹣n+2）（0＜n≤4），
∴直线GH的表达式为y＝x﹣n+2，
∴M（n，2），
过点G作GK⊥CM于K，过点H作HL⊥CM于L，
则GK＝n，MK＝n，
∵M为线段GH的三等分点，
∴MH＝2MG或MH＝MG，
当MH＝2MG时，
∵HL∥GK，
∴△MHL∽△MGK，
∴＝＝＝2，
∴HL＝2GK＝n，ML＝2MK＝n，
∴CL＝CM+ML＝n+n＝n，
∴H（n，2+n），
把点H的坐标代入y′的表达式，得：﹣×（n）2+×n+2＝2+n，
解得：n＝0（舍去）或n＝，
∴点H的横坐标为×＝；
当MH＝MG时，同理可得：H（n，2+n），
把点H的坐标代入y′的表达式，得：﹣×（n）2+×n+2＝2+n，
解得：n＝0（舍去）或n＝，
∴点H的横坐标为×＝；
综上，符合条件的点H的横坐标为或．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+b的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，已知B（6，﹣5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC，BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足MN＝3，连接CM，BN，当△ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值；
（3）当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线MC上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+b的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，
当x＝0时，得：y＝1，
∴A（0，1），
将点A（0，1），B（6，﹣5）分别代入y＝ax2+2x+b，得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）如图，过点C作CE∥y轴交直线AB于点E，设点C坐标为，
∴点E坐标为（t，﹣t+1），
∴，
∵A（0，1），B（6，﹣5），
∴，
∴当t＝3时，S△ABC有最大值，
此时，
将点B关于y轴的对称点B′，再向上平移3个单位得到B″（﹣6，﹣2），连接B′N、B″M，B″C，则BN＝B′N，
∵B′B″∥MN，B′B″＝MN，
∴B′B″MN是平行四边形，
∴B′N＝B″M，
∴BN＝B″M，
∴CM+MN+BN＝CM+MN+B″M≥B′C+MN，
即当点C、M、B″三点共线时，CM+MN+BN有最小值，
∵，
∴，
即CM+MN+BN最小值为；
（3）存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形；点Q的坐标为或．理由如下：
设直线B′C解析式为y＝kx+n，将点B′，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线B′C解析式为，
当x＝0时，得：y＝1，
∴M（0，1），
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
对于，当x＝2时，得：，
设Q（2，m）（m＞2），
当CM＝CQ时，依题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
当CM＝MQ时，依题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
当QM＝CQ时，依题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
综上所述，点Q的坐标为或．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴，y轴分别交A，B，C三点．其中A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，在线段BC上取点D、E，且D的横坐标比E的横坐标小1；过点D、E分别作y轴的平行线，交抛物线于P、Q两点．求PD+QE的最大值及此时点P的坐标；
（3）连接AC，若M是抛物线上一点，且∠MCB+∠ACO＝45°，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴，y轴分别交A，B，C三点．其中A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），将点A、点B、点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B的坐标代入，得：
4k+4＝0，
解得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设D（m，﹣m+4），则：E（m+1，﹣m+3），
∵过点D、E分别作y轴的平行线，交抛物线于P、Q两点，
∴，，
∴，，
∴
＝
＝，
∴当时，PD+QE的值最大为，此时，即；
（3）符合条件的点M的坐标为（6，﹣8）或．理由如下：
作点A关于y轴的对称点D，连接CD，则：CD＝AC，∠ACO＝∠DCO，D（2，0），
∵∠MCB+∠ACO＝45°，
∴∠MCB+∠DCO＝45°，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，BD＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BCD+∠DCO＝45°，
∴∠BCD＝∠BCM，
∴当点M在射线CD上时，满足题意，
同（2）法可得直线CD的解析式为y＝﹣2x+4，
联立得：，
解得：或，
∴M（6，﹣8）；
作BE⊥x轴于点B，且BE＝BD＝2（E在点B上方），连接CE，则E（4，2），∠CBE＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△BDC≌△BEC（SAS），
∴∠BCD＝∠ECB，
∴当点M在射线CE上时，也满足题意；
同法可得：直线CE的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴；
综上所述，M（6，﹣8）或．
17．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，对称轴交x轴于点E（﹣1，0）．
（1）求b的值；
（2）连接BC，P为二次函数图象上的一点，若∠PFE＝∠BCO，求点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，过点A作AC的垂线交二次函数图象于点M，连接MC，设直线MC的函数表达式为y＝kx+w．
①直接写出k的值；
②如图2，点P，Q均为二次函数图象上的一点（点P在第一象限的图象上），若∠PAB＝∠QAB，直线PQ是否平行于MC？请说明理由．
【解答】解：（1）∵对称轴交x轴于点E（﹣1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
∴b＝2；
（2）P为二次函数图象上的一点，若∠PFE＝∠BCO，如图1，连接BC，
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，得：x2+2x﹣3＝0时，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴B（1，0），
设直线BC解析式为y＝k′x+b′，将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝3x﹣3；
在y＝x2+2x﹣3中，
当x＝﹣1时，得：y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，
∴F（﹣1，﹣4）；
当点P在对称轴右侧时，设PF交y轴于H，
∵∠PFE＝∠BCO，EF∥OC，
∴∠PFE＝∠CHF＝∠BCO，
∴PF∥BC，
∴可设直线PF解析式为y＝3x+b″，
∴﹣4＝﹣3+b″，
∴b″＝﹣1，
∴直线PF解析式为y＝3x﹣1，
联立，
解得或，
∴此时点P的坐标为（2，5）；
由对称性可知，当点P在对称轴左侧时，此时点P与点（2，5）关于对称轴对称，
∴此时点P的坐标为（﹣1×2﹣2，5），即（﹣4，5），
综上所述，点P的坐标为（﹣4，5）或（2，5）；
（3）①k的值为1；理由如下：
设AM交y轴于T，如图2，
由（2）可得，A（﹣3，0），
∵C（0，﹣3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝OCA＝45°，
∵AM⊥AC，
∴∠CAM＝90°，
∴∠TAO＝∠TAC﹣∠OAC＝45°，
又∵∠AOT＝90°，
∴△AOT是等腰直角三角形，
∴OT＝OA＝3，
∴T（0，3），
∴，
∴；
②PQ∥MC；理由如下：
点P，Q均为二次函数图象上的一点（点P在第一象限的图象上），∠PAB＝∠QAB，如图3，设直线AP，AQ分别与x轴交于R、S，
在△ARO和△ASO中，
，
∴△ARO≌△ASO（ASA），
∴OR＝OS，
设直线AP解析式为y＝k1x+b1，直线AQ解析式为y＝k2x+b2，R（0，r），S（0，﹣r），
∴，，
∴，，
∴直线AP解析式为y＝k1x+3k1，直线AQ解析式为y＝﹣k1x﹣3k1；
联立，
整理得x2+（2﹣k1）x﹣3﹣3k1＝0，
∴xP＝﹣（2﹣k1）﹣（﹣3）＝k1+1，
∴，
∴；
同理可得；
由（3）①得直线AM解析式为y＝x+3，
联立，
解得或，
∴M（2，5），
同理可得直线CM解析式为y＝4x﹣3；
设直线PQ解析式为y＝ex+f，
∴，
解得，
∴直线PQ解析式为，
∴PQ∥MC．
18．已知抛物线y＝x2﹣4x+c，与x轴交于点A和点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为P．
（1）直接写出这条抛物线的解析式 y＝x2﹣4x+3　 和顶点P的坐标 　（2，﹣1）　 ；
（2）若点M在此抛物线上，MF⊥x轴于点F，MF与直线PQ相交于点E，设点M的横坐标为t（t＞3），且ME：EF＝2：1，求点M的坐标；
（3）在（2）的基础上，在直线AM上是否存在一点N，使直线PN与直线AM的夹角等于∠AMP的2倍．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）这条抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；顶点P的坐标为（2，﹣1）；理由如下：
已知抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为P，
当x＝0时，得：y＝c，
∴C（0，c），
∴OC＝c，
∴，
将点A的坐标代入y＝x2﹣4x+c得：
，
解得：c＝3或c＝0（不合题意，舍去），
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴P（2，﹣1），
故答案为：y＝x2﹣4x+3；（2，﹣1）；
（2）已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A和点B（A在B的左侧），
当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
设直线PB表达式为yPB＝kx+b，将点B，点P的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴yPB＝x﹣3，
设M（t，t2﹣4t+3），则E（t，t﹣3），
∵ME：EF＝2：1，
∴（t2﹣4t+3﹣t+3）：（t﹣3）＝2：1，
解得：t1＝4，t2＝3（不合题意，舍去），
∴M（4，3）；
（3）在直线AM上存在一点N，使直线PN与直线AM的夹角等于∠AMP的2倍；理由如下：
∵A（1，0），M（4，3），
∴同理可求yAM＝x﹣1，设N（m，m﹣1），
如图：当∠PN1A＝2∠AMP时，
∴∠AN1P＝2∠AMP＝∠AMP+∠N1PM，
∴∠AMP＝∠N1PM，
∴PN1＝MN1，
∴（m﹣2）2+（m﹣1+1）2＝（m﹣4）2+（m﹣1﹣3）2，
解得：，
∴；
②当∠PN2A＝2∠AMP时，
即∠AN1P＝∠AN2P，
∴PN2＝PN1，
∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴，
综上所述，存在点N的坐标为或．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5），抛物线的对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限且为对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交BC于点N，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝2，连接DN，AE．当MN＝4时，求点N的坐标及|AE﹣DN|的最大值；
（3）在（2）的条件下，将点M沿射线BC方向平移，点P为点M的对应点，点Q为抛物线对称轴上的一动点．若∠QBA＝∠PMO﹣45°，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k与y轴交于点C（0，5），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴y＝﹣（x﹣2）2+k，
把点C的坐标代入抛物线解析式得：
﹣（0﹣2）2+k＝5，
解得：k＝9，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9；
（2）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+9与x轴交于A，B两点，
当y＝0时，得：﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设M（t，﹣（t﹣2）2+9），则N（t，﹣t+5），
∴MN＝﹣（t﹣2）2+9﹣（﹣t+5）＝﹣t2+5t（0＜t＜5），
∵MN＝4，
∴﹣t2+5t＝4，
解得：t1＝1（舍去），t2＝4，
∴N（4，1），
将点B向上平移2个单位得到点H，连结DH，NH，如图1，
则H（5，2），HB＝DE，HB∥DE，
∴四边形BHDE是平行四边形，
∴DH＝PD＝AE，
当点D在HN的延长线上时，|AE﹣DN|＝|DH﹣DN|取最大值，最大值是NH的长，
此时，即最大值是；
（3）点Q的坐标为Q（2，）或．理由如下：
过点M作PM∥BC，交x轴于点S，
∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
∵PM∥BC，
∴∠PSO＝∠OBC＝45°，
∴∠BOM＝∠PMO﹣∠PSO＝∠PMO﹣45°，
∵∠QBA＝∠PMO﹣45°，
∴∠BOM＝∠QBA，
延长MN交x轴于点T，
则MT⊥x轴，
∴，
∵QF⊥BF，
∴，
∴，
解得，
∴点Q的坐标为Q（2，）或．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线AC上方．当△ACM面积最大时，求的最小值．
（3）将（1）中抛物线沿射线AC平移个单位长度得到新的抛物线y′，点K为新抛物线上一点，使得∠KAC+∠AEO＝45°．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3），将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
由题意得：点G在直线x＝2上，
设直线AC的解析式为y＝kx+n，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1，
如图，作MN∥y轴交AC于N，
设M（m，﹣m2+4m﹣3）（1＜m＜4），则N（m，﹣m+1），
∴MN＝﹣m2+4m﹣3﹣（﹣m+1）＝﹣m2+5m﹣4，
∴，
∵，
∴当时，△ACM的面积有最大值，为，此时，
作MH⊥AC交AC于H，交对称轴x＝2于G，交x轴于F，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+1，
∴∠FAH＝45°，
∴，
∴，
当M、G、F、H四点共线时，的值最小，
∵，△ACM的面积为，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）点K的横坐标为或或4或．理由如下：
∵y＝﹣（x﹣2）2+1，直线AC的解析式为y＝﹣x+1，
∴将抛物线沿射线AC平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线y′＝﹣（x﹣2﹣2）2+1﹣2＝﹣（x﹣4）2﹣1，
在y＝﹣x2+4x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，即E（0，﹣3），
当点K在AC上方时，如图，以AE为直角边，作等腰直角△AEP，作PQ⊥x轴于Q，作直线AP交抛物线y′于K，
，
则AE＝AP，∠EAP＝∠AOE＝∠PQA＝90°，
∴∠OAE+∠AEO＝∠OAE+∠QAP＝90°，
∴∠AEO＝∠QAP，
在△OAE和△QPA中，
，
∴△OAE≌△QPA（AAS），
∴QP＝OA＝1，AQ＝OE＝3，∠PAB＝∠AEO，
∴OQ＝OA+AQ＝4，
∴P（4，﹣1），
∵∠KAC+∠QAP＝∠QAC＝45°，
∴∠KAC+∠AEO＝45°，满足题意，
设直线AP的解析式为y＝sx+t，将点A，点P的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AP的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为4或；
如图3，当点K在AC的下方时，作点P关于直线AC的对称点R，作直线AR交抛物线y′于K1，
，
由轴对称的性质可得，∠KAC＝∠K1AC，AR＝AP，
此时∠K1AC+∠AEO＝45°，满足题意，
设R（p，q），则，
解得：或（不合题意，舍去），
∴R（2，﹣3），
同理可得直线AR的解析式为y＝﹣3x+3，
联立，
解得：或，
此时点K1的横坐标为或，
综上所述，点K的横坐标为或或4或．
21．如图，抛物线L：y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和点D，与y轴交于点C（0，1），顶点为A．
（1）求抛物线L的解析式和顶点A的坐标；
（2）将抛物线L上下平移，请问在平移后的抛物线L′上是否存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
【解答】解：（1）抛物线L：y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和点D，与y轴交于点C（0，1），将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴该抛物线L的解析式为＝，
∴顶点A的坐标为；
（2）在平移后的抛物线L′上存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形；理由如下：
∵将抛物线L上下平移，
∴，抛物线对称轴x＝﹣1，
∴设平移后解析式为，
过点B作BC的垂线并在垂线上取一点E，使得BE＝BC，记BC上方的点为E，下方的点为E′，连接CE，则△BCE为等腰直角三角形，
过点E作EF⊥x轴于点F，
则∠EFO＝∠EBC＝∠BOC＝90°，
∴∠CBO+∠EBF＝90°，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠EBF＝∠BCO，
∵BE＝BC，
∴△EFB≌△BOC（AAS），
∴EF＝OB＝3，BF＝OC＝1，
∴点E坐标为（﹣4，3），
把E（﹣4，3）代入得：，
解得：m＝6，
∴将抛物线L向上平移个单位；
同理可得点E′坐标为（﹣2，﹣3），
把E′（﹣2，﹣3）代入得：，
解得：，
∴将抛物线L向下平移个单位；
综上所述，将抛物线L向上平移个单位或向下平移4个单位，平移后的抛物线L′上存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形．
22．【综合探究】
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线BC，其中点A（﹣1，0），点C（0，﹣4）．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若，求此时点P的坐标；
（3）是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+过点A（﹣1，0），点C（0，﹣4），
∴，
解得：，
该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m﹣4），则F（m，0），E（m，m2﹣3m﹣4），
∴PE＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m，PF＝0﹣（m﹣4）＝4﹣m，
∵PE＝PF，
∴﹣m2+4m＝（4﹣m），
整理得：2m2﹣9m+4＝0，
解得：m1＝，m2＝4（舍去），
当m＝时，m﹣4＝﹣，
∴点P的坐标为（，﹣）；
（3）存在点P使得△CPE为等腰直角三角形；理由如下：
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴PF∥y轴，
∴∠OCB＝∠CPE＝45°；
当∠PEC＝90°时，PE＝CE＝OF，如图1，
∴PE＝﹣m2+4m＝OF＝m，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴此时P（3，﹣1）；
当∠PCE＝90°时，如图2，作CH⊥PE于点H，则有PE＝2CH＝2OF，
∴PE＝﹣m2+4m＝2OF＝2m，
解得：m1＝2，m2＝0（舍去），
∴此时P（2，﹣2）；
综上所述，点P的坐标为（3，﹣1）或（2，﹣2）．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣6），连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点BC重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若PF＝3PE，求m的值．
（3）在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣6），将点A，点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：
∴直线BC的解析式为y＝x﹣6；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，m﹣6）
∴F（m，0），（0＜m＜6），
∴PF＝﹣（m﹣6）＝6﹣m；，
∵PF＝3PE，
∴，
整理得：，
解得：或m＝6（不合题意，舍去），
∴；
（3）存在m使得△CPE为等腰直角三角形；m＝4或m＝2．理由如下：
由②知P（m，m﹣6），F（m，0），（0＜m＜6），
∵OC＝OB＝6，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
又∵PF⊥x轴，
∴∠PFB＝90°，∠FPB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CPE＝45°，
若△CPE是等腰直角三角形，分情况讨论：
①当∠CEP＝90°时，连接CE，如图1，
∴∠CPE＝∠PCE＝45°，
∵∠FBC＝45°，
∴∠PCE＝∠FBP，
∴CE∥x轴，
∴FE＝OC＝6
∴，
解得：m＝4或m＝0（不合题意，舍去）；
②当∠PCE＝90°时，如图，连接CE，则CP＝PE，作CK⊥PE于点K，
则，且CK∥x轴，
∴FK＝OC＝6，
∵，
∴，
∴，
∵FK＝OC＝6，
∴，
解得：m＝2或m＝0（不合题意，舍去），
综上所述，存在m使得△CPE为等腰直角三角形；m＝4或m＝2．
24．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），抛物线的图象经过点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点C（3，1），将点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．如图1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°．
又∵∠CAK+∠ACK＝90°，
∴∠BAO＝∠ACK．
在△BAO和△ACK中，
，
∴△BAO≌△ACK（AAS），
∴AO＝CK＝1，OB＝KA＝3﹣1＝2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，设D（m，2），
则，
解得m＝﹣3（不合题意，舍去）或．
由题意可得△ABC扫过区域的面积为平行四边形ABDE和△ABC的面积和，
即；
（3）在抛物线上存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形；理由如下：
当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．如图2，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB＝AB，∠PBA＝90°．
∴∠PBG+∠ABO＝90°．
又∵∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠ABO＝∠BPG．
在△ABO和△BPG中，
，
∴△BPG≌△ABO（AAS），
∴BO＝PG＝2，AO＝BG＝1，
∴P（﹣2，1）．
当x＝﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．如图3，
同理可知：△PAF≌△ABO（AAS），
∴FP＝AO＝1，AF＝BO＝2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上，
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为（﹣1，﹣1）．
25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）D为CO的中点，动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再到达抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E，F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（3）Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以Q为直角顶点的等腰直角三角形CQR？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，OC＝8
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
代入点C的坐标，得﹣8a＝8，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4），
即y＝﹣x2+2x+8；
（2）如图，作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI的长即为动点G所走过的最短路程．
∵OC＝8，D为CO的中点，
∴OD＝4，
∴D（0，4），
∴H（0，﹣4）．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴I（2，8）．
设直线HI的解析式为y＝kx+b，将点H，点I的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线HI的解析式为y＝6x﹣4．
当y＝0时，则0＝6x﹣4，
解得，
∴；
当x＝1时，则y＝6×1﹣4＝2，
∴F（1，2）．
点G走过的最短路程为：；
（3）存在以Q为直角顶点的等腰直角三角形CQR；理由如下：
设Q（a，﹣a2+2a+8）．
①如图2，当点Q在第二象限时，过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交LQ的延长线于点K，
∴∠CKQ＝∠QLR＝∠LOC＝90°，
∴四边形COLK是矩形，
∴CK＝OL．
∵△CQR是等腰直角三角形，且点Q为直角顶点，
∴CQ＝QR，∠CQR＝90°，
∴∠CQK+∠KCQ＝∠CQK+∠LQR＝90°，
∴∠KCQ＝∠LQR，
∴△KCQ≌△LQR（AAS），
∴CK＝QL，
∴QL＝OL．
∵Q（a，﹣a2+2a+8），
∴﹣a＝﹣a2+2a+8，
解得，（不符合题意，舍去），
∴
②如图3，当点Q在第一象限时，
同理可得a＝﹣a2+2a+8，
解得，（不符合题意，舍去），
∴．
综上所述，存在以点Q为直角顶点的等腰直角三角形CQR，点Q的坐标为，或．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，A（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求直线AC和抛物线的解析式．
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AM为腰的等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，A（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）．将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3；
（2）存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AM为腰的等腰三角形；理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线，
设M（﹣1，m），
∵A（﹣3，0），
∴AC2＝32+32＝18，AM2＝（﹣1+3）2+（m﹣0）2＝m2+4，
CM2＝（﹣1﹣0）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，
当AC＝AM时，
∴m2+4＝18，
解得：，
∴或；
当AM＝CM时，
∴m2+4＝m2﹣6m+10，
解得：m＝1，
∴M′（﹣1，1），
综上所述，点M坐标为或或（﹣1，1）．
27．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且△AOB的面积为6．
（1）求b，c；
（2）若点M为二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象第二象限内一点，求四边形AMBC的面积S的最大值；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），将点A的坐标代入得：c＝4，
∴OA＝4，
∵△AOB的面积为6，
∴，
∴OB＝3，
∴点B（﹣3，0），
二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴的负半轴交于点B，将点B的坐标代入二次函数表达式得：
0＝﹣9﹣3b+4，
解得；
（2）由（1）得抛物线的表达式为，
令y＝0，即，
解的x＝﹣3，或，
∴点，，
如图，过点M作MN⊥x轴于点N，
设点M的坐标为，
∴BN＝m﹣（﹣3）＝m+3，，ON＝0﹣m＝﹣m，，
∵S四边形AMBC＝S△BMN+S梯形AMNO+S△AOC，
∴＝
＝
＝
＝+，
∵，
∴当时，S最大值＝，
故四边形AMBC的面积S的最大值为；
（3）点P的坐标为（3，0）或（2，0）或（﹣8，0）或．理由如下：
设点P的坐标为（x，0），则AB2＝32+42＝25，AP2＝x2+16，BP2＝（x+3）2，
当AB＝AP时，即25＝x2+16，
解得x＝﹣3（舍去）或3，即点P的坐标为（3，0）；
当AB＝PB时，则25＝（x+3）2，
解得x＝2或﹣8，即点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0）；
当AP＝BP时，则x2+16＝（x+3）2，
解得，即点P的坐标为；
综上，点P的坐标为（3，0）或（2，0）或（﹣8，0）或．
28．【问题背景】
如图1，已知抛物线经过三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点P的坐标，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E，F两点，当△CEF为等腰三角形时，直接写出CE的长．
【解答】解：（1）已知抛物线经过三点．设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，（a，b，c为常数，a≠0）将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，有三种情况，
∵A（﹣3，0），，C（0，4），以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，
∴P1C∥AB，P1C＝AB，P2C∥AB，P2C＝AB，P3B∥AC，P3C＝AC，，
∴点P1在C点的左边距离为AB处，坐标为，
点P2在C点的右边距离为AB处，坐标为，
点P3与P2的连线的中点是B点，坐标为．
（3）CE的长为或或或16．理由如下：
分类讨论：①当CE＝CF，点F在点C的左侧时，过点F作FG⊥CE于点G，如图2，
则FG∥AO，
∴△CFG∽△CAO，△FGE∽△DOE，
∴FG：CG：CF＝OA：OC：AC，，
∵OA＝3，OC＝4，
∴，
∴FG：CG：CF＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝CF＝5m，
∴GE＝m，OE＝OC﹣CE＝4﹣5m，
∵点D（4，0），
∴DO＝4，
∴，
解得：m＝0（舍去）或，
∴；
当CE＝CF，点F在点C右侧时，如图3，过点F作FG⊥y轴于点G，
则FG∥x轴，
∴△CFG∽△CAO，△FGE∽△DOE，
∴FG：CG：CF＝OA：OC：AC，，
∵OA＝3，OC＝4，
在直角三角形AOC中，由勾股定理得：，
∴FG：CG：CF＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝CF＝5m，
∴GE＝9m，OE＝CE﹣OC＝5m﹣4，
∴，
解得：m＝0（舍去）或；
②如图4，当CE＝EF时，过点A作AG∥EF交y轴于点G，则AG＝CG，
设OG＝m，则AG＝CG＝4﹣m，
∵OA2+OG2＝AG2，
∴32+m2＝（4﹣m）2，
解得：，
∴，
设直线AG的关系式为y＝kx+b，将点A，点G的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AG的关系式为，
设直线DF的关系式为，
∴，
解得：，
∴直线DF的关系式为，
∴，
∴，
③如图5，当CF＝EF时，过点C作CG∥DE交x轴于点G，则∠GCO＝∠OED＝∠ECF＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠COG，CO＝CO，
∴△AOC≌△GOC，
∴OG＝OA＝3，
∴G（3，0），
设直线CG的关系式为y＝mx+n，将点C，点G的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线CG的关系式为，
设直线DE的关系式为，
∵D（4，0），
∴，
解得：，
∴直线DE的关系式为，
∴，
∴．
综上所述，CE的长为或或或16．
29．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点P是抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴于点E，PE交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①如图2，若点P在第一象限内抛物线上运动，连接AP，交直线BC于点F，记△ADF的面积为S1，△CFP的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
②抛物线的对称轴交直线BC于点Q，连接PQ，是否存在点P使△PQD是以点P为顶角顶点的等腰三角形，若存在，请直接写出m的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
当y＝0时，得：，
解得：x1＝﹣2，x2＝8；
当x＝0时，得：y＝4，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）；
（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
∵过P作PE⊥x轴于点E，PE交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
∴点P的坐标为，点D的坐标为，OE＝m，
∵A（﹣2，0），
∴AE＝m+2，
∴，
∵记△ADF的面积为S1，△CFP的面积为S2，
∴S1﹣S2＝S△ADF﹣S△CFP
＝S△ADP﹣S△CDP
＝
＝
＝，
∵，
∴开口向上，在对称轴为直线时，S1﹣S2有最大值，
把m＝4代入，得：
，
即S1﹣S2的最大值为4；
②存在点P使△PQD是以点P为顶角顶点的等腰三角形；m的值为或．理由如下：
∵A（﹣2，0），B（8，0），且抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
∴对称轴为，
∵抛物线的对称轴交直线BC于点Q，
∴把x＝3代入，得，
∴，
∵点P使△PQD是以点P为顶角顶点的等腰三角形，
∴PQ＝PD，
∴PQ2＝PD2，
∵点P的坐标为，点D的坐标为，
∴．
整理得：m2﹣3m﹣15＝0，
∴Δ＝（﹣3）2+4×1×15＝69，
解得：，
综上所述，存在点P使△PQD是以点P为顶角顶点的等腰三角形；m的值为或．
30．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC，BC．点M是该抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，若点M在第一象限，点N在MA的延长线上，当∠NAC﹣∠ABC＝45°时，求点M的坐标；
（3）如图2，若点M在第四象限，直线AM与BC交于点D，过点M作ME⊥x轴交BC于点E，当△DEM是等腰三角形时，求线

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