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曾都一中2025年秋高二年级9月月考数学试题
范围（人教A版必修2概率与选择性必修空间向量与立体几何） 2025-9-16-18:30---20:30
一、单选题：共8小题，每题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.已知为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
A. B.
C. D.
522 553 135 354 313 531 423 521 541 142
125 323 345 131 332 515 324 132 255 325
2.某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.已知三棱锥中，点M为棱的中点，点G为的重心，设，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
4.从2023年6月开始，某省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（ ）
A． B． C． D．
6. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，CD=，则这个二面角的度数为（ ）
A. 120° B. 30 C. 60° D.
7．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
8.在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 已知两个向量，，且，则
C. 若，则四点共面
D.若，则不一定是钝角.
10.分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现点数为奇数”，事件“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．事件A与B互斥
D．事件A与B相互独立
11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为
C. 在线段上存在点，使得平面
D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
填空题（本题共4小题，每小题5分，共15分
设，向量，，，且，，则等于 ．
已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 ．
14．已知正方体的棱长为，分别是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 .
四 解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 2021年是中国共产党成立100周年，中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史．某社区为了解居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的试卷份数是24．
（1）求，的值；
（2）用分层抽样的方法在成绩为和这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评，求分数在恰有1份的概率．
16.如图，在平行六面体中，，，，是的中点，设， ，.
(1) 求AE的长；
(2) 求异面直线与所成的角的余弦值.
17. 如图，在长方体中，.
(1)求A到直线的距离.
(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
18.我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战4.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过4.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C.
(1) 求、、；
(2) 求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率.
19.如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由.曾都一中2025年秋高二年级9月月考数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B A D B C A D ABD AD ABD
12. 答案3 13. 14.
15.解：（1）由于其中成绩在的学生人数为24，又在间的频率为0.12，
∴．
又概率和为1，∴．……………5分
（2）∵，∴第四组的频数：；
第五组的频数：；
用分层抽样的方法抽取5份试卷得：
第四组抽取：；第五组抽取：．
记抽到第四组的三份试卷为，，，抽到第五组的两份试卷为，；则从5份试卷中任取2份的基本事件有：，，，
，，，，，，，共10种．
其中分数在恰有1份有：，，，，，，共6种．∴所求概率：．…………………….13分
16.解：(1) 根据向量的三角形法则得到…… 3分
................6分
(2) ……………7分
……………11分
………… 13分
…………… 15分
17. 解：由题可以为原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
则.
，(1) .................5分
（2）设线段上存在点，使得平面，
设，
所以，。。。。。。。。8分
设平面的法向量为，
则，所以，取，则，
所以平面的一个法向量为，。。。。。。。。。。。11分
令，解得，。。。。。。。。14分
所以当为线段的中点时，平面.。。。。。。。。15分
18. 解：(1)记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2. ………1分
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C
，……3分
，………5分 .
，……7分
甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、；……8分
(2)记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D，
………12分
.
故甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率……17分
19. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得，
又平面平面，平面平面，面ABC，
则平面，又平面，于是，而，则，
又，平面，因此平面，又平面，
所以.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高，
由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为，
设点到平面的距离为d，由，得，
而，，则的面积，
由，，得，又，，则，
又，，由余弦定理得，
则，的面积，
则，即 ，所以点到平面的距离为.。。。。。。。。。。。。。。9分
（3）

取的中点为，连接，
因为四边形是菱形，且，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
，即，
如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
设，，
所以，可得，
，。。。。。。。。。。。。。。。11分
设平面的法向量为，
则，
可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
，
设平面的法向量为，
则，
可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
使得平面平面，
则，解得，
故上存在一点，当时，平面平面.。。。。。。。。。。。。。17分

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