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【填空题强化训练·50道必刷题】九年级上册第1章 二次函数
1．若抛物线 经过点（2，8），则a=　 　．
2．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平(第15题图)y/mt距离x(单位：m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4)，则铅球推出的距离OA=　 　m.
3．二次函数的最小值为　 　．
4．已知函数 是二次函数，则m＝　 　.
5．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（A在的左侧)，点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是　 　
6．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格：
… …
… …
下列五个结论：①点在该函数图象上；②该函数图象在轴的下方；③该函数图象有最高点；④若和是该函数图象上两点，则；⑤若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数表达式是．其中正确的结论是　 　．（填写序号）
7．已知二次函数 自变量x的部分取值和对应函数值y如表：
则在实数范围内能使得 成立的x取值范围是　 　.
8．把二次函数化为的形式为　 　.
9．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝　 　.
10．抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为　 　
11．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　 　元.
12．蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为　 　．
13．若二次函数的图象上三点、、，则，，的大小关系是　 　．
14．已知二次函数 图像的对称轴为直线 ，则 　 　 ．（填“＞”或“＜”）
15．已知函数y= (m+3)x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为　 　.
16．抛物线开口方向是 　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣2），（6，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C，D两点，设点C，D的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，若x1是﹣1，则x2的最大值是 　 　．
18．已知A（x1，2021），B（x2，2021)，x1≠x2是二次函数y＝ax2＋bx－5的图象上的两点，则当x＝x1＋x2时，二次函数的值为　 　．
19．如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为　 　．
20．小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：
　 　
21．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 　 　米才能停下来.
22．抛物线的顶点坐标为　 　．
23．二次函数的图象经过原点，则a的值为　 　．
24．若方程 的两个根是 和 ，那么二次函数 的图象的对称轴是直线 　 　
25．将抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 　 　．
26．当k－2≤x≤k时，函数y＝x2－4x＋4（k为常数）的最小值为4，则k的值是　 　．
27．已知抛物线y＝x2﹣2x的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3按从小到大排列为 　 　.
28．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件，若将每件商品售价定为元，日销售量设为件当为　 　时，每天的销售利润最大，最大利润是　 　．
29．已知抛物线 经过 ， 两点．若 ， 是抛物线上的两点，且 ，则 的取值范围是　 　．
30．将抛物线 向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为　 　；
31．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的.正常水位时，大孔水面宽度为 ，顶点距水面 ，小孔顶点距水面 .当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　 　 .
32．抛物线 过A(-1，y1)、B(2，y2)、C(5，y3)三点，则将y1、y2、y3从小到大顺序排列是　 　.
33．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为　 　m．
34．抛物线y=ax2+bx 3过点(2，4)，代数式8a+4b+1的值为　 　.
35．已知二次函数y＝3（x-3）（x+2），则该函数对称轴为直线 　 　．
36．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为　 　．
37． 点，为抛物线上两点，则　 　.（用“＜”或“＞”号连接）
38．二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　 　
39．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x＝﹣ .下列结论中：
①abc＞0；②a+b＝0；③2b+c＞0；④4a+c＜2b.
正确的有　 　（只要求填写正确命题的序号）
40．若抛物线y＝（a－1）x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是　 　．
41．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是　 　（用“<”连接）．
42．抛物线y=2（x+3）（x-1）图象与y轴交点是　 　
．
43．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为 且经过点(2，0).下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 是抛物线上的两个点，则 b)+c(其中 正确的序号是　 　.
44．如图.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线与y轴相交于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线.给出以下4个结论：
①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点，在抛物线上，满足且，则一定有.
其中，所有正确结论的序号为　 　.
45．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点位于两点之间，其对称轴为．下列结论∶①；②；③两点在抛物线上，则；④ 若为方程的两个根，且，则．其中结论一定正确的是　 　．（填写序号）
46．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则M2016顶点的坐标为　 　．
47．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 ，点C在 与 之间 不包括这两点 ，抛物线的顶点为D，对称轴为直线 有以下结论：
① ；
②
③ 若点 ，点 是函数图象上的两点，则 ；
④ ；⑤ 可以是等腰直角三角形．
其中正确的结论序号为　 　．
48．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc<0；②当－10；③a－b＋c<0；④3a＋c<0.其中正确的是　 　(填序号)．
　
49．数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（ ，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣ c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣ ．其中正确的有　 　（请将结论正确的序号全部填上）
50．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是　 　．
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【填空题强化训练·50道必刷题】九年级上册第1章 二次函数
1．若抛物线 经过点（2，8），则a=　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：将点（2，8）代入y＝ax2，
得4a＝8，
解得a＝2，
故答案为：2．
【分析】将点的坐标代入，利用待定系数法求解即可。
2．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平(第15题图)y/mt距离x(单位：m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4)，则铅球推出的距离OA=　 　m.
【答案】10
【解析】【解答】解：根据题意可知，点A的纵坐标为0；
将y=0代入二次函数，可得 -(x-10)(x+4) =0；
解得x=10或-4；
由题意可知，x>0，可知x=10；
∴OA=10m
故答案为：10.
【分析】根据二次函数的性质，当函数与坐标轴有交点时，若与x轴相交，则纵坐标为0；当与y轴相交时，则横坐标为0，据此解题即可.
3．二次函数的最小值为　 　．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-2），
∴二次函数的最小值为-2.
故答案为：-2.
【分析】根据二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-2），得出抛物线顶点的纵坐标即是二次函数的最小值，即可得出答案.
4．已知函数 是二次函数，则m＝　 　.
【答案】-1
【解析】【解答】解：依题意得：m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1.
故答案为：﹣1.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此可得m2+1＝2且m-1≠0，求解即可.
5．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（A在的左侧)，点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：在抛物线中，当时，，当时，解得，，
，，，
抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴的对称点为点，
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，如图所示：
，
由轴对称的性质可得：，，
当、、在同一直线上时，最小，此时，
，，
，的最小值为.
故答案为：．
【分析】由题意先求出，，，再作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，，当、、在同一直线上时，最小，最后根据勾股定理可得，从而可得的最小值．
6．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格：
… …
… …
下列五个结论：①点在该函数图象上；②该函数图象在轴的下方；③该函数图象有最高点；④若和是该函数图象上两点，则；⑤若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数表达式是．其中正确的结论是　 　．（填写序号）
【答案】①③⑤
【解析】【解答】解：当时，，
∴点在该函数图象上，故结论正确；
∵，
∴该函数图象在轴上方，故结论错误；
∵，
∴，
∴，
∴该函数图象有最高点，故结论正确；
由图象可得，
图象关于对称，且当时，取最大值，
∵，
∴，故结论错误；
∵将该函数图象向左平移个单位长度，∴平移后的图象的函数解析式是，故结论正确；
∴正确的结论是，
故答案为：．
【分析】根据函数的图象及性质逐一分析即可求解．
7．已知二次函数 自变量x的部分取值和对应函数值y如表：
则在实数范围内能使得 成立的x取值范围是　 　.
【答案】 或
【解析】【解答】解：由表格可知，
该二次函数的对称轴是直线 ，函数图象开口向上，
故y-3＞0成立的x的取值范围是x＜-1或x＞3，
故答案为：x＜-1或x＞3.
【分析】根据表格给出的数据得出抛物线的对称轴是直线x=1，开口向上，再根据抛物线的性质得出当x＜-1或x＞3时，y＞3，即可得出答案.
8．把二次函数化为的形式为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：y=-2x2-4x+1=-2(x2+2x+1-1)+1=-2(x+1)2+3，
故答案为：y=-2(x+1)2+3.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解.
9．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝　 　.
【答案】10
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10.
故答案为：10.
【分析】首先将二次函数的解析式配成顶点式，根据该函数的开口向上，故图象上的点离对称轴的水平距离越大，函数值就越大，从而即可解决问题.
10．抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为　 　
【答案】（2，-5）
【解析】【解答】抛物线的对称轴是直线
即抛物线解析式为
当时，
它的顶点坐标为（2，-5）
【分析】根据二次函数的对称轴可得，求出b的值，可得，再将x=2代入求出y的值，即可得到顶点坐标。
11．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　 　元.
【答案】70
【解析】【解答】解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70.
【分析】设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价.
12．蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为　 　．
【答案】41
【解析】【解答】解：根据题意，当，代入，
得
∴中间大桥洞最高点对应的值为
把代入，
解得：，
则中间大桥洞的宽度为，
设大圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆心到弦的距离为
∴
又∵
∴
解得：
综上，大圆弧所在圆的半径为
故答案为：41．
【分析】首先把x=0代入算出y=36，即桥面的最高点，结合每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4mm，从而得出中间大桥洞最高点对应的y的值为32， 把代入，计算得到中间大桥洞的宽度，设大圆弧所在圆的圆心为O，半径为R，圆心O到弦的距离为d，再根据勾股定理得到，计算即可求出．
13．若二次函数的图象上三点、、，则，，的大小关系是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵二次函数，a=-1＜0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴是直线x=-2，
∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，且点与对称，
∵，
∴ ，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出二次函数图象开口向下，对称轴是直线x=-2，再求出当x＞-2时，y随x的增大而减小，且点与对称，最后比较大小求解即可。
14．已知二次函数 图像的对称轴为直线 ，则 　 　 ．（填“＞”或“＜”）
【答案】>
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，
∴ > ，
故答案为：＞．
【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．
15．已知函数y= (m+3)x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为　 　.
【答案】m=﹣1或m=﹣3
【解析】【解答】解：∵函数 的图象与x轴只有一个公共点，
∴ 或 ，
解得：m=﹣1或m=﹣3.
故答案为：m=﹣1或m=﹣3.
【分析】当此函数为二次函数且判别式等于0时或当此函数为一次函数时，其图象与x轴只有一个公共点，据此可求出m值.
16．抛物线开口方向是 　 　．
【答案】向下
【解析】【解答】解：∵抛物线，a＝﹣3＜0，
∴该抛物线的开口向下，
故答案为：向下．
【分析】观察函数解析式，可知a＜0，可得到抛物线的开口向下.
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣2），（6，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C，D两点，设点C，D的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，若x1是﹣1，则x2的最大值是 　 　．
【答案】13
【解析】【解答】解：由y= ax2+ bx+ c(a≠0)的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C， D两点，
当顶点P与B点重合时，x2取得最大值，
根据题意知B (6， -2)是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x= 6，
∵x1= -1，
∴6-(- 1)= x2 -(- 1)，
解得 x2=13，
即x2的最大值为13.
故答案为：13.
【分析】根据y= ax2+ bx+ c(a≠0)的顶点P在线段AB上，得出当顶点P与B点重合时，x2取得最大值，利用二次函数的对称性建立方程求解，即可解答.
18．已知A（x1，2021），B（x2，2021)，x1≠x2是二次函数y＝ax2＋bx－5的图象上的两点，则当x＝x1＋x2时，二次函数的值为　 　．
【答案】-5
【解析】【解答】解：∵A（x1，2021），B（x2，2021）是二次函数y=ax2+bx-5（a≠0）的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴x=-对称，
∴x=x1+x2=-，
∴a（-）2+b（-）-5=-5；
故答案为：-5．
【分析】根据二次函数图象上的坐标特点得出A、B关于对称轴x=-对称，然后把x=-代入函数式求函数值，即可解答.
19．如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为　 　．
【答案】32
【解析】【解答】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
由矩形的面积公式，可得围栏的面积，
结合二次函数的性质得，当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，得到平行于墙的一边长为米，根据矩形的面积公式，列出函数关系式，结合二次函数的配方法，即可求解.
20．小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：
　 　
【答案】(答案不唯一)
【解析】【解答】当抛物线经过原点且顶点不在原点，抛物线与坐标轴有2个交点，
若
故答案为： (答案不唯一).
【分析】当顶点在x轴上 (原点除外)或抛物线经过原点且顶点不在原点时，抛物线与坐标轴有2个交点，然后此条件写出二次函数解析式即可.
21．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 　 　米才能停下来.
【答案】600
【解析】【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2=，
∴当t=20时，s有最大值600.
故答案为：600.
【分析】首先将二次函数解析式化为顶点式，然后结合二次函数的性质进行解答.
22．抛物线的顶点坐标为　 　．
【答案】（2，-3）
【解析】【解答】解：
顶点坐标为（2，-3）
故答案为：（2，-3）
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求出顶点坐标即可。
23．二次函数的图象经过原点，则a的值为　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴ ，
解得： ．
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的图象经过原点求出，再解方程即可。
24．若方程 的两个根是 和 ，那么二次函数 的图象的对称轴是直线 　 　
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（-3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x= =-1．
故答案为：-1．
【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论。
25．将抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后，
函数的表达式为：，
故答案为：．
【分析】根据 抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 求函数解析式即可。
26．当k－2≤x≤k时，函数y＝x2－4x＋4（k为常数）的最小值为4，则k的值是　 　．
【答案】0或6
【解析】【解答】∵y=x2-4x+4=（x-2）2
∴顶点坐标为（2，0）
∴当k≤2时，x=k时，函数y=x2-4x+4的最小值为4
故k2-4k+4=4
解得k=0或k=4(舍去)
当k-2≥2时，x= k-2时，函数y=x2-4x+4的最小值为4
故（k-2）2-4（k-2）+4=4
解得k=6或k=2(舍去)
故答案为：6或0．
【分析】结合二次函数的顶点和图像分两种情况确定列出不等式求出k的取值范围.
27．已知抛物线y＝x2﹣2x的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3按从小到大排列为 　 　.
【答案】y2＜y1＜y3
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3.
【分析】将二次函数的解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可证得在对称轴的右侧y随x的增大而增大；再求出A点关于直线x＝1的对称点是D的坐标，可得到y1，y2，y3的大小关系.
28．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件，若将每件商品售价定为元，日销售量设为件当为　 　时，每天的销售利润最大，最大利润是　 　．
【答案】55；450元
【解析】【解答】解：由题意得每件商品售价定为x元，日销售量设为y件，设利润为，
∵成本价为40元，按每件60元销售，每天可卖出20件，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，
∴销售量，
∴，
∵，
∴二次函数开口向下，有最大值，
即当时，，
故答案为：元
【分析】先根据题意得到每件商品售价定为x元，日销售量设为y件，设利润为，进而结合“成本价为40元，按每件60元销售，每天可卖出20件，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件”即可得到销售量，从而得到，再根据二次函数的最值结合题意即可求解。
29．已知抛物线 经过 ， 两点．若 ， 是抛物线上的两点，且 ，则 的取值范围是　 　．
【答案】1＜m＜5
【解析】【解答】∵抛物线 经过 ， 两点，
∴ ，
解得b=-6a，
∴抛物线的对称轴为直线x= =3，
∴ 的对称点为 ，
∵ ，
∴ ，
故填1＜m＜5.
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=-1，即可求得点关于直线x=-1的对称点为，根据点的坐标特征即可得出答案。
30．将抛物线 向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为　 　；
【答案】4
【解析】【解答】抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4+a，即
∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，
∴△
解得
故答案为：4．
【分析】先求出△ ，再计算求解即可。
31．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的.正常水位时，大孔水面宽度为 ，顶点距水面 ，小孔顶点距水面 .当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　 　 .
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为(0，6)，A点坐标为( 10，0)，B点坐标为(10，0)，
设中间大抛物线的函数式为y= ax2+bx+c，
代入三点的坐标得到 ，
解得 .
∴函数式为y= x2+6.
∵NC=4.5米，
∴令y=4.5米，
代入解析式得x1=5，x2= 5，
∴可得EF=5 ( 5)=10米。
故答案为：10.
【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为(0，6)，A点坐标为( 10，0)，B点坐标为(10，0)，利用待定系数法求出中间大抛物线的解析式，根据题意点e，f的纵坐标都是4.5，故将y=4.5代入所求的函数解析式即可算出对应的自变量的值，即求出点e，f的横坐标的值，从而即可算出EF的长。
32．抛物线 过A(-1，y1)、B(2，y2)、C(5，y3)三点，则将y1、y2、y3从小到大顺序排列是　 　.
【答案】y2＜y3＜y1
【解析】【解答】解：y=x2-6x+c=（x-3）2+c-9
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=3，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，
这三点离对称轴由远到近为
∵ A(-1，y1)、 C(5，y3) ，B(2，y2)、
∴y2＜y3＜y1.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得到抛物线的开口方向及对称轴，y随x的变化情况，再根据a＞0时离对称轴的距离越远，则y的值越大，由这三点离对称轴由远到近，可得到y1、y2、y3的大小关系。
33．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为　 　m．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A（5，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：y＝ax2+5，
把A（5，0）代入，得a＝﹣ ，
所以抛物线解析式为：y＝﹣ x2+5，
当x＝3时，y＝ ，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为 m．
故答案为 ．
【分析】先建立适当的平面直角坐标系，然后根据题意确定函数解析式，最后求解即可.
34．抛物线y=ax2+bx 3过点(2，4)，代数式8a+4b+1的值为　 　.
【答案】15
【解析】【解答】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得4a+2b-3=4，
整理得8a+4b=14，
可得8a+4b+1=14+1=15，
故答案为：15.
【分析】将点（2，4）代入抛物线的解析式得出4a+2b-3=4，得出8a+4b=14，再代入原式进行计算，即可得出答案.
35．已知二次函数y＝3（x-3）（x+2），则该函数对称轴为直线 　 　．
【答案】x＝
【解析】【解答】解：y＝3（x-3）（x+2）=3（x2-x-6）=3（x-）2-，
∴抛物线的对称轴为直线x=.
故答案为：x=
【分析】利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴.
36．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为　 　．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：10．
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题.根据抛物线与轴有且只有一个交点，可得一元二次方程，据此可列出方程，解方程可求出的值．
37． 点，为抛物线上两点，则　 　.（用“＜”或“＞”号连接）
【答案】＜
【解析】【解答】 抛物线的对称轴为直线
的对称点为 ，
-1<0，1<3<4，
<.
【分析】根据二次函数的对称性将两个点化在对称轴的同一侧，再根据二次函数的性质即可得出结论.
38．二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　 　
【答案】(1+，3)或(2，-3)
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，
∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2-2x-3，
∴x=1±或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＞0，
∴x=1+或x=2
∴C（1+，3）或（2，-3）
故答案为：（1+，3）或（2，-3）
【分析】先求出x=1±或0或2，再求出x=1+或x=2，最后求点的坐标即可。
39．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x＝﹣ .下列结论中：
①abc＞0；②a+b＝0；③2b+c＞0；④4a+c＜2b.
正确的有　 　（只要求填写正确命题的序号）
【答案】④
【解析】【解答】解：①∵开口向上，∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∵对称轴在y轴左侧，∴x＝﹣ ＜0，∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴：x＝﹣ ＝﹣ ，∴a＝b＞0，
∴a+b＞0，故②错误；
③当x＝1时，a+b+c＝2b+c＜0，故③错误；
④∵对称轴为x＝﹣ ，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，
∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，
即4a+c＜2b，故④正确.
故答案为④.
【分析】①根据二次函数的图象与系数之间的关系可得：由图知，抛物线的开口向上，于是a＞0；抛物线交在y轴的负半轴可得c＜0；由抛物线的对称轴在y轴的左侧可得a、b同号，于是b＞0，则abc＜0；
②由图知，对称轴x=-=-，整理得a=b＞0，则a+b＞0；
③由图知，当x＝1时，a+b+c＝2b+c＜0；
④由图知，对称轴x=-=-，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，于是可得与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，则当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，整理可求解.
40．若抛物线y＝（a－1）x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是　 　．
【答案】0
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有交点
∴，
解得：，
∴a的最大整数值是0，
故答案为：0．
【分析】根据抛物线y=（a-1）x2-2x+3与x轴有交点得出，，依此分别列式求出a的范围，取其最大值即可.
41．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是　 　（用“<”连接）．
【答案】
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为：x=，
∵在 抛物线 中，a=1＞0，
∴当x≤2时，y随x的增大而减小，
∵2＞-1＞-3，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：y1＜y3＜y2.
【分析】首先求得抛物线的对称轴x=2，然后根据二次函数的性质得出当x≤2时，y随x的增大而减小，即可得出y1＜y3＜y2.
42．抛物线y=2（x+3）（x-1）图象与y轴交点是　 　
．
【答案】（0，-6）
【解析】【解答】由y=2（x+3）（x-1），令 ， ，
抛物线y=2（x+3）（x-1）图象与y轴交点是（0，-6），
故答案为：（0，-6）．
【分析】将x=0代入函数表达式即可求出答案。
43．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为 且经过点(2，0).下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 是抛物线上的两个点，则 b)+c(其中 正确的序号是　 　.
【答案】①②⑤
【解析】【解答】解：开口向下，∴a<0，
对称轴在y轴右侧，∴b>0，
图像与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，
∴abc<0，
故①正确；
轴为则a=-b，
将（2，0）代入表达式，得4a+2b+c=0，
结合a=-b，∴-2b+c=0，
故②正确，③错误；
则y1>y2，
故④错误；
对于⑤，当 时， ymax=
故⑤正确；
故答案为：①②⑤
【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x＝，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b=-a；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0=4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，可知当x＝时，y有最大值.
44．如图.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线与y轴相交于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线.给出以下4个结论：
①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点，在抛物线上，满足且，则一定有.
其中，所有正确结论的序号为　 　.
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴即b=2a
∴当x=-1时y的值最小即y=a-b+c
∴am2+bm+c≥a-b+c，
∵抛物线与y轴相交于点A(0，2) ，
∴c=2，
∴am2+bm+c+a≥a-b+c+a=2a-b+c=c=2
∴ 对于任意实数m，的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，
∴OP=O'P，点O'（-2，0）
∴OP+AP=O'P+AP=O'A，
∵两点之间线段最短，
∴此时OP+AP的最小值就是O'A的长，
∴故③正确；
故答案为：.
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，在抛物线上，满足且，
∴点（x2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，故④正确，
∴正确结论的序号为②③④.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，可确定出a、b、c的取值范围，由此可得abc的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=2a，再利用二次函数的最值可推出am2+bm+c+a≥2，可对②作出判断；作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，可证得OP=O'P，同时可得到点O'的坐标，可推出OP+AP=O'A，利用两点之间线段最短，可知此时OP+AP的最小值就是O'A的长，利用勾股定理求出O'A的长，可对③作出判断；利用二次函数的性质可知抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，结合已知可得到点（x2，y2）离对称轴远，据此可得到y1、y2的大小关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
45．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点位于两点之间，其对称轴为．下列结论∶①；②；③两点在抛物线上，则；④ 若为方程的两个根，且，则．其中结论一定正确的是　 　．（填写序号）
【答案】①④
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点位于两点之间，
∴抛物线与轴的另外一个交点位于两点之间，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故②错误；
∵两点在抛物线上，
∴，，
∴
当，即时，，
此时，，
当，即时，，
此时，，
当，即时，，
此时，，
故③错误；
如图，
抛物线与直线交点的横坐标为，，
∵抛物线与轴的一个交点位于两点之间，
∴抛物线与轴的另外一个交点位于两点之间，
∴，故④正确，
∴正确的有①④，
故答案为：①④.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）逐项分析判断即可.
46．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则M2016顶点的坐标为　 　．
【答案】（4031，4031）
【解析】【解答】解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点，
抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，
得x2＝（x﹣a1）2+a1，
即2a1x＝a12+a1，
x＝ （a1+1）．
∵x为整数点
∴a1＝1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y＝x2与y2相交于A2，
x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，
∴2a2x＝a22+a2，
x＝ （a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2＝3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y＝x2与y3相交于A3，
x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x＝a32+a3，
x＝ （a3+1）．
∵x为整数点
∴a3＝5，M3（5，5），
∴点M2016的坐标为：2016×2﹣1＝4031，
∴M2016（4031，4031），
故答案是：（4031，4031）．
【分析】分别求出M1、M2、M3的坐标，利用它们可发现规律，根据规律，可得答案.
47．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 ，点C在 与 之间 不包括这两点 ，抛物线的顶点为D，对称轴为直线 有以下结论：
① ；
②
③ 若点 ，点 是函数图象上的两点，则 ；
④ ；⑤ 可以是等腰直角三角形．
其中正确的结论序号为　 　．
【答案】②③④
【解析】【解答】解：①函数开口向下，a＜0，
对称轴在y轴右侧，b＞0，
函数与y轴交于正半轴，c＞0，
故abc＜0，①不符合题意；
②观察图象可知：当x=-1时，y＜0，
故a-b+c＜0，②符合题意；
③∵ ，
故N点更靠近对称轴，
∴ ，③符合题意；
④由题意易得： ，
解得： ，④符合题意；
⑤∵抛物线的顶点为D，对称轴为直线 ，
∴点A和点B关于直线 对称，点D在直线 上，
∴AB=6，DA=DB，
∴ 为等腰三角形，
如果 为等腰直角三角形，
则D到AB的距离等于 ，
即D（2，3），
则 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
当x=0时，y= ，与点C在 与 之间矛盾，⑤不符合题意；
故答案为：②③④．
【分析】利用二次函数的图形判断出a、b、c的正负，再结合函数图象及性质逐项判断求解即可。
48．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc<0；②当－10；③a－b＋c<0；④3a＋c<0.其中正确的是　 　(填序号)．
　
【答案】①③④
【解析】【解答】解：根据图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①符合题意，
当-1＜x＜3时图象在x轴的上方，且有的点在x轴的下方，故②不符合题意，
当x=-1时，y=a-b+c一定在x轴的下方，因而a-b+c＜0，故③符合题意，
根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1，即 ，则b=-2a．那么当x=-1时，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c＜0，故④符合题意.
故答案为①③④．
【分析】先通过二次函数图象求出a、b、c的正负，再结合函数图象及性质逐项判定即可。
49．数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（ ，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣ c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣ ．其中正确的有　 　（请将结论正确的序号全部填上）
【答案】①③
【解析】【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x=﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（ ，y2），
﹣1﹣（﹣5）=4， ﹣（﹣1）=3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（ ，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵﹣ =﹣1，
∴b=2a，
当x=1时，y=0，即a+b+c=0，
3a+c=0，
a=﹣ c；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵BO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c= ，
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣ ；
同理当AB=AC=4时，
∵AO=3，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c= ，
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣ ；
同理当AC=BC时，
在△AOC中，AC2=9+c2，
在△BOC中BC2=c2+1，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故⑤不正确．
综上所述，正确的结论是①③．
故答案是：①③
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断即可得到答案。
50．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题可得：令y=0，则x2+2x -3=0，
解得x1= 1，x2=-3，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∵当x=0时，y =x2+2x-3 =-3，
∴C (0，-3)，
∵当x =0时，y =ax2+bx+c=c，
∴D (0，c)，
∴CD=c+3，
∴BD =，
∵BD = CD，
∴，
解得：，
∴抛物线C2： ，
将A(-3，0)，B(1，0)代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出(-3，0)，B(1，0)，再利用勾股定理和待定系数法求解即可。
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