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【解答题强化训练·50道必刷题】九年级上册第1章 二次函数
1．已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
2．已知抛物线y＝x2-bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），求抛物线的解析式．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
4．已知二次函数y=x2﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
5．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由．
6．二次函数y＝-x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-2，0）．
（1）求b，c的值；
（2）直接写出这个二次函数的顶点坐标．
7．“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，每月可多销售5条，设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，休闲裤的销售单价定为多少？
8．世界羽坛最高水平团体赛成都2024“汤尤杯”将于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套．
（1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？
（2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？
9．抛物线（m为常数）的顶点为A．
（1）若，请直接写出A点的坐标；
（2）请用m表示点A的坐标；
（3）经过探究发现，随着m的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t个单位后，所得抛物线顶点B还在抛物线H上．
请问：平移距离t是m的函数吗？如果是，请求出函数解析式，并写出m的取值范围．如果不是，请说明理由．
10． 已知二次函数 2ax-3a.
（1）若函数图象经过点(2，5)，
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点 A(1，n)向左平移 0)个单位后与图象上的点 B 重合，将点 A 向右平移m(m>0)个单位后与图象上的点C重合，求n的值.
（2）设点 是该函数图象上的两点，若 求证：
11． 瑞安某商场购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，每天可售出件；根据销售经验，销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，设这种商品的销售单价为元．
（1）该商品每天的销售量：　 　（用含的代数式表示）；
（2）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求的值；
（3）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？
12．在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx-4a（a，b是常数，a≠0）.
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由。
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=2，A（x1，m），B（x2，m） 该函数图象上的任意两点，其中x1（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a13．求抛物线 的顶点坐标，并直接写出 随 增大而增大时自变量 的取值范围．
14．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
15．求抛物线 的顶点和对称轴．
16．在一场篮球比赛中，队员甲在距篮下4m处跳起投篮，出手的高度为2.25m，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，已知球篮中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中.
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1.5m处跳起盖帽拦截，已知乙队员的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功
17．已知二次函数的图象顶点是（2，-1），且经过（0，1），求这个二次函数的解析式．
18．2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 …
竖直高度y/m …
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）．
19．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2.
（1）直接写出抛物线2的函数关系式；
（2）点能否在拋物线2上？请说明理由；
20．【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜．
【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半．
【问题解决】
（1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式；
（2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜．
21．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展"冬日情暖，喜迎元旦"活动，小星同学对会场进行装饰.如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米.
（1）如图2，两墙AB，CD的高度是　 　米，抛物线的解析式为　 　.
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙AB距离为3米，使拋物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离.
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式.
22．已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧．
（1）若一元二次方程的一个解是，求出A，B两点的坐标；
（2）若抛物线的顶点在直线上，求此抛物线的解析式．
23．已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求b和c的值；
（2）自变量x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小？
24．画出函数 的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．
25．如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是拋物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为__________；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
26．已知二次函数的图象经过点(-1， 8)，(2， -1)。
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 求这个图象的顶点坐标和对称轴.
27．已知抛物线y＝a（x-h）2的对称轴是直线x＝-2，且过点（1，-3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
28．调查了某城市近20个月的商品房价格，与上年同期相比，房价增长率y(%)与月份序号x近似地满足二次函数关系y=-0.25x2+3x．
（1）哪个月房价年增长率最高？哪几个月房价年增长率y随x的增加而增加？
（2）第几个月房价相当于上年同期水平？
29．如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点的点处抛出，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡的坡顶高度；
（2）若测得点的高度为，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出的取值范围．
30．设二次函数 是常数) 的表达式可以写成 ( 是常数)的形式，求 的最小值．
31． 如图，抛物线与轴交于点、，是抛物线的顶点， 的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
32． 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离.
33．在校运动会上，小华在某次试投中，铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
34．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元.
（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
35．材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合地物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为．
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的解析式；
（2）若距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
36．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网　 　填“能”或“不能”．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
37．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
38．已知抛物线的顶点为(-1，-3)，与y轴的交点为(0，-5)求抛物线的解析式.
39．已知抛物线y＝-x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
40．某商店决定对某类商品进行降价促销活动.已知进价为每件6元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件.根据调查，单价每降低1元，每天可多售出40件，设商品售价为x元(售价不低于进价，x为正整数)，这批商品的日利润为 y元(利润=售价一成本)，请解决以下问题：
（1）当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大 最大值为多少
（2）若商店每卖一件就捐m元(m>0)给希望小学，该店发现售价仅为11元时可获得最大日利润，求m 的取值范围.
41． 已知是关于的二次函数，求的值．
42．以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
43．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚，技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点的坐标为.
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为 ▲ ，抛物线的解析式为 ▲ ；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出的取值范围．
44．已知抛物线．
（1）若，求抛物线的对称轴；
（2）是抛物线上三点，且，求a的取值范围．
45．已知抛物线y=mx2+2mx+m2-2．
（1）求此抛物线的对称轴．
（2）若此抛物线的顶点在直线y=2x+6上，求拋物线的表达式．
（3）若点A(a，yA)与点B(3，yB)在此抛物线上，且yA46．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图甲所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y 的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.
（1）请直接写出k，a，b的值.
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图乙.
①当y随x的增大而增大时，求x的取值范围.
②若关于x的方程ax2+bx+3-t=0（t为实数），当0③若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）.P的横坐标为m，Q的横 坐标为-m+1.小明对P，Q 之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当 图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，请直接写出 m的取值范围.
47．已知，抛物线经过点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点在抛物线上，将抛物线向左平移2个单位长度得抛物线．当时，求函数的最大值与最小值．
（3）抛物线与轴交点为（点在点左边）．若，求证．
48．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
（3）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
49．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
（1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．
50．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
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【解答题强化训练·50道必刷题】九年级上册第1章 二次函数
1．已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
【答案】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为.
（2）解：平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为，
∵新抛物线经过原点，
∴，
解得或（舍去），
∴.
【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
（2）根据函数图象的平移规律可得平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为，再根据待定系数法将原点坐标代入解析式即可求出答案.
2．已知抛物线y＝x2-bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），求抛物线的解析式．
【答案】解：将A（-1，0），6）代入y＝x2-bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2-2x-3．
【解析】【分析】利用待定系数法把 A（-1，0），B（3，0）代入解析式，计算求解即可．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）解： 把M（-2，3）代入y=-x2+mx+3得：
-4-2m+3=3，
解得m=-2，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）解：y的取值范围是0≤y≤4．
【解析】【解答】解：（2） ∵y=-（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x=0时，y=3，当x=-3时，y=0，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【分析】（1）根据抛物线上点的性质，将点M的坐标代入解析式，即可列关于m的一元一次方程，解方程即可求出解析式，将解析式化为顶点式即可直接写出顶点的坐标；
（2）根据（1）可知，抛物线二次项系数小于0，开口向下，对称轴为直线x=-1，此时最大值为6；根据x的取值范围，可知该区间最大值为6，-34．已知二次函数y=x2﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
【答案】解：二次函数y=x2﹣x﹣6，
当时，，
解得：，，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的交点为，
与轴的交点为，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积为.
【解析】【分析】设y=0，解关于x的一元二次方程求出二次函数的图象与x轴的交点坐标，然后求出两交点间的距离，再设x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，最后计算三角形的面积即可.
5．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）由题意，得∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，
理由如下：把代入，得
∴点不在该函数图形上
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标和对称轴代入函数解析式，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程求出a、b的值，可得到二次函数解析式.
（2）将x=-2代入抛物线的解析式可求出y的值，即可知道它是否在该函数的图象上．
（1）解：由题意，得
∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，理由如下：
把代入，得
∴点不在该函数图形上．
6．二次函数y＝-x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-2，0）．
（1）求b，c的值；
（2）直接写出这个二次函数的顶点坐标．
【答案】（1）解：把（0，0）和（-2，0）分别代入y＝-x2+bx+c得，
解得，
b＝-2，c＝0
（2）（-1，1）
【解析】【解答】解：（2）函数解析式为y=-x2-2x=-（x+1）2+1，
∴这个二次函数的顶点坐标为（-1，1）
【分析】（1）分别将点A和点O的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可求出这个二次函数的顶点坐标.
7．“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，每月可多销售5条，设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，休闲裤的销售单价定为多少？
【答案】（1）解：由题意可得：
y＝100+5（80﹣x）
＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）解：由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴当售价70元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）解：由题意得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，
解得x1＝65，x2＝75，
∵抛物线w＝﹣5（x﹣70）2+4500开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当65≤x≤75时，捐款后每月利润不低于4175元，
∵要让消费者得到最大的实惠，
∴x＝65．
∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，每月可多销售5条 ，列出与的函数关系式即可；
（2）根据该网店每月获得的利润=每件的利润×销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）由（2）关系式，令W=4175+200，可得关于x的方程并解之，再根据二次函数的性质及实际意义求解即可.
8．世界羽坛最高水平团体赛成都2024“汤尤杯”将于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套．
（1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？
（2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每套吉祥物的售价为x元，根据题意得
，化简得：，
解得，，为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为32元．
（2）解：设每天销售吉祥物获得的利润为y元，则有
，
∵，且，∴，
∵对称轴为，且该二次函数图象开口向下，
∴函数的最大值为，
答：销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元．
【解析】【分析】（1） 设每套吉祥物的售价为x元， 根据总利润=单件商品的利润销售量，再出等量关系列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值，即可求解；
（2） 设每天销售吉祥物获得的利润为y元，根据总利润=单件商品的利润销售量，得到y关于x的二次函数，结合x的取值范围，利用二次函数的性质即可求解.
9．抛物线（m为常数）的顶点为A．
（1）若，请直接写出A点的坐标；
（2）请用m表示点A的坐标；
（3）经过探究发现，随着m的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t个单位后，所得抛物线顶点B还在抛物线H上．
请问：平移距离t是m的函数吗？如果是，请求出函数解析式，并写出m的取值范围．如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：，
顶点A的坐标为；
（3）解： 平移距离t是m的函数，理由如下：
由点A的坐标可知，抛物线，
抛物线G向右平移个单位后，
抛物线为：，
此时的顶点，
抛物线顶点仍在抛物线上，
，
整理得，
，
，
即，
是的函数，．
【解析】【解答】（1）解：当时，抛物线的解析式为，
A点的坐标为；
【分析】（1）把m=1代入y=x2-2mx-m+3，再把抛物线的解析式配成成顶点式即可得顶点坐标；
（2）把抛物线的解析式配成顶点式即可得顶点坐标；
（3）根据抛物线上点的坐标特点及（2）中A点坐标特点可得抛物线H的解析式为y=-x2-x-3，根据抛物线的平移规律“左加右减”得出平移后的抛物线，并求出新抛物线的顶点B的坐标，然后将点B的坐标代入抛物线H的解析式可得t关于m的函数关系式，结合平移距离t＞0，即可求出m的取值范围.
（1）解：当时，，
A点的坐标为；
（2）解：，
顶点A的坐标为；
（3）解：由点A的坐标可知，抛物线，
抛物线G向右平移个单位后，
抛物线为：，
此时的顶点，
抛物线顶点仍在抛物线上，
，
整理得，
，
，
即，
是的函数，．
10． 已知二次函数 2ax-3a.
（1）若函数图象经过点(2，5)，
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点 A(1，n)向左平移 0)个单位后与图象上的点 B 重合，将点 A 向右平移m(m>0)个单位后与图象上的点C重合，求n的值.
（2）设点 是该函数图象上的两点，若 求证：
【答案】（1）解：①∵函数图象经过点(2，5)，
∴4+4a-3a=5，解得a=1，
∴该二次函数的表达式为：
②由题意可知 B(1-3m，n)，C(1+m，n).
∵B，C是二次函数. 图象上的点，
∴点 B，C 关 于 对 称 轴 直 线 x = 对称，
解得m=2，
∴C(3，n).
把C(3，n)代入 得n=9+6-3=12
（2）证明：
∵M(x1，y1)，N(3-x1，y2)是二次函数 图象上两点，

【解析】【分析】(1)①利用待定系数法即可求解；
②由题意可知 即可得出B、C关于对称轴直线 对称，据此求得 ， 即可得到C(3，n)， 把C(3，n)代入①中求得的解析式，即可求得n的值；
(2)由a 得 故 即可证明结论.
11． 瑞安某商场购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，每天可售出件；根据销售经验，销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，设这种商品的销售单价为元．
（1）该商品每天的销售量：　 　（用含的代数式表示）；
（2）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求的值；
（3）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？
【答案】（1）件
（2）解：根据题意得，，
解得或；
（3）解：设销售的总利润为元，根据题意得，
，
∵
当时，有最大值，
答：当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，180-20（x-9）=-20x+360，
故答案为：-20x+360；
【分析】（1）根据销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，计算即可；
（2）根据“利润值=（销售单价-购进单价）×[160-20×（销售单价-9）]”，列出一元二次方程；
（3）设销售的总利润为y元，根据题意列出函数解析式，再根据函数的性质求得结果。
12．在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx-4a（a，b是常数，a≠0）.
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由。
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=2，A（x1，m），B（x2，m） 该函数图象上的任意两点，其中x1（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a【答案】（1）解：，
∵a≠0，
∴
所以该函数图象与x轴有2个交点。
（2）解：∵ 该函数图象的对称轴为x=2，
∴，
∴b=-4a.
∵m=8a，
∴ ax2－4ax－4a=8a
∵ x1可得x1=－2，x2=6.
（3）解：∵二次函数的顶点在第二象限，顶点坐标为：，即，
∴，
∴a<0，b<0.
∵图象经过点（1，2），
∴a+b－4a=2，
解得：b=3a+2.
∵a∴a<3a+2<0，
∴
∵3a+b =6a+2.
∴-4＜3a+b＜-2.
【解析】【分析】（1）利用b2－4ac，结果大于0，可得函数图象与x轴有两个交点.
（2）由对称轴得，计算可得b=-4a.再由m=8a，可得方程ax2－4ax－4a=8a，求解即可得到答案。
（3）计算出二次函数的顶点坐标，根据顶点所在的象限确定a<0，b<0.代入点（1，2）可得b=3a+2.根据a13．求抛物线 的顶点坐标，并直接写出 随 增大而增大时自变量 的取值范围．
【答案】解：∵y=x2-2x= x2-2x +1-1=（x-1）2-1，
∴该函数的顶点坐标为（1，-1），
∵a=1>0
∴抛物线开口向上，
又抛物线对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大．
【解析】【分析】先求出 该函数的顶点坐标为（1，-1）， 再求出 抛物线开口向上， 最后求解即可。
14．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，顶点为，即（6，8），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），
代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将x＝2代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），根据待定系数法将点（12，0）代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，将x=2代入解析式可得y值，再比较大小即可求出答案.
15．求抛物线 的顶点和对称轴．
【答案】解：∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴是 ．
【解析】【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标和对称轴。
16．在一场篮球比赛中，队员甲在距篮下4m处跳起投篮，出手的高度为2.25m，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，已知球篮中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中.
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1.5m处跳起盖帽拦截，已知乙队员的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功
【答案】（1）解：球出手点、最高点、篮圈坐标分别为(0，2.25)，(2.5，3.5)，(4，3.05)，
设这条抛物线对应的函数解析式为y=a(x-2.5)2+3.5，
将点(0，2.25)代入，可得2.25=a(0-2.5)2+3.5，解得a=-0.2，
∴y=-0.2(x-2.5)2+3.5，
当x=4时，y=-0.2(4-2.5)2+3.5=3.05，
∴此球能准确投中
（2）解：当x=1.5时，y=-0.2(1.5-2.5)2+3.5=3.3>3.1
∴乙不能拦截成功
【解析】【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；令x=4，求出y的值，与3.5m比较即可作出判断；
(2)将x=1.5代入y=-0.2(x-2.5)2+3.5得y=3.3，进而得出答案.
17．已知二次函数的图象顶点是（2，-1），且经过（0，1），求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设二次函数的解析式是y=a（x-2）2-1，
把（0，1）代入，得4a=2，即a=
∴该二次函数的解析式是y=（x-2）2-1．
【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的解析式是y=a(x-2)2-1，将（0，1）代入求出a的值，进而可得二次函数的解析式.
18．2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 …
竖直高度y/m …
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）．
【答案】（1）解：①如图，即为所求；
②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是；
设y与x满足的函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴y与x满足的函数解析式为；
③成功，理由如下：
当时，，
即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为，
∴韩旭第一次投篮练习是成功的；
（2）
【解析】【解答】解：（2）把点代入得：，
解得：，
∴此时y与x满足的函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∵，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离．
故答案为：
【分析】（1）①根据表格中的数据，利用描点法即可画出函数图象；②结合表中数据以及画出的函数图象，可设函数关系式为，再根据（0，2）点，即可得出m的值，得出函数解析式；；③把代入②中函数解析式，可求得此时y=3，即可得出结论；
（2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可．
19．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2.
（1）直接写出抛物线2的函数关系式；
（2）点能否在拋物线2上？请说明理由；
【答案】（1）解：∵ 抛物线
∴把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2为：.
（2）解：把点代入得
，∴，方程无解，所以点P不在抛物线上.
【解析】【分析】（1）将解析式改写为顶点式，然后根据抛物线的几何变换规律即可求解；
（2）把点代入，解方程，如果没有解，即点P不在抛物线上.
20．【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜．
【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半．
【问题解决】
（1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式；
（2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜．
【答案】（1）解：由题意：设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）解：令，得，解得：，
∴，
∵，且飞行的最大高度为第一次的一半．
∴设弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：，
把代入得：，解得：，
∴，
把代入，得，
∵，
∴小强的接球板没有触碰到球，小明获胜
【解析】【分析】（1）设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，设弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得，将x=8代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
21．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展"冬日情暖，喜迎元旦"活动，小星同学对会场进行装饰.如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米.
（1）如图2，两墙AB，CD的高度是　 　米，抛物线的解析式为　 　.
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙AB距离为3米，使拋物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离.
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式.
【答案】（1）3；
（2）解：∵过点A（0，3）和点F1（2，2）和点M的抛物线顶点为点F1（2，2）
设抛物线y=a（x-2）2+2(a≠0）且过点A（0，3）
∴a=
∴抛物线y=（x-2）2+2，且xM=3
∴点M（3，）
∴点M到地面的距离为米
（3）解：∵yM=3，yC=3
∴经过点M、F2、C的抛物线中点M、C关于次抛物线的对称轴直线对称
且点M（m，3）点C（8，3）
∴抛物线的对称轴直线为x=
∴此抛物线的顶点坐标为（，n）
∴此抛物线解析式：y= （x-）2+n
∵点C（8，3）在抛物线y= （x-）2+n的图象上
∴ （8-）2+n=3
即n=
【解析】【解答】解：（1）∵ 抛物线 过点（0，3）
∴点A坐标（0，3）
∴AB=3
∴点C（8，3）在抛物线 上
∴a=
∴抛物线解析式为：故答案为：
【分析】（1）根据抛物线经过点（0，3）可得点A的坐标，即可得 两墙AB，CD的高度 ，根据 AB、CD之间的水平距离BD为8米可得点C的坐标，代入可得抛物线解析式；
（2）根据点F1的坐标可用顶点式设抛物线解析式，代入点A可得抛物线解析式，根据点M的横坐标可得点M的坐标，即可得点M到地面的距离；
（3）根据点M与点C的纵坐标相同可得抛物线对称轴直线，再根据点 的纵坐标以及抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为可用顶点式表达出抛物线的解析式，代入点C的坐标可得m、n之间的关系式.
22．已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧．
（1）若一元二次方程的一个解是，求出A，B两点的坐标；
（2）若抛物线的顶点在直线上，求此抛物线的解析式．
【答案】（1）解：一元二次方程的一个解是，
把代入，得：，
∴
抛物线解析式为，
令，则
解得：，，
∵抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧，
∴，．
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴把代入，得，
∴，
∴抛物线解析式为．
【解析】【分析】（1）将x=1代入求出c的值，可得抛物线解析式为，再将y=0代入抛物线可得求出x的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）先利用配方法将二次函数的一般式换为顶点式可得其顶点坐标为，再将其代入可得，最后求出c的值即可.
（1）解：一元二次方程的一个解是，
把代入，得
∴
抛物线解析式为，
令，则
解得：，，
∵抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧，
∴，．
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴把代入，得
，
∴，
∴抛物线解析式为．
23．已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求b和c的值；
（2）自变量x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：将，代入，
得：，
解得：，
∴，；
（2）解：由（1）可知：，
则抛物线的对称轴为直线，，开口向上，
∴当时，随的增大而减小．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入二次函数解析式即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式，求出对称轴，结合二次函数的性质即可求出答案.
24．画出函数 的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．
【答案】解：解：函数的图象如图所示，
∵抛物线的开口向上，对称轴为x=6，顶点坐标为（6，3）
当x＞6时，y随x的增大而增大
【解析】【分析】画出二次函数的图象，结合图象即可得到函数的性质。
25．如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是拋物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为__________；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
【解析】【解答】（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
【分析】（1）设，根据待定系数法将点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①由题意，Q为顶点，设，则，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；
②设直线表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得，联立抛物线解析式，根据判别式，可得直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，即可求出答案.
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
26．已知二次函数的图象经过点(-1， 8)，(2， -1)。
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 求这个图象的顶点坐标和对称轴.
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴顶点坐标(2，-1)，对称轴为直线x =2.
【解析】【分析】(1)利用待定系数法解题即可；
(2)将其表达式变成顶点式，然后根据 +k(a≠0)，其对称轴为x=h，顶点坐标为(h，k)解题即可.
27．已知抛物线y＝a（x-h）2的对称轴是直线x＝-2，且过点（1，-3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝a（x-h）2的对称轴为直线x＝-2，
∴抛物线为y＝a（x+2）2
又∵抛物线过点（1，-3），
∴-3＝a（1+2）2，
即9a＝-3，
解得 a＝-，
所以该抛物线的解析式为y＝-（x+2）2．
（2）解：∵a＝-，
∴开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值，
∵抛物线的顶点为（-2，0），
∴当x＝-2时，函数有最大值0．
【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线可知抛物线为，将代入解析式中，计算求解即可；
（2）根据二次函数的图象及性质，即可求出结论．
28．调查了某城市近20个月的商品房价格，与上年同期相比，房价增长率y(%)与月份序号x近似地满足二次函数关系y=-0.25x2+3x．
（1）哪个月房价年增长率最高？哪几个月房价年增长率y随x的增加而增加？
（2）第几个月房价相当于上年同期水平？
【答案】（1）解：∵，
∵a=-0.25＜0，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
∴抛物线的对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，9），
则当x=6时，y最大值为9，
当x＜6时，y随x的增大而增大，
故第6个月房价年增长率最高，第1~6月房价的年增长率y随x的增加而增加．
（2）解：当y=0时，代入得：-0.25x2+3x=0，
解得：x=0或x=12，
故第12个月房价相当于上年同期水平．
【解析】【分析】（1）将函数关系式转化为顶点式，根据二次函数的性质即可求得函数的最大值，结合函数的增减性即可求解；
（2）将y=0代入函数关系式，求得x的值，即可得出答案.
29．如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点的点处抛出，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡的坡顶高度；
（2）若测得点的高度为，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：，
∴小山坡的坡顶高度为；
（2）解：∵点的高度为，∴点的纵坐标为3，
令，
解得，，
∵点在小山坡的坡顶的右侧，
∴，
点的坐标为，
当时，，
，即，
由题意得：，
∴，
∴点的坐标为，
将，代入得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为。
（3）解：，
∴L1的顶点坐标
由（2）可得：点的坐标为，
，
在中，当时，，
∵当小球运动到坡顶正上方时，与坡顶距离超过3米，
，
解得：，
的取值范围是．
【解析】【分析】（1）将化为顶点式， 小山坡的坡顶高度是实际就是求的最大值，将化为顶点式即可得到答案。
（2）先求出点和点的坐标，再将点和点的坐标代入得到，求出的值即可得到答案；
（3）由（1）可得L1顶点坐标为 ，由（2）可得：点的坐标为，从而得到，在中，当时，，根据当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，得出，解不等式即可得到答案．
（1）解：，
∴小山坡的坡顶高度为；
（2）解：∵点的高度为，
∴点的纵坐标为3，
令，
解得，，
∵点在小山坡的坡顶的右侧，
∴，
点的坐标为，
当时，，
，即，
由题意得：，
∴，
∴点的坐标为，
将，代入得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（3）解：，
∴小山坡的坡顶高度为，
由（2）可得：点的坐标为，
，
在中，当时，，
∵当小球运动到坡顶正上方时，与坡顶距离超过3米，
，
解得：，
的取值范围是．
30．设二次函数 是常数) 的表达式可以写成 ( 是常数)的形式，求 的最小值．
【答案】解：∵
∴y1=x2-2hx+h2-1
∴b=-2h，c=h2-1
∴b+c=-2h+h2-1
=h2-2h-1
=h2-2h+1-1-1
=(h-1)2-2
∵(h-1)2≥0
∴(h-1)2-2≥-2
∴ 的最小值为-2
【解析】【分析】把二次函数的顶点式化为一般式，可得b+c的值，再把b+c化为顶点式，根据二次函数的最值可得结果.
31． 如图，抛物线与轴交于点、，是抛物线的顶点， 的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
【答案】（1）解：抛物线，
顶点的坐标为
四边形是平行四边形，
，，
设，的横坐标分别为，，则，
解得，
（2）解：，
，
设平移后抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
平移后抛物线的解析式为，
即．
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的顶点C坐标为（4，8），再利用平行四边形的性质可得，再设，的横坐标分别为，，则， 最后求出a的值即可；
（2）设平移后抛物线的解析式为，再将点（0，8）代入求出k的值即可.
32． 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离.
【答案】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为，点A坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点A坐标代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为
（2）解：∵，
∴令得：，
解得：，，
∵起跳点A坐标为，
∴，不符合题意，∴，
∴运动员落水点与点C的距离为5米.
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）根据二次函数与一元二次方程综合求解。令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
33．在校运动会上，小华在某次试投中，铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
【答案】解：点A的坐标为，顶点为B(4，3)．
设抛物线的表达式为，
点A在抛物线上，
， 解得．
抛物线的表达式为，
令，则，
解得或（不合实际，舍去）．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
【解析】【分析】设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入解析式求出a的值可得，再将y=0代入解析式求出x的值即可。
34．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元.
（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可得，
当销售价为每件30元时，每天的销售量为：（件，
答：当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件
（2）解：设销售单价应定为元，
由题意可得，，
解得，，
答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元
（3）解：由题意可得，
，
当时，取得最大值，此时，
答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元
【解析】【分析】（1）根据题意，可以列出算式，然后计算即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，即可求得的最大值．
（1）由题意可得，
当销售价为每件30元时，每天的销售量为：（件，
答：当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件；
（2）设销售单价应定为元，
由题意可得，，
解得，，
答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
（3）由题意可得，
，
当时，取得最大值，此时，
答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元．
35．材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合地物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为．
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的解析式；
（2）若距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【答案】（1）解：如图所示，以点A为坐标原点，直线为x轴，为y轴建立平面直角坐标系．
∵两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P距离桥面为，∴点P为该抛物线顶点，且其坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
将代入，得：，解得：，
∴该抛物线解析式为.
（2）解：因为距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，
∴所需更换的点的横坐标为或．
将代入，得．
代入，得．
∴这两条吊索的总长度为．
【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，由点P为该抛物线顶点，且其坐标为，，可设该抛物线解析式为，再将代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式．
（2）由（1）中的抛物线的抛物线解析式，将和代入解析式中，求得两根吊索的长度，进而求得两根吊索总长度，得到答案.
（1）如图，以点A为坐标原点，直线为x轴，为y轴建立平面直角坐标系．
∵两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，
∴点P为该抛物线顶点，且其坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
将代入，得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，
∴所需更换的点的横坐标为或．
将代入，得．
代入，得．
∴这两条吊索的总长度为．
36．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网　 　填“能”或“不能”．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
【答案】（1）解：①由表中数据可得顶点，设，把代入得，解得：， 所求函数关系为；②不能
（2）解：判断：没有出界．
第二次发球：，
令，则，
，解得舍，，
，
该运动员此次发球没有出界．
【解析】【解答】解： ②由①的解析式 ，
代入x=9，
米
不能
【分析】(1) 根据表中数据，可判定顶点坐标，代入函数顶点式解析式；球网的高度已知，根据函数求出x=9时的y值，即估测的球高度，跟球网高度进行比较即可；(2)球落地点，是函数解析式等于0时的x值，判定是否出界，看这个x值是否大于18，如果大于18则出界，反之没出界。
37．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为(1， 4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x 1)2 4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0 1)2 4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x 1)2 4，
即y=x2 2x 3；
（2）解：令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
【解析】【分析】（1）由顶点D的坐标为（1，-4），设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；
（2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标．
38．已知抛物线的顶点为(-1，-3)，与y轴的交点为(0，-5)求抛物线的解析式.
【答案】解：根据题意设 ，将（0，﹣5）代入得： ，解得： ，
则抛物线解析式为 ．故抛物线的解析式为： ．
【解析】【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，﹣5）代入即可确定出解析式．
39．已知抛物线y＝-x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴顶点坐标是（1，4），对称轴是直线x＝1；
（2）解：画图象：
在y＝-x2+2x+3中，令y＝0，则-x2+2x+3＝0，
∴（x-3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝-1，
∴A（-1，0），B（3，0）．
又∵C（0，3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝ AB OC＝ ×4×3＝6．
【解析】【分析】（1）把抛物线变为顶点式，即可得顶点坐标、对称轴.
（2）根据函数图象作图步骤画出函数图象，分别求出点A、B、C的坐标，根据三角形的面积公式即可求出面积.
40．某商店决定对某类商品进行降价促销活动.已知进价为每件6元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件.根据调查，单价每降低1元，每天可多售出40件，设商品售价为x元(售价不低于进价，x为正整数)，这批商品的日利润为 y元(利润=售价一成本)，请解决以下问题：
（1）当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大 最大值为多少
（2）若商店每卖一件就捐m元(m>0)给希望小学，该店发现售价仅为11元时可获得最大日利润，求m 的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意，得y=(x-6)[80+40(12-x)]=-40(x-10)2+640，
∴当x=10时，y 有最大值，最大值为640.
答：当商品的售价x为10元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为640元
（2）解：根据题意，得 )m，
∴对称轴为 ∵当售价为11 元时可获得最大日利润，
解得1【解析】【分析】(1)根据“利润=(售价-成本)×销售量”这一基本关系，建立日利润关于售价x的二次函数，再依据二次函数的性质求最值；
(2)先结合捐赠情况建立新的日利润函数，再根据“售价为11元时获最大日利润”，利用二次函数对称轴的性质确定m的范围。
41． 已知是关于的二次函数，求的值．
【答案】解：由题意得，，
解得或，
，
，
的值为．
【解析】【分析】二次函数，自变量的最高次数是2，二次项的系数a不等于零。
42．以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
【答案】解：在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（﹣1，3），再向下平移2个单位得到A″（﹣1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c．则点A″（﹣1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得： ，解得： ．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2
【解析】【分析】根据二次函数平移的性质进行作答即可，计算得到抛物线上的任意两个点，根据平移规律即可得到两个点平移后的点，代入抛物线的解析式即可得到答案。
43．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚，技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点的坐标为.
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为 ▲ ，抛物线的解析式为 ▲ ；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）点的坐标为，
设抛物线的解析式为：；
（2）轴，，
点的纵坐标为，
当时，，
解得：（舍），，
，
保护网MN（线段MN）的长度至少为9米；
（3）的取值范围是．
【解析】【解答】解：（1）∵A (0，8)，AB=1，
∴B (1，8)，
如图，过点F作FK⊥r轴于K，过点E作EL⊥FK于L，
∵∠ELF=90°，
∴∠FEC=135°，∠LEC=90°，
∴∠FEL=45°，
∴△LEF是等腰直角三角形，
∴FL=LE，
∴EF=
∴EL=FL=，
∵EC=LK=2.1，
∴FK=LF+LK=1.4+2.1=3.5，
∵OC=11.4，KC=LE=1.4，
∴OC=10，
∴点F的坐标为(10，3.5)，
设抛物线的解析式为：y =ax2+bx + c，
把点B(1，8)，H (0，6)，F(10，3.5)分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
故答案为：(10，3.5)，
(3)将点F(10，3.5)代入y = ax2- 8ax+c中，
100a-80a+c = 3.5，
∴20a+c=3.5①，
当抛物线经过点A(0，8)时，c= 8，
代入①中，20a+8=3.5，
∴a=
当抛物线y = ax2 - 8ax+ c中经过点B(1，8)时，
8=a-8a+c②，
联立①②得：a=
∴a的取值范围是．
【分析】（1）作辅助线构建等腰直角 EFL，确定点B，F的坐标，利用待定系数法即可解答；
(2)为使演员在演出时不受伤害，抛物线要经过点M，可得点M的坐标，计算MN的长即可解答；
(3)分别计算边界点时a的值，即将点A和点B的坐标代入y =ax2-8ax+c中即可解答.
44．已知抛物线．
（1）若，求抛物线的对称轴；
（2）是抛物线上三点，且，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，当时，==（x-1）2-1，
对称轴是直线；
（2）由题意可得，抛物线的对称轴是直线，
当时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
又，
，即．
，且．
，且．
或．
当时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
又，
，即，不合题意．
综上，或．
【解析】【分析】（1）当时，==（x-1）2-1，进而即可得出对称轴是x=1；
（2）首先求得抛物线的对称轴为x=a，然后分成两种情况：当时，根据二次函数的性质可得出或．当时，不合题意．即可得出或．
（1）解：由题意，当时，，
对称轴是直线
（2）由题意可得，抛物线的对称轴是直线，
当时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
又，
，即．
，且．
，且．
或．
当时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
又，
，即，不合题意．
综上，或．
45．已知抛物线y=mx2+2mx+m2-2．
（1）求此抛物线的对称轴．
（2）若此抛物线的顶点在直线y=2x+6上，求拋物线的表达式．
（3）若点A(a，yA)与点B(3，yB)在此抛物线上，且yA【答案】（1）解：x==-1
∴抛物线的对称轴为直线x=-1．
（2）解：∵抛物线的顶点在直线y=2x+6上，
∴把x=-1代人得y=2×(-1)+6=4，
将(-1，4)代人抛物线表达式得4=m-2m+m2-2，
解得m=3或m=-2，
∴抛物线的表达式为y=3x2+6x+7或y=-2x2-4x+2．
（3）解：点B(3，yB)关于直线x=-1的对称点为(-5，yB)，
当m>0时，二次函数图象开口向上，
若yA当m<0时，二次函数图象开口向下，
若yA3．
【解析】【分析】（1）利用对称轴公式 x= 即可求解；
（2） 把x=-1代入直线y=2x+6上中求出y值，即得顶点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出m值.
（3）先求出点B(3，yB)关于直线x=-1的对称点坐标，分m>0和m<0 两种情况，结合二次函数的增减性进行解答即可.
46．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图甲所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y 的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.
（1）请直接写出k，a，b的值.
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图乙.
①当y随x的增大而增大时，求x的取值范围.
②若关于x的方程ax2+bx+3-t=0（t为实数），当0③若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）.P的横坐标为m，Q的横 坐标为-m+1.小明对P，Q 之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当 图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，请直接写出 m的取值范围.
【答案】（1）解：∵x=-2<0，
∴将x=-2，y=1代入y=kx+3，得：-2k+3=1，
解得：k=1，
∵x=2>0，x=3>0，
将x=2，y=3和x=3，y=6分别代入y=ax2+bx+3得：
∴
∴k=1，a=1，b=-2
（2）解：①∵k=1，a=1，b=-2，
∴一次函数解析式为：y=x+3，二次函数解析式为：y=x2-2x+3，
当x≥0时，y=x2-2x+3，其对称轴为直线x=1，开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大
又当x<0时，y=x+3，k=1>0，
∴x<0时，y随着x的增大而增大
综上，x的取值范围：x<0或x>≥1
②∵ax2+bx+3-t=0在0∴ax2+bx+3=t，在0∴抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0∵对于y=x2-2x+3，当x=1时，y=2，
∴顶点为(1，2)
如图：
∴当t=2时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0∴当t<2时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0当x=4，y=16-8+3=11，
∴当t=11时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0∴当t≥11时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0∴当t<2或t≥11时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0即：当t<2或t≥11时，关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数)，在0③∵xP=m，xQ=-m+1，
∴
当x>0时，y最小值=2；当x≤0时，y最大值=3.
∵图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x=2时，y=3，当x=-1时，y=2，
∴当时，如图，由题意得，
∴1≤m≤2，
当时，如图，
由题意得，
∴-1≤m≤0.
综上，-1≤m≤0或1≤m≤2
【解析】【分析】(1)根据题意将x=-2，y=1代入y=kx+3，得k=1；将x=2，y=3和x=3，y=6分别代入y=ax2+bx+3即可求解；
(2)①由(1)可写出一次函数解析式为：y=x+3，二次函数解析式为：y=x2-2x+3，根据一次函数和二次函数的增减性即可得到：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为：x<0或x≥1；
②ax2+bx+3-t=0在0③分两种情况讨论，当时，当时，即可得出结论.
47．已知，抛物线经过点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点在抛物线上，将抛物线向左平移2个单位长度得抛物线．当时，求函数的最大值与最小值．
（3）抛物线与轴交点为（点在点左边）．若，求证．
【答案】（1）解：将代入，得，∴，
抛物线的对称轴为直线
（2）解：将代入，得，由（1）知，，
由抛物线向左平移2个单位长度得抛物线，
，
∵
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∵
当时，函数的最小值为，
当时，最大值为7
（3）解：设则，
由（1）得，则，
，
，
，
解得：
【解析】【分析】（1）将代入得，然后根据对称轴公式计算即可；
（2）将代入，得，解关于m，n的方程组可得即可得到函数解析式，然后根据平移解题；
（3）设则，根据韦达定理得然后根据得到关于m的不等式组，解题即可．
（1）解：将代入，得，
∴，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：将代入，得，
由（1）知，，
由抛物线向左平移2个单位长度得抛物线，
，
∵
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∵
当时，函数的最小值为，
当时，最大值为7；
（3）解：设则，
由（1）得，则，
，
，
，
解得：．
48．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
（3）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，
则，
∴，
墙长15米，
，
，
，
自变量的取值范围是；
（2）解：此花园面积能达到150平方米，理由如下：
当时，即，
，
解得：，，
，
∴
此花园面积能达到150平方米，此时；
（3）解：，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，矩形场地面积y最大，最大面积是平方米．
【解析】【分析】（1）先用含x的代数式表示AB，再用矩形的面积公式求解即可；
（2）令y=150，建立一元二次方程，求解即可；
（3）把一般式转换为顶点式，利用二次函数的性质求解即可.
49．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
（1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．
【答案】（1）3，
（2）解：设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，解得，
抛物线的表达式为，
当时，（米，
点到地面的距离为2.25米
（3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称，
抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，整理得；
当时，即，解得（不合题意的值已舍去）；
当时，同理可得，
故的取值范围为：．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则，解得：；
抛物线的表达式为，则点，即（米，
当时，，即顶点坐标为，
故答案为：3，；
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式.
（1）根据抛物线的对称轴为，利用抛物线的对称轴公式可列出方程，解方程可求出a的值，据此可求出抛物线的表达式，进而可求出点A的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）设抛物线的表达式为，将点的坐标代入式子可列出方程，解方程可求出，据此可求出抛物线的表达式，当时，，进而可求出点到地面的距离；
（3）由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称，据此可设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入解析式可得：，化简可得，当时，当时，可求出m的值，据此可求出实数的取值范围.
50．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
【答案】（1）函数，，
二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为，
二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大，
，
（2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
时，有最大值；
，
，
，
，
，
整理得，，
即，
，，
时，始终有，
的值不会随的变化而变化，
【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可；
(2)①先表示出，，再利用x2=2x1+1代入n表达式中，然后表示出，利用二次函数最值求解即可；
②同①表示出n-m=-2tx1-2x1-t2+2t=3t，建立关于t的方程求解即可.
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