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期中检测试题（13-15章） 2025-2026学年
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔.设计要求：发射塔到两个城镇，的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等.关于发射塔应修建的位置，下列说法正确的是（ ）
A．线段的中点
B．直线和的交角（锐角）的角平分线与线段的交点
C．线段的垂直平分线和直线和的交角（锐角）的角平分线的交点
D．线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．点关于轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等 B．面积相等的两个三角形全等
C．两个全等三角形一定成轴对称 D．所有等腰三角形都只有一条对称轴
6．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
7．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm
8．如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ．
12．若在中，，，．则a的取值范围是 ．
13．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ．
14．如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为 ．
15．如图，，且于点，于点，，交的延长线于点，，交的延长线于点，则①②③④，结论正确的有 ．
16．如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ．
17．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示）
三、解答题
18．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数．
19．如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ．
21．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若______，求证：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
22．如图，和均为等边三角形，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
23．如图，，是的高线，，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
24．如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G．
(1)若，求的度数；
(2)若，则= °；（用含的代数式表示）
(3)如图，若，过点作交于点，求与的数量关系．
25．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

图1 图2 图③
(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A A A B C B A
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质．发射塔到城镇、的距离相等，可知发射塔在线段的垂直平分线上；发射塔到高速公路、的距离相等，发射塔在直线、的夹角的平分线上，所以可得，线段的垂直平分线和直线和的交角（锐角）的角平分线的交点就是建发射塔的位置．
【详解】解：解：发射塔到城镇、的距离相等，
发射塔在线段的垂直平分线上，
又发射塔到高速公路、的距离相等，
发射塔在直线、的夹角的平分线上，
线段的垂直平分线和直线和的交角（锐角）的角平分线的交点就是建发射塔的位置．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和幂的乘方法则逐项计算即可．
【详解】解：，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算正确，符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
和不是同类项，不能合并，故D计算错误，不符合题意．
故选：B．
4．A
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．A
【分析】分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应边相等，是真命题；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；
D、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．
6．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值．
【详解】解：过D作于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∵的面积为7，
∴
即，
解得：，
故选：A．
7．B
【详解】试题分析：三角形三边长要满足三边关系，若3为腰长，则3，3，9，不符合三角形三边关系，所以3为底边，算出腰长为6，故选B．
考点：三角形三边关系．
8．C
【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形性质，三角形内角和等．根据题意可以得出，继而得到，再利用三角形内角和可得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分交于点，
∴，
∴的周长，
故选：．
10．A
【分析】本题考查的是等边三角形性质与判定、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线性质，连接，证明得出，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小，再证明是等边三角形，得出垂直平分，进而求出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点E在射线上运动（），
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故选：A．
11．/75度
【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质．
根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
12．/
【分析】此题主要考查三角形三边之间的关系．根据三角形三边之间的关系，任一边都小于另两边之和，同时大于另两边之差，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵中，，，，
∴，，
解得，
故答案为：．
13．1
【分析】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积．
【详解】解∶∵点D，E，F分别为边，，的中点，
∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
∵是的中线，，
∴，
又是的中线，是的中线，
∴，，
∴，
又是的中线，
∴．
故答案为：1．
14．8
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．在上取点E，使，分别证明，，即可求出，则﹒
【详解】解：如图，在上取点E，使，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的周长为20，
∴﹒
故答案为：8
15．①②③
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
由得到，，，由证明，，根据全等三角形的性质逐一判断即可．
【详解】∵，
∴，，，
∴，
∵于点，于点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，即①③正确；
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，即②正确；
由图可知，则，即④错误；
故答案为：①②③．
16．
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答．
【详解】解：如图，连接，，
∵是等腰三角形，点D为底边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长的最小值为．
故答案为：11．
17．
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．
【详解】解：如图，连接．
垂直平分，
，，
，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形外角的性质、三角形的高线、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据高线可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形的外角求得，进而根据角平分线得到，然后直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：是的高，，
∴，
,
,
,
又∵是的角平分线，
,
,
．
19．2
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的对称变换及点的对称，熟练掌握图形的对称和点的对称是解题的关键，
（1）根据图形的对称变称求出对称点坐标并作图即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出对称点坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求.
（2）解：由图可知，点的坐标为，
∴点关于x轴对称的点的坐标为，
答案：．
21．见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：选择条件①的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以．
选择条件②的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以．
选择条件③的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS，AAS，SAS，ASA，HL
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键．
（1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明；
（2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
，
∴，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，
．
23．(1)见解析；
(2)的面积为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先求得，再证明，即可得出结论；
（2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答；
（3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答．
【详解】（1）解：，
．
分别是和的平分线，
，
是的外角，
；
（2），
．
分别是和的平分线，
，
是的外角，
，
故答案为：；
（3），
．
．
由（）得．
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或
【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明；
（2）同（1）证明，得到，，求出即可；
（3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∵，
∴
∴；
（3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下：
分三种情况：
①当时，，如图③，
分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②当时，，如图④，
分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F，
同(1)得：，
∴，
∵，
∴，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴；
③当时，，如图⑤，
分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F，
同(1)得：，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，解得，
∴；
综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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