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三角形 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，在和中，，，要证，需补充的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．3，4，8 C．1，2，3 D．2，5，6
3．如图，已知等腰△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AB＝BC＝4，则线段DF的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4﹣2 D．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（　　）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
5．如图，在 中， 是 上一点， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将沿翻折，点落在上的点处，连接，若，，则为（　　）
A． B． C． D．
7．在中，，则为（　　）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
8．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
C．任意三角形的外角和都是
D．三角形的中线、角平分线，高线都是线段
9．如果一个三角形的三个内角的度数之比为 ，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形
10．如图，在和中，．连接AC，BD交于点M，连接OM．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点处，联结，直线与边CB的延长线相交于点F，如果∠DAB=∠BAF，那么BF=　 　
12．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB=　 　．
13．在等腰△ABC中，AC腰上的中线BD将△ABC的周长分为15和27两部分，则这个三角形的底边长为　 　．
14．如图， 中， ， ，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 　 　 ．
15．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需添加一个条件 　 　 ．（写一个即可）
16．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为　 　.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图， ， ，点 、 在 上， ，再添加一个什么条件后可推出 ，写出添加的条件并完成证明.
18． 如图，，，，经过点D．
（1）求证：；
（2）和有何数量和位置关系？请说明理由；
（3）若，求四边形的面积．
19．如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°．求∠BDC的度数．
20．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
21．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C，试猜想：随着点A，B的移动，∠ACB的大小是否发生变化，并说明理由．
22．如图所示，在△ABC中，AB=BC.
（1）如图(1)所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC=90°.求证：MN=AM+CN.
（2）如图(2)所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，则MN=AM+CN是否成立 请说明理由.
23．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
24．已知，点E是线段之间的一点．
（1）如图1，连接、．若，，求的度数；
（2）如图2，线段把这个封闭区域分为两部分（不含边界），且点E在这个封闭区域内，请求出、、之间的数量的关系．
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三角形 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，在和中，，，要证，需补充的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：补充，
∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据三角形全等的判定方法有：、、、、，结合题目已知条件补充，可得，在利用SAS判定全等即可得到答案；
2．下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．3，4，8 C．1，2，3 D．2，5，6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 三角形的两边之和大于第三边，
∴ A 2+2=4，不能构成三角形；
B 3+4＜8，不能构成三角形；
C 1+2=3，不能构成三角形；
D 2+5＞6，能构成三角形.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，即可求得.
3．如图，已知等腰△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AB＝BC＝4，则线段DF的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4﹣2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴BD＝AD，
∵∠CAD＋∠AFE＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD，
在△BDF和△ADC中， ，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD，
∵AB＝BC＝4，
∴BD＝ ，
∴DF＝CD＝4﹣ ，
故答案为：C．
【分析】证明△BDF≌△ADC，即可推出DF＝CD解决问题．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（　　）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【解析】【解答】以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；
以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，则AP=OP，此时三角形是等腰三角形，即1个；
2+1+1=4
故答案为：C
【分析】分为三种情况：①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分别画出，找到满足条件的P点即可
5．如图，在 中， 是 上一点， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠4=∠1+∠2=2∠2，
∵∠BAC+∠2+∠4=180°，∠BAC=63°，
∴3∠2+63°=180°，
∴∠2=39°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.
故答案为：B.
【分析】通过∠3与∠2的关系以及内角和定理解出∠2，即∠1的大小，进而可求∠DAC.
6．如图，将沿翻折，点落在上的点处，连接，若，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠BC'D=120°，
∴∠AC'D=180°-∠BC'D=60°，
由折叠得∠C=∠AC'D=60°，
在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°，
∴∠DAC=∠DAC'=∠BAC=40°.
故答案为：D
【分析】由邻补角定义求出∠AC'D=60°，由折叠得∠C=∠AC'D=60°，在△ABC中，由三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，由折叠可得∠DAC=∠DAC'=∠BAC，从而代入计算可得答案.
7．在中，，则为（　　）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
【答案】B
【解析】【解答】∵
∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x
根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
因此△ABC是直角三角形
故答案为：B．
【分析】设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°，解之求出∠A、∠B、∠C即可。
8．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
C．任意三角形的外角和都是
D．三角形的中线、角平分线，高线都是线段
【答案】A
【解析】【解答】A钝角三角形的钝角的外角小于内角；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的外角性质、直角三角形的判定，三角形中线、 角平分线和高线进行判断即可。
9．如果一个三角形的三个内角的度数之比为 ，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，2k°，3k°，
根据三角形内角和定理，可知k°+2k°+3k°=180°，
得k°=30°，
那么三角形三个内角的度数分别是30°，60°和90°
故答案为：B
【分析】根据一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3 ，可设三个角的度数分别为k，2k，3k，利用三角形的内角和定理建立关于k的方程，解方程求出k的值，可得到三角形的三个内角的度数，即可判断出三角形的形状.
10．如图，在和中，．连接AC，BD交于点M，连接OM．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在△AOC和△BOD中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，故②，
作于G，于H，如图所示，
则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴平分，故④符合题意；
假设平分，则，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴假设不符合题意，不能平分
故③不符合题意；
正确的序号有①②④．
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点处，联结，直线与边CB的延长线相交于点F，如果∠DAB=∠BAF，那么BF=　 　
【答案】
【解析】【解答】如图，
∠DAB=∠BAF，设
将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点处，
，∠C=90°
在中，
故答案为：
【分析】根据三角形翻折、等腰三角形以及角平分线求出∠CAF的度数，根据三角函数求出CF，最终求BF
12．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB=　 　．
【答案】132°
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC=∠EAC，
∵∠EBD=∠DBC+∠EBC=42°，
∴∠EAC+∠EBC=42°，
∴∠ABE+∠EAB=90°﹣42°=48°，
∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠EAB）=180°﹣48°=132°．
【分析】先利用“SAS”证明△BDC≌△AEC，再利用全等的性质可得∠DBC=∠EAC，最后利用角的运算及三角形的内角和计算即可。
13．在等腰△ABC中，AC腰上的中线BD将△ABC的周长分为15和27两部分，则这个三角形的底边长为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵AC腰上的中线BD，
可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
由题意得：
当AB+AD=15时，即3x=15，解得x=5，
则BC=27-x=22，
则AB=AC=10，BC=22，
∵10+10=20<22，
∴不能构成三角形，舍去，
当AB+AD=27时，即3x=27，解得x=9，
则BC=15-9=6，
则AB=AC=18，BC=6，
∵18+6=24>18，18-6=12<18，
∴能构成三角形，
∴这个三角形的底边长为6.
故答案为：6.
【分析】根据中线的概念设AD=CD=x，则AB=AC=2x，当AB+AD=15时，求出x的值，然后求出BC的值，再根据三角形的三边关系判断即可；当AB+AD=27时，同理求出x的值，得到BC的值，根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，据此解答.
14．如图， 中， ， ，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 　 　 ．
【答案】81
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
根据作图痕迹可得AD是 平分线，
∴ ，
根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：81．
【分析】根据作图痕迹可得AD是 平分线，根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，得出，求出的度数，即可得出 的度数。
15．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需添加一个条件 　 　 ．（写一个即可）
【答案】AB＝AC（答案不唯一）
【解析】【解答】解：补充的条件是AB＝AC，理由如下：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法解答即可.
16．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为　 　.
【答案】2
【解析】【解答】连接AO，作AD⊥BC于D
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
∴OE+OF=AD
又AD=2
∴OE+OF=2
故答案为2.
【分析】连接AO，作AD⊥BC于D，根据等面积法即可得出答案.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图， ， ，点 、 在 上， ，再添加一个什么条件后可推出 ，写出添加的条件并完成证明.
【答案】可添加AB=CD，理由如下：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵ ， ，
∴∠B=∠C=90°，
在△ABF和△DCE中， ，
∴△ABF≌△DCE，
∴AF=DE.
【解析】【分析】根据线段的和差关系可得BF=CE，故添加AB=CD即可利用SAS证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质即可得出AF=DE.
18． 如图，，，，经过点D．
（1）求证：；
（2）和有何数量和位置关系？请说明理由；
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
在和中，
∴（）．
（2）解：，且，理由如下：
由（1）知且
在Rt中，，
∴，
即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，再利用SAS证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）根据三角形全等求出 ， 再利用三角形的面积公式求解即可。
19．如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°．求∠BDC的度数．
【答案】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠1+∠DBC+∠2+∠BCD=180°，
∴∠DBC+∠BCD=180°-∠A-∠1-∠2
=180°-62°-20°-35°
=63°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）
=180°-63°
=117°.
【解析】【分析】在△ABC中， 利用三角形内角和定理先求出∠DBC和∠BCD之和， 然后在△BDC中利用三角形的内角和定理即可求出∠BDC的大小.
20．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
【答案】解：连接AC．
∵AB=2，BC=4，
在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．
∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，
在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，
∴1＜AD＜13．
故AD的取值范围是1＜AD＜13．
【解析】【分析】连接AC，将四边形的问题转化为三角形的问题，利用三角形的三边关系定理求出AC的取值范围，利用不等式的性质，就可推出 ﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13 ，再在△ACD中，利用三角形三边关系定理求出AD的取值范围。
21．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C，试猜想：随着点A，B的移动，∠ACB的大小是否发生变化，并说明理由．
【答案】解：∠ACB的大小不变．
理由：∵AC平分∠OAB（已知），
∴∠BAC= ∠OAB（角平分线的定义），
∵BC平分∠OBD（已知），
∴∠CBD= ∠OBD（角平分线定义），
∠OBD=∠MON+∠OAB（三角形的外角性质），∠CBD=∠ACB+∠BAC（三角形的外角性质），
∴∠ACB=∠CBD-∠BAC= （∠MON+∠OAB）- ∠OAB= ∠MON= ×90°=45°．
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠OBD=∠OAB+∠MON，∠CBD=∠ACB+∠CAB，再根据角平分线的定义∠BAC= ∠OAB，∠CBD= ∠OBD，代入整理即可得到∠ACB= ∠MON=45°．
22．如图所示，在△ABC中，AB=BC.
（1）如图(1)所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC=90°.求证：MN=AM+CN.
（2）如图(2)所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，则MN=AM+CN是否成立 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，
∴∠AMB=∠BNC=90°.
∴∠MAB+∠ABM=90°.
∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠NBC=90°.
∴∠MAB=∠NBC.
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN(AAS).
∴AM=BN，BM=CN.
∴MN=BN+BM=AM+CN.
（2）解：MN=AM+CN成立.理由如下：
设∠AMB=∠ABC=∠BNC=α，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠CBN=180°-α.
∴∠BAM=∠CBN.
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN(AAS).
∴AM=BN，BM=CN.
∴MN=BN+BM=AM+CN.
【解析】【分析】（1）首先根据AAS证明 △ABM≌△BCN ，根据全等三角形的性质，即可得出 AM=BN，BM=CN，进而得出结论MN=BN+BM=AM+CN；
（2）MN=AM+CN成立. 首先根据AAS证明 △ABM≌△BCN ，根据全等三角形的性质，即可得出 AM=BN，BM=CN，进而得出结论MN=BN+BM=AM+CN；
23．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：①20；70
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，∴∠EDF＝80°，又∵∠ODE＝140°，∴∠ODP＝140°-80°＝60°，∴x＝60；
（2）解：存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°-x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°-x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°-90°，∠EFD＝180°-20°-x°＝160°-x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°-x°＝4（x°-90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【解析】【解答】解：①∵，平分，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，，
当时，，
即，
故答案为：，；
【分析】（1）①根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得的度数，根据求出的值；
②根据三角形内角和求出，根据平行的性质的度数，相减即可得的值；
（2）分两种情况进行讨论：在左侧，在右侧，分别根据三角形内角和定理，可得的值．
24．已知，点E是线段之间的一点．
（1）如图1，连接、．若，，求的度数；
（2）如图2，线段把这个封闭区域分为两部分（不含边界），且点E在这个封闭区域内，请求出、、之间的数量的关系．
【答案】（1）解：如图，延长CE交AB于点G，
∵，
∴，
又∵，
∴=70°；
（2）解：∠EMB、∠END、∠MEN之间的数量的关系为∠MEN=∠EMB+∠END或∠MEN+∠EMB+∠END=360°，理由如下：
如图，当点E在MN的右侧时，延长NE交AB于点F，
∵，
∴，
∵，
∴．
如图，当点E在MN的左侧时，延长ME交CD于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴∠EMB、∠END、∠MEN之间的数量的关系为∠MEN=∠EMB+∠END或∠MEN+∠EMB+∠END=360°.
【解析】【分析】（1）延长CE交AB于点G，由二直线平行，内错角相等，得∠AGC=∠C=50°，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由∠AEC=∠A+∠AGC计算即可；
（2）∠EMB、∠END、∠MEN之间的数量的关系为∠MEN=∠EMB+∠END或∠MEN+∠EMB+∠END=360°，理由如下：分类讨论：当点E在MN的右侧时，延长NE交AB于点F，由二直线平行，内错角相等，得∠MFN=∠END，进而根据三角形外角相等及等量代换可得∠MEN=∠EMB+∠END；当点E在MN的左侧时，延长ME交CD于点H，由二直线平行，同旁内角互补可得∠EMB+∠MHN=180°，根据三角形外角性质及邻补角定义可得∠MEN=∠MHN+∠ENH，∠END+∠ENH=180°，从而可求出∠MEN+∠EMB+∠END=360°，综上即可得出答案.
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