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特殊三角形 单元知识巩固卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．如果，那么
C．若，则 D．同位角相等，两直线平行
3．如图， ， ，点 在 边上， ， 和 相交于点 ，若 ，则 为（　　）度.
A． B． C． D．
4．在中，，于点D，若，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列线段能组成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，2 B．3，4，5 C． ，2， D．5，6，7
6．直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（　　）
A．ab＝h2 B．a2＋b2＝2h2
C． ＋ ＝ D． ＋ ＝
7．在一张长为8，宽为6的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5的等腰三角形（要求：等
腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下
的等腰三角形的底边长不可能是 （　　）
A． B． C． D．
8．如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线两点，连接，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2，3)，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．35° C．60° D．70°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，以 为圆心，以 长为半径画弧交 轴正半轴于点 ，则点 的横坐标为　 　．
12．已知：如图，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形，其中正确的有　 　
13．如图，在 中，∠ABC＝90°，分别以 的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为100，76．则字母a代表的正方形的面积是　 　．
14．如图，在 中， ， ， ， ，则 　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝20°，则∠DCF＝　 　°
16．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有　 　．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
18．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF=7米，AF=24米，AB=18米，求CE的长度．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒
内将船从A处移动到岸边点F的位置？
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.点P从点C出发，沿CA边向点A以3cm/s的速度运动，同时另一点Q从点C出发，沿CB边向点B以4cm/s的速度运动，经过几秒两点相距40cm
20．如图，在中，，，过点作，求的度数．
21．如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
23． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
24．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”），理由：过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则的长为______．（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
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特殊三角形 单元知识巩固卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A.
【分析】将一个图形沿着某一条直线对折，若直线两旁的部分可以完全重合，则这个图形就是轴对称图形. 根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．下列命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．如果，那么
C．若，则 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】【解答】解：A：逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，不符合要求；
B：逆命题为“若a2=b2，则a=b”，是假命题，不符合要求；
C：逆命题为“若a2>b2，则a>b”，是假命题，不符合要求；
D：逆命题为“两直线平行，同位角相等”，是真命题，符合要求；
故答案为：D。
【分析】根据原命题，写出逆命题，即可判断。
3．如图， ， ，点 在 边上， ， 和 相交于点 ，若 ，则 为（　　）度.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）.
∴EC=ED，∠C=∠BDE.
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=40°，
∴∠C=∠EDC=70°，
∴∠BDE=∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】在△AOD和△BOE中，根据三角形的内角和及等式的性质得出∠BEO=∠2，进而根据等量代换得出∠AEC=∠BED，然后利用ASA判断出△AEC≌△BED，根据全等三角形的性质得出EC=ED，∠C=∠BDE，最后根据三角形的内角和及等边对等角即可算出∠BDE的度数。
4．在中，，于点D，若，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：
，，
，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得。
5．下列线段能组成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，2 B．3，4，5 C． ，2， D．5，6，7
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；
C、∵( )2+22≠( )2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析即可．
6．直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（　　）
A．ab＝h2 B．a2＋b2＝2h2
C． ＋ ＝ D． ＋ ＝
【答案】D
【解析】【解答】设直角三角形的斜边为c，
直角三角形的面积为ab=ch，∴c=，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴a2+b2=，
两边同除以a2b2，得.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的面积的计算方法，求出斜边c，利用勾股定理得a2+b2=c2，从而可得a2+b2=，据此逐一判断即可.
7．在一张长为8，宽为6的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5的等腰三角形（要求：等
腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下
的等腰三角形的底边长不可能是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 情况一：顶点A与相邻两边上的点构成等腰三角形
设顶点A为(0，0)，另一顶点在长边（x轴）上为B(a，0)，第三顶点在宽边（y轴）上为C(0，b)，腰长AB=AC=5。
则有：
但矩形宽仅6cm，长8cm，因此a≤8，b≤6。当a=5时，底边BC的长度为：
当b=5时，底边BC同理为，但此时顶点C(0，5)在宽边内，符合条件。
情况二：顶点A与对边上的点构成等腰三角形
假设顶点A(0，0)，另一顶点D在对边上，如D(8，y)或D(x，6)，需满足AD=5：
若D在(8，y)，则：
无解
若D在(x，6)，则：
无解
因此这种情况不可能。
情况三：顶点在矩形其他顶点的情况
-例如顶点B(8，0)，腰长为5，
另一顶点在宽边(8，y)或长边(x，0)，但计算类似，可能底边长仍为，
情况四：非相邻边的等腰三角形，
如顶点A(0，0)，另一顶点在(8，6)，但距离为，不符合腰长5。
验证选项中不可能的底边长
选项D为，而矩形对角线长为√(82+62)=10，但底边需小于对角线。
假设底边为，需存在两点距离为该值且满足腰长5。
例如，若两点坐标差为Δx和Δy，满足：
同时，从顶点到这两点的距离均为5：
和
通过代数计算，发现无法同时满足所有条件，因此选项D不可能。
故答案为：Ｄ.
【分析】分成四种情况计算情况一：顶点A与相邻两边上的点构成等腰三角形；情况二：顶点A与对边上的点构成等腰三角形；情况三：顶点在矩形其他顶点的情况；情况四：非相邻边的等腰三角形，分别计算出长度，然后验证选项即可．
8．如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线两点，连接，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由作图知：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-65°-65°=50°，
∵，
∴∠1=∠CAB=50°.
故答案为：B.
【分析】由作图知AB=AC，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=65°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB=50°，根据平行线的性质即可求解.
9．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2，3)，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为(-2，3)
∴利用勾股定理得：OP=
∴OA=OP=
∵点A在x轴的负半轴
∴点A的横坐标为-。
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出OP，进而得OA的长，然后根据点A在x轴的位置得出其横坐标即可。
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．35° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE= ∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故答案为：B.
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据轴对称的性质可得∠BAC=∠B'AC，根据等腰三角形的三线合一可得∠DAE=∠B'AE，从而得出∠CAE= ∠BAD=55°，利用直角三角形的性质可得∠ACB'的度数，从而得出∠ACB的度数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，以 为圆心，以 长为半径画弧交 轴正半轴于点 ，则点 的横坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过B作BE⊥AC于E，
∵点A（1，0），点B（3，1），
∴AE＝3﹣1＝2，BE＝1，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝AB＝ ，
∴OC＝OA+AC＝1+
故答案为：1+ ．
【分析】根据点A和点B的坐标求出BE=1，AE=2，继而根据勾股定理求出AB，求出AC，求出OC，求出答案即可。
12．已知：如图，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形，其中正确的有　 　
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°.故①正确；
∵MN垂直平分AB，∴DB=DA，即△ABD是等腰三角形，故③正确；
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠CBD=72° 36°=36°=∠ABD，故②正确；
∵∠BDC=180° 36° 72°=72°=∠C，
∴BC=BD，即△BCD是等腰三角形，故④正确.
故答案为：①②③④
【分析】根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理易得∠ABC=∠C=72°；根据线段垂直平分线性质知，AD=DB，根据等边对等角得出∠ABD=∠A=36°，根据三角形内角和定理得∠BDC=72°=∠C，所以BD=BC，从而即可一一判断得出答案.
13．如图，在 中，∠ABC＝90°，分别以 的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为100，76．则字母a代表的正方形的面积是　 　．
【答案】24
【解析】【解答】解：∵两个正方形的面积分别为100，76，
∴AB2＝76，AC2＝100，
∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴BC2＋AB2＝AC2，
∴BC2＝ ．
故字母a代表的正方形的面积是24
故答案为24．
【分析】利用勾股定理的特点即可求解．
14．如图，在 中， ， ， ， ，则 　 　．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
设∠B=∠C=x，则∠DAE=∠DEA=∠C+∠EDC=x+10°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴20°+10°+x+2x=180°，
∴x=50°，
∴∠DAE=∠DEA=60°，
∴∠ADE=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据等边对等角可得∠DAE=∠DEA，∠B=∠C，设∠B=∠C=x，利用三角形外角的性质可得∠DAE=∠DEA=∠C+∠EDC=x+10°，由∠BAC+∠B+∠C=180°，可求出x的值，从而求出结论.
15．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝20°，则∠DCF＝　 　°
【答案】35°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=∠B=∠BCD=90°，
∵ ∠DAF＝20°，
∴∠BAF=70°，
由折叠的性质得∠BAE=∠EAF=∠BAF=35°，∠AFE=∠B=90°，BE=EF，
∴∠AEB=∠AEF=55°，
∴∠FEC=70°，
∵ E为BC的中点，
∴CE=BE=EF，
∴∠ECF=∠EFC=55°，
∴ ∠DCF＝∠BCD-∠ECF=90°-55°=35°.
【分析】由正方形的性质得出∠DAB=∠B=∠BCD=90°，由折叠的性质得出∠BAE=∠EAF=35°，∠AFE=∠B=90°，BE=EF，由E为BC的中点得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质得出∠ECF=∠EFC=55°，即可求出∠DCF的度数.
16．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACO=22.5°，
∴，
∵，，
∴∠ABC=∠ACG，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可知所在直线垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
由上可知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故正确；
综上：正确，
故答案为：．
【分析】如图，设与交于点，根据等边对等角可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再结合垂直的定义，可求出的度数，可判断；先利用ASA证明，可推出，证明，可判断；先证垂直平分，可得，再证所在直线垂直平分，可得，进一步可推出，易证，则，即可得错误；先利用AAS证明，可得，可判断．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵
∴AC=BC
∵∠ACD=∠BCE，∠D=∠E=90°
∴(AAS)
（2）解：由（1）知：AC=BC=4
∴DB=DC+CB=4+3=7
在Rt△ADC中，
在Rt△ADB中，
【解析】【分析】
（1）由得出：AC=BC，再根据∠ACD=∠BCE，∠D=∠E=90°得出
（2）由AC=BC，求出DB的长，先根据勾股定理求出AD的长，再根据勾股定理求出AB的长.
18．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF=7米，AF=24米，AB=18米，求CE的长度．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒
内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】（1）解：∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，
答：CE的长为（25-）米；
（2）解：∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间，
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
【解析】【分析】（1）根据题意结合勾股定理求出AC和BC的长度，进而由CE＝AC﹣BC即可求出CE的长度；
（2）由题意得到：需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），进而可得到收绳时间为，进而即可求解.
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.点P从点C出发，沿CA边向点A以3cm/s的速度运动，同时另一点Q从点C出发，沿CB边向点B以4cm/s的速度运动，经过几秒两点相距40cm
【答案】解：设经过x（s）两点相距40cm，
则，
解得x=8．
【解析】【分析】设经过x（s）两点相距40cm，再根据勾股定理列式，求出答案即可.
20．如图，在中，，，过点作，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠BCA，再根据三角形内角和定理得出∠B=∠BCA=70°，根据平行线的性质得出∠ACD=∠A=40°，即可得出∠BCD的度数.
21．如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
【答案】证明：△APQ为等边三角形，证明如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
在△ABP与△ACQ中， ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，证明△ABP≌△ACQ，根据全等三角形的性质，证明得到等边三角形即可。
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
【答案】解：如图，连接AD， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD＝4， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝30°， ∵DC＝ AD＝2， ∴AC＝ . 故答案是 .
【解析】【分析】如图，连接AD，根据垂直平分线的性质可得BD＝AD，进而得到∠DAC的度数和DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可.
23． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，
，
∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF，
证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，
，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）证明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠HAG＝∠FAG，由垂直的定义得∠AGH＝∠AGF＝90°，从而用ASA证出△AHG≌△AFG，进而根据全等三角形的对应角相等得∠AHF＝∠AFH；
（2）在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：过点B作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF；由中点定义得BE＝CE，由二直线平行，内错角相等，得∠EBP＝∠C，从而可用ASA证△BEP≌△CEF；
（3）由全等三角形的对应边相等得BP＝CF，由二直线平行，同位角相等得∠BPH＝∠AFH，结合（1）的结论可得∠BPH＝∠AHF，由等角对等边得BH=BP，从而等量代换可得BH=CF.
24．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”），理由：过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则的长为______．（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】（1）
（2）解：， 解答过程如下：
如图，
过点作，交于点，则，，，
是等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，，
，，
，
，
，
∵，，，
，
，
.
（3）解：图形如下：
的长为 ：.
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：＝
（3）解：如图，
过点作，交的延长线于点，则，，，
是等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
∵，，，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据得，再根据是等边三角形得，然后证，得，即可得答案.
（2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论.
（3）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证，则，即可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：＝
（2）解：过点作，交于点，
则，，，
是等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：＝
（3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示：
则，，，
是等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
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