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三角形 单元知识巩固卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中，，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知 ，则 一定是 的（　　）
A．角平分线 B．高线 C．中线 D．无法确定
3．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知线段 =6cm， =8cm，则下列线段中，能与 ， 组成三角形的是（　　）
A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm
5．如图，五边形ABCDE中，AB//CD，则∠1+∠2+∠3等于（　　）
A．90° B．180° C．210° D．270°
6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2、2、4 B．8、6、3 C．2、6、3 D．11、4、6
7．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，直线AB∥CD，，∠MPA＝32°，则的度数是（　　）
A．58° B．122° C．132° D．148°
10．将直角三角板和长方形直尺ABCD按如图方式叠放在一起，EG、AD交于点M，连接MF，．下列三个结论：① 若，则FG平分；②；③ 若FE平分，MF平分，则．其中正确的结论有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，，，则　 　．
12．如图，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝　 　.
13．如图，△ABC的周长为32，AB=AC，AD是中线，若△ACD的周长为24，则AD的为　 　。
14． 在中，，中线，则边的取值范围是　 　.
15．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACD＝70°，则∠DAE＝　 　．
16．已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点.若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC=　 　°.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，求△ABC的三个内角度数．
18．如图所示，在中，是角平分线，是边上的高，，，求和的度数．
19．如图，△ABC中，BD是角平分线，∠ABC=∠C=∠BDC，求∠A的度数．
20．已知；如图．
（1）与平行吗？什么？
（2）若，求：的度数．
21．如图，在△ABC中，∠B=36°， ∠C=66°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数.
22．如图，在△中，，垂足为，平分．已知 ；求的度数．
23．如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点都不与点重合，交于点设．
（1）如图，当时，
求的度数；
若，求的值．
（2）如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
24．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　 　°，∠Q　 　°；
（2）若∠A＝x°时，求∠DPC、∠Q的度数（用含x的代数式表示）；
（3）若△PCQ中∠Q＝3∠QPC，求∠A的度数．
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三角形 单元知识巩固卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中，，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝135°，
∴∠AFD＝135°+30°＝165°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，根据邻补角的定义求出∠EAF＝135°，然后利用三角形外角的性质可得∠AFD＝135°+30°＝165°，根据邻补角的定义可得∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°.
2．如图，已知 ，则 一定是 的（　　）
A．角平分线 B．高线 C．中线 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】因为 ，所以 一定是 的中线.
【分析】根据三角形中线的定义可知.
3．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项不符合题意；
B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项符合题意；
C、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项不符合题意；
D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断.
4．已知线段 =6cm， =8cm，则下列线段中，能与 ， 组成三角形的是（　　）
A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】B
【解析】【解答】A.2+6=8，故不能组成三角形，
B.6+8=14>12，故能组成三角形，
C. 6+8=14，故不能组成三角形，
D.6+8=14<16，故不能组成三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差都小于第三边作出判断即可.
5．如图，五边形ABCDE中，AB//CD，则∠1+∠2+∠3等于（　　）
A．90° B．180° C．210° D．270°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF//AB，而
EF//AB//DC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】过点E作EF//AB，而 AB//CD，得到EF//AB//DC，再利用平行线的性质求解即可。
6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2、2、4 B．8、6、3 C．2、6、3 D．11、4、6
【答案】B
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、2+2=4，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+6＞8，能够组成三角形，符合题意；
C、3+2=5＜6，不能组成三角形，不符合题意；
D、4+6＜11，不能组成三角形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边指出小于第三边可求解。
7．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、．
．
图案是由一张等宽的纸条折成的，
，
而纸条的长边平行，
，
．
故答案为：C．
【分析】本题首先根据对顶角相等和三角形内角和定理，可以列出∠2的计算公式，然后根据折叠的性质，可以得出，最后根据“两直线平行、内错角相等”，可以求出，代入计算即可。
8．已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵三角形的三边长分别为4，a，8，
∴ ，即 ，
∴在数轴上表示为A选项．
故答案为：A．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-49．如图，直线AB∥CD，，∠MPA＝32°，则的度数是（　　）
A．58° B．122° C．132° D．148°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠M=90°，∠MPA=32°，
∴∠BFE=∠M+∠MPA=122°，
∵AB∥CD，
∴∠MEC=∠BFE=122°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的外角的性质可证得∠BFE=∠M+∠MPA，代入计算求出∠BFE的度数；再利用两直线平行，内错角相等，求出∠MEC的度数.
10．将直角三角板和长方形直尺ABCD按如图方式叠放在一起，EG、AD交于点M，连接MF，．下列三个结论：① 若，则FG平分；②；③ 若FE平分，MF平分，则．其中正确的结论有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：①由题意得∠EFG=∠MFG+∠MFG=90°，
∵∠CFG+∠EFG+∠BFE=180°，
∴∠CFG+∠BFE=180°-∠EFG=90°，
∴∠CFG=90°-∠BFE，
∵，∠BFE=α，
∴∠MFG=90°-α，∠CFG=90°-∠BFE=90°-α，
∴∠MFG=∠CFG，
∴FG平分，故①正确；
②设FG与AD交于点H，如图，
∵AD∥BC，∠CFG=90°-α，
∴∠GHD=∠CFG=90°-α，
∴∠GHD=∠GMD+∠G，即90°-α=∠GMD+30°，
∴∠GMD=60°-α，故②正确；
③∵FE平分∠BFM，∠BFE=α，
∴∠BFE=∠MFE=α，∠BFM=2∠BFM=2α，
∵AD∥BC，
∴∠DMF=∠MFB=2α，
∵MF平分∠EMD，
∴∠EMF=∠DMF=2α，
在△MEF中，∠E=60°，
∴∠E+∠MFE+∠EMF=180°，即60°+α+2α=180°，
解得α=40°，故③正确，
综上可知：正确的结论有①②③.
故答案为：D.
【分析】由题意得∠EFG=∠MFG+∠MFG=90°，由平角的定义得∠CFG+∠EFG+∠BFE=180°，从而求出∠MFG=90°-α，∠CFG=90°-∠BFE=90°-α，据此判断①；设FG与AD交于点H，由AD∥BC可得
∴∠GHD=∠CFG=90°-α，再根据∠GHD=∠GMD+∠G可得90°-α=∠GMD+30°，据此判断②；由FE平分∠BFM可得∠BFE=∠MFE=α，∠BFM=2∠BFM=2α，根据AD∥BC可得∠DMF=∠MFB=2α，
由MF平分∠EMD可得∠EMF=∠DMF=2α，再利用三角形内角和可求出α的度数，据此判断③.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，，，则　 　．
【答案】72
【解析】【解答】解：如图，连接AP并延长至点D，
有由意可得：
∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠B+∠CAP+∠C=123°
∴∠BAC+∠B+∠C=123°，
∵∠B=20°，∠C=31°，
∴∠BAC=123°-∠B-∠C=72°
故答案为：72.
【分析】连接AP并延长至点D，利用∠BPD=∠BAP+∠B，∠CPD=∠CAP+∠C，得∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠B+∠CAP+∠C=123°，即∠BAC+∠B+∠C=123°，代入∠B=20°，∠C =31°，即可求解.
12．如图，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝　 　.
【答案】70°
【解析】【解答】解：，∠ABE＝142°，∠C＝72°
故答案为：70°.
【分析】由外角的性质可得∠ABE=∠A+∠C，据此计算.
13．如图，△ABC的周长为32，AB=AC，AD是中线，若△ACD的周长为24，则AD的为　 　。
【答案】8
【解析】【解答】解：∵AD是中线，
∴BD=DC.
∵AB+AC+BC=32，
即AB+BD+CD+AC=32，
∴AC+DC=16
∵AC+DC+AD=24
∴AD=8.
故答案为：8.
【分析】根据中线的定义可得到BD=DC，然后根据三角形的周长定义求解即可.
14． 在中，，中线，则边的取值范围是　 　.
【答案】4<24
【解析】【解答】解：如图，
∵，中线 ，
∴2∴4<2BD<24，
∵AD为中线，
∴BC=2BD，
∴4故答案为：4【分析】根据三角形三边关系得出BD的范围，进而得出答案.
15．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACD＝70°，则∠DAE＝　 　．
【答案】20°
【解析】【解答】解：，
.
，
.
，，
.
是角平分线，
，
．
故答案为：20°.
【分析】根据三角形的内角和定理求出和度数，再利用角平分线求出的度数，最后利用求解即可．
16．已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点.若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC=　 　°.
【答案】10°或50°或130°
【解析】【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠CBE= ∠ABC=40°，
∴∠BEC=90°-40°=50°；
②如图2，当CE⊥AB时，
∵∠ABE= ∠ABC=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°；
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°-90°-40°-40°=10°；
综上所述：∠BEC的度数为10°，50°，130°，
故答案为：10°，50°，130°.
【分析】当CE⊥BC时，首先由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的概念可得∠CBE的度数，据此求解；
当CE⊥AB时，根据角平分线的概念可得∠ABE的度数，然后根据直角三角形两锐角互余就可得到∠BEC的度数；
当CE⊥AC时，根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，求△ABC的三个内角度数．
【答案】解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x， 根据题意得x+3x+5x=180°
解得x=20° 则3x=60° 5x=100° 所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°
【解析】【分析】根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，即可得到三角形的内角的度数。
18．如图所示，在中，是角平分线，是边上的高，，，求和的度数．
【答案】解：∵是平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵是边上的高，
∴，
∴，．
【解析】【分析】根据是角平分线，可得，利用角的和差关系可求得∠BAD、∠CAD的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
19．如图，△ABC中，BD是角平分线，∠ABC=∠C=∠BDC，求∠A的度数．
【答案】解：设∠DBC=x，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC=x，则∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，即2x=∠A+x，
∴∠A=x，
∴x+2x+2x=180°，
解得，x=36°，
∴∠A的度数为36°．
【解析】【分析】设∠DBC=x，则∠ABC=∠C=∠BDC=2x，再结合∠BDC=∠A+∠ABD，可得2x=∠A+x，求出∠A=x，根据题意列出方程x+2x+2x=180°， 再求出x的值即可。
20．已知；如图．
（1）与平行吗？什么？
（2）若，求：的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴．
【解析】【分析】（1）由，证得，得出，求出，集合号内错角相等，两直线平行，即可证得；
（2）由，结合，求得，进而求得，结合（1）中的，即可得到答案.
21．如图，在△ABC中，∠B=36°， ∠C=66°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数.
【答案】 解： ∵∠B=36°，∠C=66°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE= ∠BAC= ×78°=39°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-36°=54°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=54°-39°=15°
【解析】【分析】根据三角形的内角和算出 ∠BAC 的度数，根据角平分线的定义得出 ∠BAE 的度数，根据直角三角形的两锐角互余得出∠BAD的度数，最后根据角的和差，由 ∠DAE=∠BAD-∠BAE即可算出答案。
22．如图，在△中，，垂足为，平分．已知 ；求的度数．
【答案】解：∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠ADB=90°，由余角的性质可得∠BAD=90°-∠B=20°，则∠BAE=∠BAD+∠EAD=42°，由角平分线的概念可得∠BAC=84°，然后根据内角和定理进行计算.
23．如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点都不与点重合，交于点设．
（1）如图，当时，
求的度数；
若，求的值．
（2）如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：平分，，
，
，
；
，
，
，
，
，即；
（2）平分，，
，
，
，
，
当时，如图，
则，
，
，即；
当时，如图，
则，
，即；
当，且点在线段上，如图，
，
，；
当，且点在射线上，如图，
，即，
，
，即．
综上，的值为或或或．
【解析】【分析】（1）①利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得；
②利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出，即可得到的值；
（2）分类讨论：①当时，②当时，③当且点在射线上，④当，且点在射线上，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
24．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　 　°，∠Q　 　°；
（2）若∠A＝x°时，求∠DPC、∠Q的度数（用含x的代数式表示）；
（3）若△PCQ中∠Q＝3∠QPC，求∠A的度数．
【答案】（1）115；25
（2）解：由（1）得：
由（1）知：∠DPC＝∠Q+∠PCQ
∴
（3）解：由（1）得：∠PCQ＝90°
当3∠QPC＝∠Q时
又因为∠QPC+∠Q＝90°
∴∠Q＝67.5°
∴∠A＝2∠Q＝135°
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠A＝50°，∠B ＝60°
∴∠ACB=70°，∠ACF=110°
∵CP 平分∠ACB
∴
∵DE ∥BC
∴∠PGD=∠BCP=35°，∠ADE=∠ABC=50°
∵DP 平分∠ADE
∴
∴ ∠DPC＝ 180°-∠PDG-∠PGD=180°-30°-35°=115°
同理：
∴∠PCQ=90°
∵∠DPC＋∠CPQ=180°，∠Q+∠PCQ＋∠CPQ=180°
∴∠DPC＝∠Q+∠PCQ
∴∠Q=115°-90°=25°.
故答案为：115；25.
【分析】（1）先根据三角形内角和定理，得出：∠ACB=70°，∠ACF=110°，再根据角平分线的定义，求出：，，根据两直线平行，同位角相等，得出：∠PGD=∠BCP=35°，然后利用三角形内角和定理求出 ∠DPC 的度数，由CP平分∠ACB，和CQ平分∠ACF，推出：∠PCQ=90°，再根据平角的定义和三角形内角和定理，得出∠DPC＝∠Q+∠PCQ，从而求出 ∠Q
（2）由（1）知：∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD，再根据角平分线定义，得出：∠DPC＝，由（1）知：∠DPC＝∠Q+∠PCQ，因此可以得到
（3）由（1）得：∠PCQ＝90°，因此∠QPC+∠Q＝90°，解得：∠Q＝67.5°，由（2）知：∠A＝2∠Q＝135°.
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