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第1节　直线的方程
[学习目标]
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
知识梳理
1.直线的方向向量
设A,B是直线上的两点,则就是这条直线的方向向量.
2.直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°,因此,倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3.直线的斜率
(1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α(α≠90°).
(2)过两点的直线的斜率公式.
如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=,斜率k的取值范围为R.
直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
当α=时,斜率不存在.
当k=0时,α=0;
当k>0时,α为锐角,且α随k的增大而增大;
当k<0时,α为钝角,且α随k的增大而增大.
4.直线的截距
若直线l与坐标轴分别交于(a,0),(0,b),则称 a为直线l在x轴上的截距(横截距),称b为直线l在y轴上的截距(纵截距).
(1)截距:可视为直线与坐标轴交点的简记形式,其取值可正,可负,可为0,“截距”不是
“距离”.
(2)横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直的直线.
5.直线方程的几种形式
形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x0,y0),斜率k y-y0=k(x-x0) 与x轴不垂直的直线
斜截式 纵截距b,斜率k y=kx+b 与x轴不垂直的直线
两点式 过两点(x1,y1),(x2,y2) = 与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式 横截距a,纵截距b +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 — Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内所有直线
方程Ax+By+C=0,当A,B不全为零时才能表示一条直线,若A,B全为零则不能表示一条
直线.当B≠0时,方程可变形为y=-x-,它表示过点(0,-),斜率为-的直线;当B=0,A≠0时,方程可变形为Ax+C=0,即x=-,它表示一条与x轴垂直的直线.
总结
直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量是a=(-B,A),当B ≠0时,其斜率为k=-;直线y=kx+b的一个方向向量是a=(1,k).
课后练习
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率.(　　)
(2) 倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴.(　　)
(3)若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ.(　　)
(4)若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ.(　　)
(5)所有直线的方程都可以写成一次函数y=kx+b的形式.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.(人教A版选择性必修第一册P65例5改编)经过点A(8,-2),斜率为-的直线方程为(　　)
A.x-2y-12=0 B.x+2y+4=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y-4=0
【答案】 D
【解析】 由题意,直线过点A(8,-2),
且斜率为-,
根据直线的点斜式方程,
可得y-(-2)=-(x-8),
即x+2y-4=0.故选D.
3.(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)过点A(1,-2),B(-1,0)的直线的倾斜角为(　　)
A.45° B.135° C.1 D.-1
【答案】 B
【解析】 过点A,B的直线斜率为k==-1,则该直线的倾斜角为135°.故选B.
4.(人教A版选择性必修第一册P58习题2.1 T7)过A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m的值为(　　)
A.-2或-1 B.-1
C. D.-2
【答案】 D
【解析】 因为过A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,
所以kAB=tan 45°=1,
即解得m=-2.故选D.
5.(人教A版选择性必修第一册P66练习T1改编)已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直线l的方程为　　　　　　.
【答案】 x-y-3=0
【解析】 由题意,直线l过点(3,0)和点(2,-1),所以其斜率为k==1,则直线l的方程为y=x-3,即x-y-3=0.
考点一　直线的倾斜角与斜率
[例1] (1)若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线,则m等于(　　)
A. B.- C.-2 D.2
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　　　　　.
【答案】 (1)A　(2)(-∞,-]∪[1,+∞)
【解析】 (1)由于A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线,则kAB=kAC,即=,解得m=.故选A.
(2)如图,因为kAP==1,kBP==-,所以k∈(-∞,-]∪[1,+∞).
[典例迁移1] (变设问)本例(2)条件不变,则直线l的倾斜角α的取值范围为　　　　.
【答案】 [,]
【解析】 由本例(2)可知,直线l的斜率k=tan α的取值范围为(-∞,-]∪[1,+∞),则倾斜角α的取值范围为[,].
[典例迁移2] (变条件)若将本例(2)中“P(1,0)”改为“P(-1,0)”,其他条件不变,则直线l的斜率的取值范围为　　　　.
【答案】 [,]
【解析】 设直线l的斜率为k1,则直线l的方程为y=k1(x+1),即k1x-y+k1=0.由题意得,A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,所以(2k1-1+k1)(-+k1)≤0,即(3k1-1)(k1-)≤0,解得≤k1≤.
(1)求倾斜角取值范围的一般步骤.
第一步:求出斜率k=tan α的取值范围;
第二步:利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
(2)斜率的求法.
①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率;
②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
考点二　求直线的方程
[例2] (1)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,则该直线方程为　 　　.
(2)已知一条直线经过点A(2,-),且它的倾斜角等于直线x-y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程为　　　　　　　　　　　　.
(3)经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且一个方向向量为v=(-3,2)的直线方程为
　　 .
【答案】 (1)4x-y+16=0或x+3y-9=0 (2)x-y-3=0　 (3)2x+3y-5=0
【解析】 (1)由题意知纵、横截距不为0,设直线方程为+=1,又直线过点(-3,4),从而+=1,解得a=-4或a=9.故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(2)由已知得直线x-y=0的斜率为,则其倾斜角为30°,故所求直线倾斜角为60°,斜率为,
故所求直线的方程为y-(-)=(x-2),即x-y-3=0.
(3)联立解得所以直线过点(1,1).因为直线的一个方向向量为v=(-3,2),
所以直线的斜率k=-,则直线的方程为y-1=-(x-1),即2x+3y-5=0.
求直线方程时的注意点
(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零.
(3)截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意截距为0的情况,以防漏解.
[针对训练]
(1)(2025·贵州贵阳模拟)已知直线l倾斜角的余弦值为-,且经过点(2,1),则直线l的方程为(　　)
A.2x+y-5=0 B.2x-y-3=0
C.x-2y=0 D.x+2y-4=0
(2)(多选题)(2025·浙江金华模拟)过点A(3,4),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是(　　)
A.4x-3y=0 B.x-y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y-7=0
【答案】 (1)A　(2)ABD
【解析】 (1)设直线l的倾斜角为θ∈[0,π),由cos θ=-,可得sin θ==,
则直线l的斜率k=tan θ==-2,且直线l经过点(2,1),所以直线l的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.故选A.
(2)直线在两坐标轴上截距的绝对值相等,即|a|=|b|,则a=b或a=-b.
当a=b=0时,直线设为y=kx,将A(3,4)代入,解得k=,此时直线方程为y=x,即4x-3y=0,
故A正确;
当a=b≠0时,直线设为+=1,即+=1,将A(3,4)代入,解得a=b=7,此时直线方程为+=1,
即x+y-7=0.故D正确;
当a=-b≠0时,直线设为+=1,即+=1,将A(3,4)代入,解得a=-1,b=1,此时直线方程为+=1,即x-y+1=0,故B正确.故选ABD.
考点三　直线方程的综合应用
[例3] 已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.
【解】 法一　设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A(2-,0),B(0,1-2k),
S△AOB=(1-2k)· (2-)=[4+(-4k)+(-)]≥×(4+4)=4,当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立.
故直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
法二　设直线l:+=1,且a>0,b>0,因为直线l过点M(2,1),所以+=1,则1=+≥2,当且仅当==时,等号成立,此时a=4,b=2,
且ab≥8,故S△AOB的最小值为×ab=×8=4,
直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.
与直线有关问题求解的常用方法
(1)与直线的倾斜角、斜率、方程等有关的最值问题,常常转化为求函数最值、利用基本不等式求最值等.
(2)直线过定点问题,令直线方程参数项系数为0,得到两个关于直线方程中的变量的方程组求解得到定点坐标.
[针对训练]
已知直线l过点M(1,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点.
当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,求直线l的方程.
【解】 设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),且+=1,则a+b=ab,所以|MA|2+|MB|2=(a-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(b-1)2=4+a2+b2-2(a+b)=4+a2+b2-2ab=4+(a-b)2≥4,
当且仅当a=b=2时,等号成立,此时直线l的方程为x+y-2=0.第1节　直线的方程
[学习目标]
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
知识梳理
1.直线的方向向量
设A,B是直线上的两点,则就是这条直线的方向向量.
2.直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的 .当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ,因此,倾斜角α的取值范围为 .
3.直线的斜率
(1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= (α≠90°).
(2)过两点的直线的斜率公式.
如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=,斜率k的取值范围为R.
直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
当α=时,斜率不存在.
当k=0时,α=0;
当k>0时,α为锐角,且α随k的增大而增大;
当k<0时,α为钝角,且α随k的增大而增大.
4.直线的截距
若直线l与坐标轴分别交于(a,0),(0,b),则称 为直线l在x轴上的截距(横截距),称b为直线l在y轴上的截距(纵截距).
(1)截距:可视为直线与坐标轴交点的简记形式,其取值可正,可负,可为0,“截距”不是
“距离”.
(2)横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直的直线.
5.直线方程的几种形式
形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x0,y0),斜率k 与x轴不垂直的直线
斜截式 纵截距b,斜率k 与x轴不垂直的直线
两点式 过两点(x1,y1),(x2,y2) = 与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式 横截距a,纵截距b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 — Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内所有直线
方程Ax+By+C=0,当A,B不全为零时才能表示一条直线,若A,B全为零则不能表示一条
直线.当B≠0时,方程可变形为y=-x-,它表示过点(0,-),斜率为-的直线;当B=0,A≠0时,方程可变形为Ax+C=0,即x=-,它表示一条与x轴垂直的直线.
总结
直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量是a=(-B,A),当B ≠0时,其斜率为k=-;直线y=kx+b的一个方向向量是a=(1,k).
课后练习
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率.(　　)
(2) 倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴.(　　)
(3)若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ.(　　)
(4)若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ.(　　)
(5)所有直线的方程都可以写成一次函数y=kx+b的形式.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P65例5改编)经过点A(8,-2),斜率为-的直线方程为(　　)
A.x-2y-12=0 B.x+2y+4=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y-4=0
3.(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)过点A(1,-2),B(-1,0)的直线的倾斜角为(　　)
A.45° B.135° C.1 D.-1
4.(人教A版选择性必修第一册P58习题2.1 T7)过A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m的值为(　　)
A.-2或-1 B.-1
C. D.-2
5.(人教A版选择性必修第一册P66练习T1改编)已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直线l的方程为 .
考点一　直线的倾斜角与斜率
[例1] (1)若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线,则m等于(　　)
A. B.- C.-2 D.2
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .
[典例迁移1] (变设问)本例(2)条件不变,则直线l的倾斜角α的取值范围为 .
[典例迁移2] (变条件)若将本例(2)中“P(1,0)”改为“P(-1,0)”,其他条件不变,则直线l的斜率的取值范围为 .
(1)求倾斜角取值范围的一般步骤.
第一步:求出斜率k=tan α的取值范围;
第二步:利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
(2)斜率的求法.
①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率;
②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
考点二　求直线的方程
[例2] (1)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,则该直线方程为 .
(2)已知一条直线经过点A(2,-),且它的倾斜角等于直线x-y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程为 .
(3)经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且一个方向向量为v=(-3,2)的直线方程为
.
求直线方程时的注意点
(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零.
(3)截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意截距为0的情况,以防漏解.
[针对训练]
(1)(2025·贵州贵阳模拟)已知直线l倾斜角的余弦值为-,且经过点(2,1),则直线l的方程为(　　)
A.2x+y-5=0 B.2x-y-3=0
C.x-2y=0 D.x+2y-4=0
(2)(多选题)(2025·浙江金华模拟)过点A(3,4),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是(　　)
A.4x-3y=0 B.x-y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y-7=0
考点三　直线方程的综合应用
[例3] 已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.
与直线有关问题求解的常用方法
(1)与直线的倾斜角、斜率、方程等有关的最值问题,常常转化为求函数最值、利用基本不等式求最值等.
(2)直线过定点问题,令直线方程参数项系数为0,得到两个关于直线方程中的变量的方程组求解得到定点坐标.
[针对训练]
已知直线l过点M(1,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点.
当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,求直线l的方程.

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