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第3节　圆的方程
[学习目标]
1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的方程
(1)圆的定义:平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
(2)圆的标准方程:我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为 ,半径为 的圆的标准方程.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以坐标原点O为圆心,r为半径的圆.
(3)圆的一般方程:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
①当D2+E2-4F>0时,该方程表示以 为圆心, 为半径的圆,该方程叫做圆的一般方程;
②当D2+E2-4F=0时,该方程表示点(-,-);
③当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何图形.
二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则
2.点与圆的位置关系
已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点P(x0,y0),设d=|PC|=.
位置 关系 d与r的 大小关系 点P的坐标满足条件
点在 圆外 d>r
点在 圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在 圆内 (x0-a)2+(y0-b)21.圆的“直径式”方程:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.
2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
3.圆心在任一弦的垂直平分线上.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=r2(r∈R)表示圆心为(-a,-b),半径为r的圆.(　　)
(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则++Dx0+Ey0+F>0.(　　)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P88练习T1改编)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A.(2,3),3 B.(-2,3),
C.(-2,-3),13 D.(2,-3),
3.(人教A版选择性必修第一册P85练习T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25
C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25
4.(人教A版选择性必修第一册P83例1改编)若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围为 .
考点一　求圆的方程
[例1] (1)圆心在x轴上,且过点(-1,-3)的圆与y轴相切,则该圆的方程是(　　)
A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P88习题2.4 T4.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
[针对训练]
(1)(2025·湖南常德模拟)以点A(1,-2),B(3,4)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=10
B.(x-2)2+(y-1)2=
C.(x-2)2+(y+1)2=
D.(x-2)2+(y-1)2=10
(2)已知△ABC的三个顶点A(1,-2),B(0,5),C(-3,-4).那么△ABC的外接圆的一般方程是
.
考点二　与圆有关的轨迹问题
[例2] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
与圆有关的轨迹问题的四种求法
注意是否有“特殊点”需要“抠除”.
[针对训练]
古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,
设A(-3,0),B(3,0),动点M满足=2,则动点M的轨迹方程为 .
考点三　与圆有关的最值、范围问题
[例3] 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
[针对训练]
(1)(2025·陕西铜川模拟)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1经过点A(3,4),则其圆心到坐标原点的距离的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)(2025·吉林延边模拟)已知P(m,n)是圆C:(x-4)2+(y-4)2=8上的一个动点,则的取值范围为 . 第3节　圆的方程
[学习目标]
1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的方程
(1)圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
(2)圆的标准方程:我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以坐标原点O为圆心,r为半径的圆.
(3)圆的一般方程:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
①当D2+E2-4F>0时,该方程表示以(-,-)为圆心, 为半径的圆,该方程叫做圆的一般方程;
②当D2+E2-4F=0时,该方程表示点(-,-);
③当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何图形.
二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则
2.点与圆的位置关系
已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点P(x0,y0),设d=|PC|=.
位置 关系 d与r的 大小关系 点P的坐标满足条件
点在 圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点在 圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在 圆内 d1.圆的“直径式”方程:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.
2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
3.圆心在任一弦的垂直平分线上.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=r2(r∈R)表示圆心为(-a,-b),半径为r的圆.(　　)
(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则++Dx0+Ey0+F>0.(　　)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.(　　)
【答案】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.(人教A版选择性必修第一册P88练习T1改编)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A.(2,3),3 B.(-2,3),
C.(-2,-3),13 D.(2,-3),
【答案】 D
【解析】 圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径r=.故选D.
3.(人教A版选择性必修第一册P85练习T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25
C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25
【答案】 D
【解析】 由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0),
设所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),
将点P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2(r>0),
解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.故选D.
4.(人教A版选择性必修第一册P83例1改编)若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围为　　　　　.
【答案】 (-,)
【解析】 因为坐标原点(0,0)在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,所以(0-m)2+(0+m)2<4,解得-考点一　求圆的方程
[例1] (1)圆心在x轴上,且过点(-1,-3)的圆与y轴相切,则该圆的方程是(　　)
A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　　　.
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P88习题2.4 T4.
【答案】 (1)C　(2)(x-1)2+(y+1)2=5
【解析】 (1)设圆心坐标为(t,0),因为圆心在x轴上且圆与y轴相切,所以|t|即为半径,则根据题意得=|t|,解得t=-5,所以圆心坐标为(-5,0),半径为5,该圆的方程是(x+5)2+y2=25,展开得x2+y2+10x=0.故选C.
(2)法一(待定系数法)　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
解得
所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
法二(几何法)　设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,则kAB==-,AB的中点坐标为(,),所以AB的垂直平分线方程为y-=3(x-),即3x-y-4=0.联立解得M(1,-1),所以r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
[针对训练]
(1)(2025·湖南常德模拟)以点A(1,-2),B(3,4)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=10
B.(x-2)2+(y-1)2=
C.(x-2)2+(y+1)2=
D.(x-2)2+(y-1)2=10
(2)已知△ABC的三个顶点A(1,-2),B(0,5),C(-3,-4).那么△ABC的外接圆的一般方程是
　　　　　　　　　　　.
【答案】 (1)D　(2)x2+y2+6x-2y-15=0
【解析】 (1)A,B的中点坐标为(2,1),即圆心为(2,1),|AB|==2,所以圆的半径为,
所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.故选D.
(2)设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以△ABC的外接圆的一般方程是x2+y2+6x-2y-15=0.
考点二　与圆有关的轨迹问题
[例2] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【解】 (1)法一　设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,且BC,AC的斜率均存在,
所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,
所以·=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
法二　设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,
所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),且M是线段BC的中点,
所以由中点坐标公式得x=,y=,
所以x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,
即(x-2)2+y2=1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
与圆有关的轨迹问题的四种求法
注意是否有“特殊点”需要“抠除”.
[针对训练]
古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,
设A(-3,0),B(3,0),动点M满足=2,则动点M的轨迹方程为　　　　　　　　.
【答案】 (x-5)2+y2=16
【解析】 设M(x,y),由=2,得=4,可得(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,
即x2-10x+y2+9=0,整理得(x-5)2+y2=16,故动点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=16.
考点三　与圆有关的最值、范围问题
[例3] 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
【解】 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时(如图(1)),
图(1)
斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±.所以的最大值为,最小值为-.
(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图(2)所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±,所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
图(2)
(3)x2+y2表示圆上的一点与坐标原点距离的平方,由平面几何知识知,
在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离
为2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
[针对训练]
(1)(2025·陕西铜川模拟)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1经过点A(3,4),则其圆心到坐标原点的距离的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)(2025·吉林延边模拟)已知P(m,n)是圆C:(x-4)2+(y-4)2=8上的一个动点,则的取值范围为　　　　　　　.
【答案】 (1)C　(2)[2,6]
【解析】 (1)由圆C:(x-a)2+(x-b)2=1经过点(3,4),可得(3-a)2+(4-b)2=1,即(a-3)2+(b-4)2=1,
故圆心(a,b)的轨迹是以点A(3,4)为圆心,半径为1的圆,又|AO|==5,
所以圆C的圆心坐标到原点的距离的最大值为5+1=6.故选C.
(2)由题意可作图如图所示,表示点P到坐标原点O的距离,由|OC|=4,r2=8,
有|OC|-2≤|OP|≤|OC|+2,可得2≤|OP|≤6,故的取值范围为[2,6].

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