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第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
[学习目标]
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,直线与圆的方程联立消元所得一元二次方程的判别式为Δ)
位置关系 相离 相切 相交
图形
几何法 d r d r d r
代数法 (判别式法) Δ 0 Δ 0 Δ 0
判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法,用几何法比较简单.
2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|)
位置 关系 图形 数量的关系 公切线 条数
外离 4
外切 3
相交 2
内切 1
内含 0
1.圆的切线方程常用结论.
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,
两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式)左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.
3.两圆相交时公共弦的性质.
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)相交.
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程.
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)过圆外一点的直线与圆相离.(　　)
(2)在圆中最长的弦是直径.(　　)
(3)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　　)
(4)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　)
(5)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解,则直线与圆相切.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-4x+1=0的位置关系为(　　)
A.相交 B.相离 C.外切 D.内切
3.(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交或相切
C.相交 D.不能确定
4.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3)直线2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为 .
5.(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)已知圆C的方程为x2+(y-3)2=4,则过点P(2,-1)的圆C的切线方程为 .
考点一　直线与圆的位置关系
[例1] (1)(2025·江苏南京模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线y=kx+2与圆O恰有一个公共点,则k的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.
(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交;若定点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直线问题.
[针对训练]
直线y=k(x-5)-2(k∈R)与圆(x-3)2+(y+1)2=6的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
考点二　圆的切线、弦长问题
角度一　圆的弦长问题
[例2] 经过点P(-3,-1)且斜率为k的直线l与圆C:(x+1)2+(y-2)2=17相交于A,B两点,
若|AB|=4,则k的值为 .
直线被圆截得的弦长的两种求法
角度二　圆的切线问题
[例3] 若直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线l的方程为
.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P92例2.
(1)过一点求圆的切线方程的两种求法.
①代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况;
②几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.
特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.
(2)过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形
求解.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·四川达州模拟)已知圆心为M(0,1)的☉M与直线y=x-1相切,则直线x=-1被☉M截得的弦长为(　　)
A.2 B.1 C. D.2
2.(角度二)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 .
考点三　圆与圆的位置关系
[例4] (2025·山东青岛模拟)已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
圆与圆的位置关系的求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
[针对训练]
(多选题)已知C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0).则下列说法正确的是(　　)
A.当r=1时,圆C1与圆C2有4条公切线
B.当r=2时,y=1是圆C1与圆C2的一条公切线
C.当r=3时,圆C1与圆C2相交
D.当r=4时,圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-x+第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
[学习目标]
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,直线与圆的方程联立消元所得一元二次方程的判别式为Δ)
位置关系 相离 相切 相交
图形
几何法 d>r d=r d代数法 (判别式法) Δ<0 Δ=0 Δ>0
判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法,用几何法比较简单.
2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|)
位置 关系 图形 数量的关系 公切线 条数
外离 d>r1+r2 4
外切 d=r1+r2 3
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2| 1
内含 d<|r1-r2| 0
1.圆的切线方程常用结论.
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,
两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式)左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.
3.两圆相交时公共弦的性质.
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)相交.
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程.
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)过圆外一点的直线与圆相离.(　　)
(2)在圆中最长的弦是直径.(　　)
(3)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　　)
(4)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　)
(5)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解,则直线与圆相切.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-4x+1=0的位置关系为(　　)
A.相交 B.相离 C.外切 D.内切
【答案】 A
【解析】 圆O1:x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径为r1=1,圆O2:x2+y2-4x+1=0的圆心为O2(2,0),半径为r2=.
|O1O2|=2,r2-r1<|O1O2|3.(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交或相切
C.相交 D.不能确定
【答案】 B
【解析】 因为直线y=kx+1过定点(0,1),
而(0,1)在圆x2+y2=1上.故选B.
4.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3)直线2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为　　　　.
【答案】
【解析】 圆的圆心坐标为(1,2),半径r=2,圆心到直线的距离d==,
所以弦长l=2=2=.
5.(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)已知圆C的方程为x2+(y-3)2=4,则过点P(2,-1)的圆C的切线方程为　 .
【答案】 x=2或3x+4y-2=0
【解析】 当过点P的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,圆心C(0,3)到直线x=2的距离为2,此时直线x=2与圆C相切;当过点P的圆C的切线的斜率存在时,设切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,则圆心C(0,3)到切线的距离为=2,解得k=-,所以切线方程为-x-y-2×(-)-1=0,即3x+4y-2=0.
综上所述,切线方程为x=2或3x+4y-2=0.
考点一　直线与圆的位置关系
[例1] (1)(2025·江苏南京模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线y=kx+2与圆O恰有一个公共点,则k的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.
(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
【答案】 (1)B　(2)ABD
【解析】 (1)因为直线kx-y+2=0与圆O恰有一个公共点,所以直线与圆O相切.
法一(几何法)　圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2,所以圆心到直线的距离d==2,解得k=0.故选B.
法二(代数法)　由可得,(k2+1)x2+4kx=0,因为直线与圆O恰有一个公共点,
则Δ=16k2=0,解得k=0.故选B.
法三(点与圆的位置关系法)　如图,由直线y=kx+2过定点(0,2),设直线为l,定点为M,
由点M在圆O:x2+y2=4上,且直线与圆O相切,
故点M即为切点,故直线l⊥OM,即斜率k=0.故选B.
(2)圆心C(0,0)到直线l的距离d=,
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,
所以d==|r|,
则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2所以d= >|r|,
则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,
所以d=<|r|,
则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与圆C相切,故 D正确.故选ABD.
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交;若定点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直线问题.
[针对训练]
直线y=k(x-5)-2(k∈R)与圆(x-3)2+(y+1)2=6的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
【答案】 B
【解析】 直线y=k(x-5)-2(k∈R)恒过定点(5,-2),将定点(5,-2)代入圆的方程,
发现(5-3)2+(-2+1)2=5<6,则定点(5,-2)在圆(x-3)2+(y+1)2=6的内部,
所以直线与圆必相交.故选B.
考点二　圆的切线、弦长问题
角度一　圆的弦长问题
[例2] 经过点P(-3,-1)且斜率为k的直线l与圆C:(x+1)2+(y-2)2=17相交于A,B两点,
若|AB|=4,则k的值为　　　　.
【答案】 0或-
【解析】 由条件可知,圆C的半径r=,|AB|=4,所以圆心到直线l的距离d==3,
设直线l:y+1=k(x+3),即kx-y+3k-1=0,所以圆心(-1,2)到直线l的距离d==3,解得k=0或k=-.
直线被圆截得的弦长的两种求法
角度二　圆的切线问题
[例3] 若直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线l的方程为
　　　　　　　　.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P92例2.
【答案】 x+2y-3=0
【解析】 根据题意,圆M:x2+y2+4x-1=0,
即(x+2)2+y2=5,其圆心M(-2,0).
直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),
则P在直线l上,且MP与直线l垂直.
kMP==2,
则有-=-,则b=2a,
又由P在直线l上,
则-a+2b-3=0,
解得a=1,b=2,
则直线l的方程为x+2y-3=0.
(1)过一点求圆的切线方程的两种求法.
①代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况;
②几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.
特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.
(2)过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形
求解.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·四川达州模拟)已知圆心为M(0,1)的☉M与直线y=x-1相切,则直线x=-1被☉M截得的弦长为(　　)
A.2 B.1 C. D.2
【答案】 D
【解析】 因为圆心M(0,1)到直线y=x-1的距离d1==,即圆的半径r=d1=,
又圆心M(0,1)到直线x=-1的距离d2=1,所以直线x=-1被☉M截得的弦长为2=2.故选D.
2.(角度二)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】 设圆心为C(3,0),P为直线y=x+1上一动点,过点P向圆引切线,切点设为N,
所以|PN|min=()min=.又|PC|min==2,所以|PN|min=.
考点三　圆与圆的位置关系
[例4] (2025·山东青岛模拟)已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
(1)【证明】 因为C1:(x-1)2+(y-3)2=11,
圆心C1(1,3),半径r1=;
C2:(x-5)2+(y-6)2=16,
圆心C2(5,6),半径r2=4,
所以|C1C2|==5,
因为4-<|C1C2|=5<4+,
所以圆C1和圆C2相交.
(2)【解】 将两圆方程相减,
得公共弦所在直线方程是4x+3y-23=0.
圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离d==3,由此可得公共弦的长为l=2=2×=2.
圆与圆的位置关系的求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
[针对训练]
(多选题)已知C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0).则下列说法正确的是(　　)
A.当r=1时,圆C1与圆C2有4条公切线
B.当r=2时,y=1是圆C1与圆C2的一条公切线
C.当r=3时,圆C1与圆C2相交
D.当r=4时,圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-x+
【答案】 ABD
【解析】 由题意知C1(0,0)且圆C1的半径r1=1,C2(3,3)且圆C2的半径r2=r,故|C1C2|=3.
当r=1时,|C1C2|>2=r1+r2,即两圆相离,故有4条公切线,A正确;
当r=2时,y=1是圆C1的切线,又圆心C2到直线y=1的距离为d=2=r2,即y=1是圆C2的切线,
B正确;
当r=3时,|C1C2|>4=r1+r2,即两圆相离,C错误;
当r=4时,r2-r1=3<|C1C2|<5=r1+r2,即两圆相交,故有公共弦,
将两圆方程作差得(x-3)2+(y-3)2-(x2+y2)=15,整理得2x+2y-1=0,即为y=-x+,D正确.
故选ABD.

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