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第6节　双曲线
[学习目标]
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、
顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
其数学表达式为集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,
且c>a>0}.
若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞)
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系 c2=a2+b2
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=.
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为.
4.与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=λ(λ≠0).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(3)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的渐近线相同.(　　)
(4)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同,离心率相同.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知k∈R,则“-2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 若方程-=1表示双曲线,则(2-k)(2+k)>0,即-23.(2025·八省联考)双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±3x D.y=±4x
【答案】 C
【解析】 令x2-=0,得双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±3x.故选C.
4.(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线 -=-1的实轴长为　　　 　,离心率为　　 　　.
【答案】 10　
【解析】 双曲线 -=1中a2=25,b2=24,c2=25+24=49,所以a=5,b==2,c=7,所以实轴长为2a=10,离心率e==.
5.(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T8改编)与椭圆 +=1有公共焦点,且离心率e= 的双曲线的方程为　　　　　　 　　.
【答案】 -=1
【解析】 由 +=1可得焦点坐标分别为(0,-5),(0,5),由题意设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则c=5,e==,解得a=4,所以b2=c2-a2=25-16=9,所以双曲线的方程为-=1.
考点一　双曲线的定义及应用
[例1] (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=
　　　　.
【答案】 (1)B　(2)
【解析】 (1)如图,连接ON,PF1,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点.又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2|ON|=2.
因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.故选B.
(2)因为a2=b2=2,所以c=2,由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,
所以|PF1|=2|PF2|=4,
则cos∠F1PF2===.
[典例迁移1] (变条件,变设问)本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,
则△F1PF2的面积是多少
【解】 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,在△F1PF2中,由余弦定理,
得cos∠F1PF2==,所以|PF1|·|PF2|=8,所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2.
[典例迁移2] (变条件,变设问)本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,
则△F1PF2的面积是多少
【解】 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,因为·=0,所以
PF1⊥PF2,所以在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=4,所以=|PF1|·|PF2|=2.
双曲线定义的应用策略
(1)利用双曲线的定义可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,两边进行平方运算,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:
①距离之差的绝对值;
②2a<|F1F2|;
③焦点所在的坐标轴.
考点二　双曲线的标准方程
[例2] (1)(2025·山东济南模拟)已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的下焦点到渐近线的距离为3,离心率为2,则该双曲线的标准方程为(　　)
A.-x2=1 B.y2-=1
C.-=1 D.-=1
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版选择性必修第一册P124练习T4.
【答案】 (1)A　(2)D
【解析】 (1)由双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠1),又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1.故选A.
(2)依题意可知,双曲线的下焦点坐标为(0,-c),渐近线方程为y=±x,即ax±by=0,
故双曲线下焦点到渐近线的距离为==b=3.又该双曲线的离心率e===2,所以a2=3,该双曲线的标准方程为-=1.故选D.
求双曲线标准方程的常用方法
(1)定义法:根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在x轴上还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”.如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.
[针对训练]
(1)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,∠PF1F2=30°,且虚轴长为2,则双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.x2-=1
(2)经过点P(3,2),Q(-6,7)的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】 (1)D　(2)-=1
【解析】 (1)由题意可知|PF1|=,|PF2|=,2b=2,由双曲线的定义可得-=2a,即c=a.
又b=,c2=a2+b2,所以a=1,所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选D.
(2)设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为所求双曲线经过点P(3,2),Q(-6,7),
所以解得故所求双曲线的标准方程为-=1.
考点三　双曲线的几何性质
角度一　双曲线的渐近线
[例3] (2025·河南信阳模拟)如图,已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线与双曲线C的左支交于点A,B,若·=0,=,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【答案】 C
【解析】 依题意,设|AF1|=2m,则|BF1|=3m,|AF2|=2a+2m,|BF2|=2a+3m,
由·=0,得AF1⊥AF2,在Rt△BAF2中,25m2+(2m+2a)2=(3m+2a)2,
整理得5m2-am=0,因此m=, |AF1|=,|AF2|=,在Rt△F1AF2中,有()2+()2=(2c)2,整理得37a2=25c2,显然37a2=25(a2+b2),即=,
解得=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选C.
求双曲线渐近线方程的方法
(1)求双曲线中a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.
角度二　双曲线的离心率
[例4] (2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.
【答案】
【解析】 如图,由题可知A,B,F2三点的横坐标相等,设点A在第一象限,将x=c代入-=1,
得y=±,即A(c,),B(c,-),故|AB|==10,|AF2|==5,
又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入=5得b2=20,
故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===.
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e=直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
[针对训练]
1.(角度一)(2022·北京卷)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　.
【答案】 -3
【解析】 法一　依题意得m<0,双曲线的方程可表示为y2-=1,此时双曲线的渐近线的斜率为±=±,解得m=-3.
法二　依题意得m<0,令y2-=0,
得y=±x=±x,解得m=-3.
2.(角度二)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为　　　　.
【答案】
【解析】 如图,依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,
9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,故cos ∠F1AF2===,
又在△AF1F2中,cos ∠F1AF2==,整理得5c2=9a2,故e==.
微点提能10　椭圆、双曲线中的二级结论
1.焦点三角形的面积及离心率公式
(1)设P点是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任意一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则有下列结论.
①|PF1||PF2|=;②=b2tan ;③e=.
(2)设P点是双曲线-=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任意一点,F1,F2为其焦点,
记∠F1PF2=θ,则有下列结论.
①|PF1||PF2|=;②=;③e=.
2.中心弦的性质
设A,B为圆锥曲线上关于原点对称的两点,点P是曲线上与A,B不重合的任意一点,
则kAP·kBP=e2-1.
3.中点弦的性质
设圆锥曲线以M(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
(1)若圆锥曲线为椭圆+=1(a>b>0),则 kAB=-,kAB·kOM=e2-1.
(2)若圆锥曲线为双曲线-=1(a>0,b>0),则kAB=,kAB·kOM=e2-1.
4.焦半径公式
(1)当点M(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=-ex0+a.
(2)当点M(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;
当点M(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的左支上时,有|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
5.焦点弦定理
(1)过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A,B两点,
且 ||=λ||,则椭圆的离心率等于||.
(2)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A,B两点,且||=λ||,则双曲线的离心率等于||.
方法一　利用中点弦的性质求离心率
[典例1] 已知斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆x2+=1交于A,B两点,线段AB的中点为C,直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1·k2等于(　　)
A.- B.-4 C.- D.-2
【答案】 B
【解析】 法一(点差法)　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),则k1=,k2=.
又+=1,+=1,两式相减可得(x1-x2)·(x1+x2)+=0,
所以2x0+=0,即1+=0,所以1+=0,所以k1·k2=-4.故选B.
法二(中点弦的性质)　k1·k2=-=-4.故选B.
(1)若AB是不过椭圆C:+=1(a>b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM=-.
(2)若AB是不过双曲线C:-=1(a>0,b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM=.
[拓展演练] 已知倾斜角为的直线与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 法一(点差法)　因为倾斜角为的直线与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,所以直线的斜率k=tan =1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,①
-=1,②
由①-②得=,
则k==·.
因为M(4,2)是弦AB的中点,
所以x1+x2=8,y1+y2=4.
因为直线的斜率为1,所以1=·,即=,b2=a2,所以c2=a2+b2=(1+)a2,
所以e2=,即e=.故选D.
法二(中点弦的性质)　由于kAB·kOM=,所以=tan ×=,
所以e======.故选D.
方法二　利用焦点三角形求离心率
[典例2] (1)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)
A.1-　 B.2-　　
C. 　 D.-1
(2)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,
tan∠F1MF2=2,则双曲线E的离心率为(　　)
A.2 B.2 C. D.
【答案】 (1)D　(2)C
【解析】 (1)法一　在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,设|PF2|=m,
则2c=|F1F2|=2m,|PF1|=m,又由椭圆定义可知2a=|PF1|+|PF2|=(+1)m,
则离心率e====-1.故选D.
法二　在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,
∠PF2F1=60°,则∠PF1F2=30°,
所以e=
===-1.故选D.
(2)法一　不妨设M(-c,y0),y0>0,代入双曲线方程得y0=,所以M(-c,).
因为|F1F2|=2c,所以tan∠F1MF2==2,所以 b2-ac=0,
所以 c2-ac-a2=0,
所以 e2-e-=0,
所以(e-)(e+1)=0,所以e=.故选C.
法二　由tan∠F1MF2=2,得=2,又sin2∠F1MF2+cos2∠F1MF2=1,∠F1MF2为锐角,所以sin∠F1MF2=,cos∠F1MF2=,即sin∠MF2F1=,
所以e===.故选C.
(1)设椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,P(异于长轴端点)为椭圆C上任意一点,在△PF1F2中,记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ,则有e=.
(2)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,P(异于实轴端点)为双曲线C上任意一点,在△PF1F2中,记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ,则有e=.
[拓展演练] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆E上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆E的离心率的取值范围为(　　)
A.[,1) B.(0,)
C.[,1) D.(,1)
【答案】 A
【解析】 法一　因为PF1⊥PF2,
所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-=(当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立),
所以|F1F2|2≥.
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,
又|F1F2|=2c,
所以4c2≥2a2,所以e2≥,所以e≥,又e<1,所以离心率e的取值范围为[,1).故选A.
法二　因为PF1⊥PF2,设∠PF1F2=α,则e==≥=(当且仅当α=45°时,等号成立),又e<1,所以离心率e的取值范围为[,1).故选A.
方法三　利用焦点弦定理求离心率
[典例3] 已知经过椭圆+=1(a>b>0)右焦点F且斜率为的直线交椭圆于A,B两点,
且=3,则该椭圆的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 设直线的倾斜角为α,则由tan α=,得 cos α=.
又因为λ=3,e=||=||=.故选C.
利用焦点弦定理求离心率的一般步骤:
第一步,求过圆锥曲线右焦点的直线的倾斜角α的余弦值;
第二步,求λ的值;
第三步,代入公式e=||求离心率e的值.
[拓展演练] 过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F,作直线l交C的右支于A,B两点,且满足 =,O为坐标原点,若∠OFA=120°,则双曲线C的离心率为　　　　.
【答案】 4-2
【解析】 由 =,λ=,又∠OFA=120°,所以倾斜角α=60°,由焦点弦定理可得e=||=4-2.第6节　双曲线
[学习目标]
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、
顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
其数学表达式为集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,
且c>a>0}.
若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R
对称性 对称轴: ;对称中心:
顶点 A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞)
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系 c2=
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率为e=.
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为.
4.与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=λ(λ≠0).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(3)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的渐近线相同.(　　)
(4)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同,离心率相同.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知k∈R,则“-2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025·八省联考)双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±3x D.y=±4x
4.(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线 -=-1的实轴长为 ,离心率为 .
5.(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T8改编)与椭圆 +=1有公共焦点,且离心率e= 的双曲线的方程为 .
考点一　双曲线的定义及应用
[例1] (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=
.
[典例迁移1] (变条件,变设问)本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,
则△F1PF2的面积是多少
[典例迁移2] (变条件,变设问)本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,
则△F1PF2的面积是多少
双曲线定义的应用策略
(1)利用双曲线的定义可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,两边进行平方运算,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:
①距离之差的绝对值;
②2a<|F1F2|;
③焦点所在的坐标轴.
考点二　双曲线的标准方程
[例2] (1)(2025·山东济南模拟)已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的下焦点到渐近线的距离为3,离心率为2,则该双曲线的标准方程为(　　)
A.-x2=1 B.y2-=1
C.-=1 D.-=1
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版选择性必修第一册P124练习T4.
求双曲线标准方程的常用方法
(1)定义法:根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在x轴上还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”.如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.
[针对训练]
(1)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,∠PF1F2=30°,且虚轴长为2,则双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.x2-=1
(2)经过点P(3,2),Q(-6,7)的双曲线的标准方程为 .
考点三　双曲线的几何性质
角度一　双曲线的渐近线
[例3] (2025·河南信阳模拟)如图,已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线与双曲线C的左支交于点A,B,若·=0,=,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
求双曲线渐近线方程的方法
(1)求双曲线中a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.
角度二　双曲线的离心率
[例4] (2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e=直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
[针对训练]
1.(角度一)(2022·北京卷)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m= .
2.(角度二)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为 .
微点提能10　椭圆、双曲线中的二级结论
1.焦点三角形的面积及离心率公式
(1)设P点是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任意一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则有下列结论.
①|PF1||PF2|=;②=b2tan ;③e=.
(2)设P点是双曲线-=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任意一点,F1,F2为其焦点,
记∠F1PF2=θ,则有下列结论.
①|PF1||PF2|=;②=;③e=.
2.中心弦的性质
设A,B为圆锥曲线上关于原点对称的两点,点P是曲线上与A,B不重合的任意一点,
则kAP·kBP=e2-1.
3.中点弦的性质
设圆锥曲线以M(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
(1)若圆锥曲线为椭圆+=1(a>b>0),则 kAB=-,kAB·kOM=e2-1.
(2)若圆锥曲线为双曲线-=1(a>0,b>0),则kAB=,kAB·kOM=e2-1.
4.焦半径公式
(1)当点M(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=-ex0+a.
(2)当点M(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;
当点M(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的左支上时,有|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
5.焦点弦定理
(1)过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A,B两点,
且 ||=λ||,则椭圆的离心率等于||.
(2)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A,B两点,且||=λ||,则双曲线的离心率等于||.
方法一　利用中点弦的性质求离心率
[典例1] 已知斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆x2+=1交于A,B两点,线段AB的中点为C,直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1·k2等于(　　)
A.- B.-4 C.- D.-2
(1)若AB是不过椭圆C:+=1(a>b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM=-.
(2)若AB是不过双曲线C:-=1(a>0,b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM=.
[拓展演练] 已知倾斜角为的直线与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
方法二　利用焦点三角形求离心率
[典例2] (1)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)
A.1-　 B.2-　　
C. 　 D.-1
(2)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,
tan∠F1MF2=2,则双曲线E的离心率为(　　)
A.2 B.2 C. D.
(1)设椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,P(异于长轴端点)为椭圆C上任意一点,在△PF1F2中,记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ,则有e=.
(2)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,P(异于实轴端点)为双曲线C上任意一点,在△PF1F2中,记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ,则有e=.
[拓展演练] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆E上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆E的离心率的取值范围为(　　)
A.[,1) B.(0,)
C.[,1) D.(,1)
方法三　利用焦点弦定理求离心率
[典例3] 已知经过椭圆+=1(a>b>0)右焦点F且斜率为的直线交椭圆于A,B两点,
且=3,则该椭圆的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
利用焦点弦定理求离心率的一般步骤:
第一步,求过圆锥曲线右焦点的直线的倾斜角α的余弦值;
第二步,求λ的值;
第三步,代入公式e=||求离心率e的值.
[拓展演练] 过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F,作直线l交C的右支于A,B两点,且满足 =,O为坐标原点,若∠OFA=120°,则双曲线C的离心率为 .

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