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第7节　抛物线
[学习目标]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 坐标 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
离心率 e=1
准线 方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
1.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长度等于2p.通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线焦点弦的性质.
直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1>0,y2<0,α为直线l的倾斜角,则有以下结论:
(1)焦半径:|AF|=x1+=,|BF|=x2+=,+=.
(2)焦点弦长:|AB|=x1+x2+p=.
(3)坐标关系:x1x2=,y1y2=-p2.
(4)3个相切:以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴
相切.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.(　　)
(2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象就是抛物线.(　　)
(4)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)
A. B. C. D.0
【答案】 B
【解析】 抛物线方程可化为x2=y,开口向上,准线方程为y=-,因为点M到焦点的距离为1,所以点M到准线y=-的距离为1,所以点M的纵坐标是.故选B.
3.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】 B
【解析】 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,
|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.
4.(人教B版选择性必修第一册P162 练习B T5)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹方程是　　　　　　.
【答案】 y2=16x
【解析】 因为点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,所以点M到点F(4,0)的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等,即点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线l:x+4=0为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则=4,即p=8,所以点M的轨迹方程为y2=16x.
考点一　抛物线的定义及应用
[例1] (1)(2025·内蒙古赤峰模拟)已知点A(2,5),且F是抛物线C:x2=4y的焦点,P为C上任意一点,则|PA|+|PF|的最小值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)(2025·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,线段AB的中点的横坐标为4,则AB长为(　　)
A.10 B.8 C.5 D.4
【答案】 (1)D　(2)A
【解析】 (1)由题意可知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线l为y=-1,当x=2时,y=1,
因为5>1,所以A(2,5)在抛物线内,如图,过点P作PB⊥l交于点B,则|PB|=|PF|,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,
由图可知当A,P,B三点共线时,|PA|+|PB|最小,则最小值为5+1=6.故选D.
(2)法一　设AB的中点为C,则xC=4,如图,过点A,B,C分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为M,N,D.因为C为AB的中点,则易知CD为梯形AMNB的中位线,而|CD|=xC+1=5,
所以|AM|+|BN|=2|CD|=10.根据抛物线的定义可知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=10.故选A.
法二　由弦长公式得|AB|=xA+xB+p=2xC+p=2×4+2=10.故选A.
[典例迁移1] (变条件)本例(1)中的A点坐标改为(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题意可知点A(3,1)在抛物线的外部.因为|PA|+|PF|的最小值即为A,F两点间的距离,F(0,1),所以|PA|+|PF|≥|AF|==3,即|PA|+|PF|的最小值为3.
[典例迁移2] (变条件,变结论)本例(2)改为已知抛物线y2=4x,P是抛物线上任意一点,则点P到直线l:x=-1的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是　　　　.
【答案】 2
【解析】 易知直线l:x=-1为抛物线的准线,且抛物线y2=4x与直线3x+4y+7=0相离,
由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,故点P到直线l的
距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,即=2.
应用抛物线定义的两个关键点
(1)根据抛物线的定义,把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+.
考点二　抛物线的标准方程
[例2] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)准线方程为2y+4=0;
(2)过点(3,-4);
(3)焦点在直线x+3y+15=0上.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P136练习T1.
【解】 (1)准线方程为2y+4=0,即y=-2,故抛物线焦点在y轴的正半轴上,设其方程为x2=2py(p>0),又=2,所以2p=8,故所求抛物线的标准方程为x2=8y.
(2)因为点(3,-4)在第四象限,所以抛物线开口向右或向下,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y中,
得(-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4),则2p=,2p1=.故所求抛物线的标准方程为y2=x或x2=-y.
(3)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15.所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).故所求抛物线的
标准方程为x2=-20y或y2=-60x.
求抛物线标准方程的方法
(1)定义法:若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p即可.
(2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay
(a≠0),这样就减少了不必要的讨论.
[针对训练]
(1)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,
则p=(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
(2)某一抛物线形石拱桥如图所示,当石拱桥拱顶离水面1.6 m时,水面宽6.4 m,当水面下降0.9 m时,水面的宽度为　　　　 m.
【答案】 (1)C　(2)8
【解析】 (1)法一　因为点A到y轴的距离为9,所以可设点A(9,yA),所以=18p.又点A到焦点(,0)的距离为12,所以=12,所以(9-)2+18p=122,即p2+36p-252=0,
解得p=-42(舍去)或p=6.故选C.
法二　根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线x=-的距离为12,因为点A到y轴的距离为9,所以=12-9,解得p=6.故选C.
(2)建立坐标系如图所示,设抛物线方程为x2=ay(a<0),则根据题意可知图中点A坐标为(3.2,-1.6),
所以3.22=a×(-1.6),解得a=-6.4,所以抛物线方程为x2=-6.4y,令y=-(1.6+0.9)=-2.5,代入方程,解得|x|=4,可得到水面两点坐标分别为(-4,-2.5),(4,-2.5),所以水面的宽度为8 m.
考点三　抛物线的几何性质
[例3] (1)(多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　)
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
(2)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A,B,且满足|AF|=2|BF|,E为AB的中点,则点E到抛物线准线的距离为　　　　　　.
【答案】 (1)ABC　(2)
【解析】 (1)因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,得p=4,A正确;设M(x0,y0),
M在抛物线C:y2=8x上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+≥=|OF|,B正确;由抛物线的定义知M到焦点F的距离和M到准线的距离相等,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,
C正确;对于D选项,方法一:当∠OFM=120°时,x0>2,=tan 60°=,且=8x0,y0>0,
所以-8y0-16=0,解得y0=4或y0=-(舍去),
所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|·|y0|=×2×4=4,D错误.
对于D选项,方法二:当∠OFM=120°时,△OFM的面积为
S△OFM=|OF|·|MF|·sin∠OFM=×2××sin 120°=×2××=4,D错误.故选ABC.
(2)由题意知抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|=2|BF|,所以x1+1=2(x2+1),|y1|=2|y2|,
所以x1=2x2+1,=4,所以x1=4x2,
所以x1=2,x2=,
所以线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1+1)+(x2+1)]=.
应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地观察出抛物线的
顶点、对称轴、开口方向等几何性质,体现了数形结合思想解题的直观性.
[针对训练]
(1)在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,
PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°,那么|PF|=　　　　.
(2)(2025·江苏徐州模拟)已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3=2,则|FN|=　　　　.
【答案】 (1)4　(2)16
【解析】 (1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
因为直线AF的倾斜角为120°,
所以∠AFO=60°.
又tan 60°=,
所以yA=2.
因为PA⊥l,
所以yP=yA=2.
将其代入y2=4x,得xP=3,
所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4.
(2)易知焦点F的坐标为(4,0),准线l的方程为x=-4,如图,设抛物线准线与x轴的交点为A,
作MB⊥l于点B,NC⊥l于点C,则AF∥BM∥CN,则=,由3=2,得=,
又|CN|=4,|OF|=4,所以=,|BM|=,|MF|=|BM|=,又=,所以|FN|=16.第7节　抛物线
[学习目标]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .
若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 坐标 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
离心率 e=1
准线 方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
1.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长度等于2p.通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线焦点弦的性质.
直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1>0,y2<0,α为直线l的倾斜角,则有以下结论:
(1)焦半径:|AF|=x1+=,|BF|=x2+=,+=.
(2)焦点弦长:|AB|=x1+x2+p=.
(3)坐标关系:x1x2=,y1y2=-p2.
(4)3个相切:以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴
相切.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.(　　)
(2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象就是抛物线.(　　)
(4)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)
A. B. C. D.0
3.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
4.(人教B版选择性必修第一册P162 练习B T5)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹方程是 .
考点一　抛物线的定义及应用
[例1] (1)(2025·内蒙古赤峰模拟)已知点A(2,5),且F是抛物线C:x2=4y的焦点,P为C上任意一点,则|PA|+|PF|的最小值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)(2025·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,线段AB的中点的横坐标为4,则AB长为(　　)
A.10 B.8 C.5 D.4
[典例迁移1] (变条件)本例(1)中的A点坐标改为(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为 .
[典例迁移2] (变条件,变结论)本例(2)改为已知抛物线y2=4x,P是抛物线上任意一点,则点P到直线l:x=-1的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是 .
应用抛物线定义的两个关键点
(1)根据抛物线的定义,把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+.
考点二　抛物线的标准方程
[例2] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)准线方程为2y+4=0;
(2)过点(3,-4);
(3)焦点在直线x+3y+15=0上.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P136练习T1.
求抛物线标准方程的方法
(1)定义法:若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p即可.
(2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay
(a≠0),这样就减少了不必要的讨论.
[针对训练]
(1)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,
则p=(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
(2)某一抛物线形石拱桥如图所示,当石拱桥拱顶离水面1.6 m时,水面宽6.4 m,当水面下降0.9 m时,水面的宽度为 m.
考点三　抛物线的几何性质
[例3] (1)(多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　)
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
(2)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A,B,且满足|AF|=2|BF|,E为AB的中点,则点E到抛物线准线的距离为 .
应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地观察出抛物线的
顶点、对称轴、开口方向等几何性质,体现了数形结合思想解题的直观性.
[针对训练]
(1)在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,
PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°,那么|PF|= .
(2)(2025·江苏徐州模拟)已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3=2,则|FN|= .

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