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第8节　直线与圆锥曲线的位置关系
[学习目标]
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程.直线与
圆锥曲线相交 Δ 0;直线与圆锥曲线相切 Δ 0;直线与圆锥曲线相离 Δ 0.
(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.
(2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.
2.弦长公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),
则|AB|=
=|x1-x2|
=
或|AB|=|y1-y2|
=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)过点(1,)的直线一定与椭圆+y2=1相交.(　　)
(2)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C有且只有一个公共点”.(　　)
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C有且只有一个公共点”.(　　)
(4)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P128习题3.2 T13改编)过点P(2,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程是(　　)
A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0
C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-4=0
3.(人教A版选择性必修第一册P114例7节选)已知直线l:4x-5y+m=0和椭圆C:+=1有两个公共点,则m的取值范围是 .
4.(人教B版选择性必修第一册P173习题2-8B T5)已知斜率为2的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,如果线段AB的长等于5,那么直线l的方程为 .
考点一　直线与圆锥曲线位置关系的判断
[例1] (1)(2025·湖南衡阳模拟)已知直线kx+y+2k=0与椭圆 +=1相切,则k的值为(　　)
A.2 B. C.±2 D.±
(2)(2025·四川成都模拟)过点(0,-1)且与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线有(　　)
A.0条 B.2条 C.3条 D.4条
判断直线与圆锥曲线位置关系的方法
在判断直线与圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程.如果是直线与圆或椭圆,那么所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,那么需先讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,另外还应注意斜率不存在的情形.
[针对训练]
(1)(2025·广东佛山模拟)已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.[-1,1]
B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是 .
考点二　中点弦问题
[例2] 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为 .
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P128习题3.2 T13.
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,
y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式可求得斜率.
(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
(3)中点弦的常用结论.
已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上的两点,AB的中点为C(x0,y0),直线AB的斜率为k,
且k≠0.
若E的方程为+=1(a>b>0),则k=-·;若E的方程为-=1(a>0,b>0),则k=·;
若E的方程为y2=2px(p>0),则k=.
[针对训练]
已知直线l:4x-2y-7=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A,B(不重合)两点,AB的垂直平分线过点(3,0),则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
考点三　弦长问题
[例3] 如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
弦长公式的运用技巧
在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程有两种常用方法:
(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b,便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式能帮大忙”.
(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a,可以减小运算量,即“直线定点落横轴,
斜率倒数作参数”.
[针对训练]
斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)
A.2 B. C. D.第8节　直线与圆锥曲线的位置关系
[学习目标]
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程.直线与
圆锥曲线相交 Δ>0;直线与圆锥曲线相切 Δ=0;直线与圆锥曲线相离 Δ<0.
(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.
(2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.
2.弦长公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),
则|AB|=
=|x1-x2|
=
或|AB|=|y1-y2|
=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)过点(1,)的直线一定与椭圆+y2=1相交.(　　)
(2)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C有且只有一个公共点”.(　　)
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C有且只有一个公共点”.(　　)
(4)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”.(　　)
【答案】 (1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.(人教A版选择性必修第一册P128习题3.2 T13改编)过点P(2,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程是(　　)
A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0
C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-4=0
【答案】 A
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得直线的斜率为k====6,又直线l过点P(2,1),所以直线l的方程为6x-y-11=0,经检验此时直线l与双曲线有两个
交点.故选A.
3.(人教A版选择性必修第一册P114例7节选)已知直线l:4x-5y+m=0和椭圆C:+=1有两个公共点,则m的取值范围是　　　　.
【答案】 (-25,25)
【解析】 由方程组消去y,得25x2+8mx+m2-225=0.(*)
方程(*)的根的判别式Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2),由Δ>0,得-25此时方程(*)有两个不相等的实数根,直线l与椭圆C有两个公共点.综上,m的取值范围为(-25,25).
4.(人教B版选择性必修第一册P173习题2-8B T5)已知斜率为2的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,如果线段AB的长等于5,那么直线l的方程为　　　　　　　.
【答案】 2x-y-2=0
【解析】 设直线l的方程为y=2x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),则消去x,得y2-2y+2b=0.
所以y1+y2=2,y1y2=2b,所以|AB|=·|y1-y2|=·=·,
因为|AB|=5,所以 ·=5,所以b=-2,所以直线l的方程为y=2x-2,即2x-y-2=0.
考点一　直线与圆锥曲线位置关系的判断
[例1] (1)(2025·湖南衡阳模拟)已知直线kx+y+2k=0与椭圆 +=1相切,则k的值为(　　)
A.2 B. C.±2 D.±
(2)(2025·四川成都模拟)过点(0,-1)且与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线有(　　)
A.0条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】 (1)C　(2)D
【解析】 (1)依题意,联立得4x2+3(-kx-2k)2=12,
化简得(4+3k2)x2+12k2x+12k2-12=0,
因为直线kx+y+2k=0与椭圆+=1相切,所以Δ=-4×(4+3k2)×(12k2-12)=0,
化简整理得k2-4=0,所以k=±2.故选C.
(2)由双曲线-=1得其渐近线方程为y=±x,过点(0,-1)且分别与渐近线平行的两条直线y=x-1,y=-x-1与双曲线有且仅有一个交点;设过点(0,-1)且与双曲线相切的直线为y=kx-1,
联立化为(9-4k2)x2+8kx-40=0,由9-4k2≠0,Δ=(8k)2+4×40×(9-4k2)=0,得到4k2=10,解得k=±,则切线y=x-1,y=-x-1分别与双曲线有且仅有一个公共点.
综上可知,过点(0,-1)且与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线共有4条.故选D.
判断直线与圆锥曲线位置关系的方法
在判断直线与圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程.如果是直线与圆或椭圆,那么所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,那么需先讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,另外还应注意斜率不存在的情形.
[针对训练]
(1)(2025·广东佛山模拟)已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.[-1,1]
B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是　　　　.
【答案】 (1)A　(2)(-,-1)
【解析】 (1)由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0(2)由方程组得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),
则
解得-考点二　中点弦问题
[例2] 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为　　　　　　　　.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P128习题3.2 T13.
【答案】 x+2y-3=0
【解析】 法一　易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦所在的直线与椭圆
相交于A,B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1 ,①
+=1,②
①-②得+=0.
因为x1+x2=2,y1+y2=2,所以+y1-y2=0.又x1-x2≠0,所以k==-.经检验,k=-满足题意.
所以此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
法二　易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,所以x1+x2=.
又因为x1+x2=2,所以=2,解得k=-.经检验,k=-满足题意.
故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,
y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式可求得斜率.
(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
(3)中点弦的常用结论.
已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上的两点,AB的中点为C(x0,y0),直线AB的斜率为k,
且k≠0.
若E的方程为+=1(a>b>0),则k=-·;若E的方程为-=1(a>0,b>0),则k=·;
若E的方程为y2=2px(p>0),则k=.
[针对训练]
已知直线l:4x-2y-7=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A,B(不重合)两点,AB的垂直平分线过点(3,0),则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 因为直线l:4x-2y-7=0,所以k1=2,由题可知AB的垂直平分线的方程为y=-(x-3),
将y=-(x-3)与4x-2y-7=0联立可得即AB的中点坐标为(2,).设A(x1,y1),B(x2,y2),
则且x1+x2=4,y1+y2=1,两式作差可得-=0,
即·=,所以=×2=,则双曲线C的离心率为=.故选D.
考点三　弦长问题
[例3] 如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
【解】 (1)由已知,得抛物线的焦点为F(1,0).
因为线段AB的中点在直线y=2上,
所以直线l的斜率存在,
设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),
由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以2y0k=4.
又y0=2,
所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.
(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线的方程联立得
消去x,得y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.
|AB|=|y1-y2|
=·
=·
=4(m2+1),
所以4(m2+1)=20,
解得m=±2,
所以直线l的方程是x=±2y+1,
即x±2y-1=0.
弦长公式的运用技巧
在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程有两种常用方法:
(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b,便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式能帮大忙”.
(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a,可以减小运算量,即“直线定点落横轴,
斜率倒数作参数”.
[针对训练]
斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)
A.2 B. C. D.
【答案】 C
【解析】 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
直线l的方程为y=x+t,
由消去y,
得5x2+8tx+4(t2-1)=0,
则x1+x2=-t,x1x2=.
所以|AB|=|x1-x2|=·=·=·,
当t=0时,|AB|max=.故选C.

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