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第2课时　用完全平方公式分解因式
知识点一　完全平方式
1．我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式．
练习1　下列多项式是完全平方式的是(　D　).
A．4x－y2
B．－9x2－y2
C．x2＋2xy＋4y2
D．x2－8xy＋16y2
总结　　熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．
知识点二　用完全平方公式分解因式
2．用完全平方公式分解因式的内容：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
3．式子特点分析与因式分解结果．
(1)式子特点分析：式子是一个三项式，其中两项符号相同且都能写成平方的形式，第三项是平方两项底数乘积的2倍.
(2)因式分解结果：等于写成平方形式时的底数和的平方或底数差的平方．若第三项与平方两项符号相同，则等于底数和的平方；若第三项与平方两项符号相反，则等于底数差的平方．若平方两项是负号，则添括号，并把负号放在括号前．
练习2　分解因式：－x2＋4x－4＝－(x－2)2．
总结　　(1)应用完全平方公式分解因式时，若平方项符号与积的2 倍项符号相同，分解时为两数和的平方；若平方项符号与积的2 倍项符号相反，分解时为两数差的平方．(2)若二次项系数为负，需先提出负号后，再应用公式法分解因式．
知识点三　用完全平方公式分解因式的应用
练习3　已知a＋b＝3，ab＝2，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　C　).
A．50 B．28
C．18 D．6
总结　　综合运用因式分解法对要求的多项式进行变形，然后整体代入，求出代数式的值．
基础巩固
1．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为(　C　).
①x2－10x＋25；②－4a2＋4a－1；③x2－2x－1；④－m2＋m－；⑤4x4－x2＋.
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
2．多项式x2－2x＋1与多项式(x－1)(x＋1)的公因式是(　B　).
A．x＋1 B．x－1
C．x2＋1 D． x2
3．在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，将(x2＋y2)(x2＋y2－8)＋16进行因式分解的结果是(　B　).
A．(x－y)4 B．(x2＋y2－4)2
C．(x2－y2－4)2 D．(x2＋y2＋4)2
4．如果多项式x2＋1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么添加的单项式不可以是(　D　).
A．2x　 B．－2x　
C．x4　 D．－x4
5．把下列各式分解因式：
(1)a2＋a＋；
(2)3a2－6ab＋3b2；
(3)x4－2x2＋1.
【答案】(1)(a＋)2　(2)3(a－b)2
(3)(x2－1)2
能力达标
6．若a，b为任意实数，则代数式a2＋b2－4a＋6b＋13的值总是(　C　).
A．0 B．正数
C．非负数 D．非正数
7．若y－x＝－2，xy＝4，则代数式－x3y＋x2y2－xy3的值是________．
【答案】－8
挑战创新
8．下面是琪琪同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(　　).
A．提公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________(选填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果为________．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)不彻底　(x－2)4
(3)(x＋1)4第2课时　用完全平方公式分解因式
知识点一　完全平方式
1．我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作 ．
练习1　下列多项式是完全平方式的是(　).
A．4x－y2
B．－9x2－y2
C．x2＋2xy＋4y2
D．x2－8xy＋16y2
总结　　熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．
知识点二　用完全平方公式分解因式
2．用完全平方公式分解因式的内容：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的 ．即a2＋2ab＋b2＝ ，a2－2ab＋b2＝ ．
3．式子特点分析与因式分解结果．
(1)式子特点分析：式子是一个 项式，其中两项符号 且都能写成 的形式，第三项是平方两项 乘积的 .
(2)因式分解结果：等于写成平方形式时的 的平方或 的平方．若第三项与平方两项符号 ，则等于底数和的平方；若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方．若平方两项是负号，则添括号，并把负号放在括号前．
练习2　分解因式：－x2＋4x－4＝ ．
总结　　(1)应用完全平方公式分解因式时，若平方项符号与积的2 倍项符号相同，分解时为两数和的平方；若平方项符号与积的2 倍项符号相反，分解时为两数差的平方．(2)若二次项系数为负，需先提出负号后，再应用公式法分解因式．
知识点三　用完全平方公式分解因式的应用
练习3　已知a＋b＝3，ab＝2，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　).
A．50 B．28
C．18 D．6
总结　　综合运用因式分解法对要求的多项式进行变形，然后整体代入，求出代数式的值．
基础巩固
1．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为(　).
①x2－10x＋25；②－4a2＋4a－1；③x2－2x－1；④－m2＋m－；⑤4x4－x2＋.
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
2．多项式x2－2x＋1与多项式(x－1)(x＋1)的公因式是(　).
A．x＋1 B．x－1
C．x2＋1 D． x2
3．在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，将(x2＋y2)(x2＋y2－8)＋16进行因式分解的结果是(　).
A．(x－y)4 B．(x2＋y2－4)2
C．(x2－y2－4)2 D．(x2＋y2＋4)2
4．如果多项式x2＋1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么添加的单项式不可以是(　).
A．2x　 B．－2x　
C．x4　 D．－x4
5．把下列各式分解因式：
(1)a2＋a＋；
(2)3a2－6ab＋3b2；
(3)x4－2x2＋1.
能力达标
6．若a，b为任意实数，则代数式a2＋b2－4a＋6b＋13的值总是(　).
A．0 B．正数
C．非负数 D．非正数
7．若y－x＝－2，xy＝4，则代数式－x3y＋x2y2－xy3的值是________．
挑战创新
8．下面是琪琪同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(　　).
A．提公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________(选填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果为________．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解．

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