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1.1.1集合
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《三国志》记载：“布有良马曰赤兔”据《三国演义》描述，这匹宝马后来跟随关羽并大展神威．
思考：下面三句话里的“是”各自的含义是什么？
　　A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马．
　　B.赤兔马是红马．
　　C.红马是马．
　　第一个“是”的含义相当于“=”，另外两个呢？
1
集合与元素
2
表示集合的方法
目 录
CONTENTS
一 集合与元素
一
集合与元素
讨论问题或思考问题，常常需要把一些对象放在一起考虑，并且给这些对象一个总的名称．
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．
一
集合与元素
例如，单词element中出现的字母组成一个集合，e是这个集合的一个元素；太阳系的八大行星组成一个集合，地球是这个集合的一个元素；所有大于2的素数组成一个集合，7是这个集合的一个元素；等等．
一
集合与元素
集合论中最基本的关系是集合和它的元素之间的归属关系，表达归属关系的符号是，读作“属于”．
若S是一个集合， a是S的一个元素，记作a S ，读作“a属于S ”．
反过来，若a不是S的元素，记作a S (或a S )，读作“a不属于S ”．
一
集合与元素
集合是数学中最基本的概念,具有以下基本属性：
(1)同一集合中的元素是互不相同的．
　　(2)集合中的元素是确定的.亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．
　　(3)集合中的元素没有顺序．
有了符号，许多数学事实就可以用简单明确的符号来表达．
一
集合与元素
设L(A，B)表示直线AB上全体点组成的集合，PL(A，B)的含义是什么？
　　解 P L(A，B)表示“P是直线AB上的一个点”．
　　数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集．例如：
例
1
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作N．
全体整数组成的集合叫整数集，记作Z．
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作Q．
全体实数组成的集合叫实数集，记作R．
一
集合与元素
　　
通常用R+表示全体正实数组成的集合；类似的有R-，Z+，N+ ，Q-，…．
元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集)，元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)．没有元素的集合叫空集，记作；空集也是有限集．
一
集合与元素
一
集合与元素
1.使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：
(1)“255是正整数”即(　　　　　　　　　　)；
(2)“不是有理数”即(　　　　　　　　　)；
(3)“ 3.1416是正有理数”即(　　　　　　　)；
(4)“－1是整数”即(　　　　　　　　　　　)；
(5)“x是负实数”即(　　　　　　　　　 　)．
练 习
一
集合与元素
练 习
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二 表示集合的方法
二
表示集合的方法
表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚．
生活中常见的方法，是把集合中的元素一一列举出来．饭馆里的菜单，计算机里的文件夹，各种委员会名单，都是这样做的．这叫作列举法．
数学里用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．例如，小于10的正偶数组成的集合，用列举法可以表示为{2，4，6，8}或{8，2，6，4}等．
　用列举法表示下列集合：
　　(1)由方程－1=0的所有实数解构成的集合S；
　　(2)平方小于225的所有素数之集P．
　　解　(1) S={1，－1}；
　　　 (2) P={2，3，5，7，11，13}．
例
3
二
表示集合的方法
无限集一般不能用列举法表示．有限集如果元素太多或叫不出名字来，例如某池塘里所有鱼的集合，也不便用列举法来表示．这时可以把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合．这叫作描述法．
集会时介绍嘉宾常用列举法，致辞里说“女士们，先生们”用的就是描述法．
二
表示集合的方法
在数学里常用描述法来表示集合．一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性．例如，前面提到的集合{2，4，6，8}，用描述法可以表示为{小于10的正偶数}．又如本节“思考”中红马这一集合，可以表示为{红马}，而“赤兔马是红马”可以表示为“赤兔马{红马}”，这里的“是”相当于“”．
有些集合用一句话描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．例如，任何一个偶数都可以表示为x=2k，kZ的形式，我们把所有偶数的集合表示为E={xZ | x=2k，kZ }．
二
表示集合的方法
二
表示集合的方法
数学里最常用的一类集合叫区间．如图1.1-1，设a，b是两个实数，a＜b，所有大于a并且小于b的实数组成的集合叫作一个开区间，记作(a，b)．用符号表示就是(a，b)={xR | a＜x＜b}．若从上下文可看出x是实数，就可以简单地写作(a，b)={x|a＜x＜b}．类似地，所有满足a≤x≤b的实数x组成的集合叫作一个闭区间，记作［a，b］.举一反三，还有左开右闭区间(a，b］和左闭右开区间［a，b)．实数a，b分别叫作上述区间的左端点和右端点．
二
表示集合的方法
图1.1-1
实数集R可以用区间表示为(－∞，+∞)，符号∞读作“无穷大”或“无穷”， －∞和+∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”)．有了符号∞，我们就可以把满足条件x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x组成的集合用区间的形式分别表示为［a，+∞)，(a，+∞)，(－∞，b］，(－∞，b)．
二
表示集合的方法
二
表示集合的方法
一
集合与元素
1. 用列举法表示下列集合：
(1){不超过30的素数}； 　　　(2){五边形ABCDE的对角线}；
(3){60的正约数}； 　　　　　(4){(x，y)|x+2y=6，x∈N，y∈N}．
2. 用自然语言描述下列集合：
(1){1，3，5，7，9}； (2不等式3x＞2的解集；
(3){3，5，7，11，13，17，19}．
3. 用区间表示下列集合：
(1){ x∈R|3－x＞5}；　　　　 (2){ x∈R|x+3＞1且5－x＞2 }．
练 习
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