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高中数学精选专题-不等式
解分式不等式、高次不等式、绝对值不等式
一、解分式不等式——转化
方法技巧：
（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次（或高次）不等式或一元一次（或高次）不等式组求解，但要注意分母不为零．
（2）对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．
解法一：移项，通分，转化成整式不等式．
，，
或，或．
解法二：分类讨论，转化成多个整式不等式组．
或．
例1．解下列关于的不等式．
1． 2．
3． 4．
5． 6．
二、解高次不等式——穿根引线法
解题步骤：
1．化成标准形式：不等式右边为0，左边多项式最高次系数为正数．
2．将左边多项式因式分解，并把各因式按零点从小到大排列．
3．在数轴上标出各零点．
4．从数轴右上方开始，经过各零点，按“奇穿偶不穿”的原则画一条线，即为不等式右边多项式的正负示意图．
5．写出不等式的解集．
例2．解下列关于的不等式．
1． 2．
3． 4．
5． 6．
7． 8．
9．
例3．已知集合，且，，则实数的取值范围是_________．
例4．对任意，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
例5．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解绝对值不等式——去绝对值
预备知识：
1．．
2．数轴上，实数0，，分别对应点，，，则，．
解绝对值不等式的方法：
1．直接去绝对值．
已知，则；
或．
2．分段去绝对值．
3．平方去绝对值．
拓展：
1．．
2．或．
1．或．
2．或或．
类比：
1．．
2．或．
例4．解下列关于的不等式．
1．
2．
3．
4．
5．
6．高中数学精选专题-不等式
解分式不等式、高次不等式、绝对值不等式
一、解分式不等式——转化
方法技巧：
（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次（或高次）不等式或一元一次（或高次）不等式组求解，但要注意分母不为零．
（2）对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．
解法一：移项，通分，转化成整式不等式．
，，
或，或．
解法二：分类讨论，转化成多个整式不等式组．
或．
例1．解下列关于的不等式．
1． 2．
3． 4．
5． 6．
【答案】1． 2． 3．
4． 5． 6．
二、解高次不等式——穿根引线法
解题步骤：
1．化成标准形式：不等式右边为0，左边多项式最高次系数为正数．
2．将左边多项式因式分解，并把各因式按零点从小到大排列．
3．在数轴上标出各零点．
4．从数轴右上方开始，经过各零点，按“奇穿偶不穿”的原则画一条线，即为不等式右边多项式的正负示意图．
5．写出不等式的解集．
例2．解下列关于的不等式．
1． 2．
3． 4．
5． 6．
7． 8．
9．
【答案】1． 2．
3． 4．
5．
解：
或
或
或或
∴不等式的解集为．
6．
7． 解：．
8． 解：．
9． 解：．
例3．已知集合，且，，则实数的取值范围是_________．
【答案】
解法一：．
∵，∴，∴或．
∵，∴，∴，
综上所述，实数的取值范围是．
解法二：∵，∴，∴或．
∵，∴或，∴，
综上所述，实数的取值范围是．
例4．对任意，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【要点】一元二次方程的根的分布＋高次函数穿根法＋基本不等式
【详解】设，则，，
设，则，
，
依题意，，即，
∴，，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴的最小值为．故选A．
例5．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【要点】一元二次方程的根的分布＋高次函数穿根法＋分类讨论
【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次方程的根的分布、高次函数穿根法．
【详解】设，则，
设．
①当，即或时，
若，则，符合题意；
若，则，符合题意．
②当，即时，恒成立，
∴，∴，，∴．
③当，即或时，
设方程的两根分别为，，则，．
当时，方程有两个正根，
存在，使得，不符合题意，舍去；
当时，方程有两个负根，只需，，∴，
综上所述，的取值范围为．故选C．
三、解绝对值不等式——去绝对值
预备知识：
1．．
2．数轴上，实数0，，分别对应点，，，则，．
解绝对值不等式的方法：
1．直接去绝对值．
已知，则；
或．
2．分段去绝对值．
3．平方去绝对值．
拓展：
1．．
2．或．
1．或．
2．或或．
类比：
1．．
2．或．
例4．解下列关于的不等式．
1．
2．
3．
4．
5．
6．
【答案】1． 2．
3． 解法一：分段去绝对值． 解法二：几何意义．
4．
5． 解：．
6．
解法一：分段去绝对值．
解法二：．
解法三：．

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