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第七讲 椭圆及简单几何性质
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
切点弦所在的直线方程
焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
常用结论
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
（3）焦点三角形相关结论
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
题型一 椭圆定义和方程
例题1 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
例题2 (2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　 　)
A. ＋＝1(y＞0)　　　　B. ＋＝1(y＞0) C. ＋＝1(y＞0)　　D. ＋＝1(y＞0)
例题3 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　B　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
例题4 已知两定点,，直线，在上满足的点有　　个．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【举一反三】
1. 已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
2. 椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4. 方程表示椭圆的必要不充分条件是　　
A． B． C．，， D．
5. 求与椭圆有相同的离心率且经过点的椭圆方程．
6. 点在焦点为和的椭圆上，若△面积的最大值为16，则椭圆标准方程为　　
A． B． C． D．
7. 已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
题型二 椭圆的性质
例题1 已知椭圆与，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
例题2 点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是　 　．
例题3 点，为椭圆的两个焦点．点为椭圆内部的动点．则△周长的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
例题4 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为　　
A．4 B．5 C．7 D．8
【举一反三】
1. 若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等
2. 已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是　　
A． B． C． D．
3. (2024·潍坊二模)(多选)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　ABD　)
A. C的焦距为2　　B. C的离心率为 C. △F1PF2的周长为3＋　 D. △F1PF2面积的最大值为2
4. (2024·阜阳一测)已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若A，B两点都在C上，A，O，B三点共线，P(不与A，B重合)为上顶点，则(　　)
A. |AB|的最小值为4　　B. |AF1|＋|BF1|为定值 C. 存在点A，使得AF1⊥AF2　　D. kPA·kPB＝－
题型三 椭圆离心率
例题1 已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题2 已知椭圆的右焦点为经过点的直线的倾斜角为且直线交该椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题3 (2024·青岛一模)已知O为坐标原点，F为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为_ _.
例题4 已知动点到两个定点，的距离之和为，则点轨迹的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【举一反三】
1. 在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
2.（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. (2024·广州一模)设B，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上焦点，点P在C上，且＝2，则C的离心率为(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D.
4. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　
A． B． C． D．
5. 椭圆的上、下顶点分别为、，右顶点为，右焦点为，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
6. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
题型四 焦点三角形
例题1 已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
例题2 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题3 已知椭圆，其左 右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
例题4．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题5 已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________.
【举一反三】
1. 椭圆的左、右焦点分别为,点P在椭圆上,如果的中点在y轴上，那么是的_ _倍
2. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
3. 设A,B是椭圆长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足.若点是椭圆上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5. 设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．第七讲 椭圆及简单几何性质
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
切点弦所在的直线方程
焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
常用结论
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
（3）焦点三角形相关结论
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
题型一 椭圆定义和方程
例题1 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，并且，解得：．
例题2 (2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　 　)
A. ＋＝1(y＞0)　　　　B. ＋＝1(y＞0) C. ＋＝1(y＞0)　　D. ＋＝1(y＞0)
【答案】A
【解析】 设点M(x，y)，P(x，y0)，P′(x，0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y).又P在圆x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0).
例题3 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　B　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
【答案】B
【解析】 如图，设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.
方法一：△AF1B中,由余弦定理得cos∠F1AB＝＝.△AF1F2中,由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4,解得n＝.从而2a＝4n＝2,则a＝，b2＝a2－c2＝3－1＝2.故椭圆C的方程为＋＝1
方法二：在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得又∠AF2F1，∠BF2F1互补，所以cos ∠AF2F1＋cos ∠BF2F1＝0，两式消去cos ∠AF2F1，cos ∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝.从而2a＝4n＝2，则a＝，b2＝a2－c2＝3－1＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.
例题4 已知两定点,，直线，在上满足的点有　　个．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【答案】B
【解析】由椭圆的定义可知,点的轨迹是以,为焦点的椭圆,
故,,,其方程是，
把代入椭圆方程并整理得：，
由△，在上满足的点有1个．
【举一反三】
1. 已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 由题意，解得，所以椭圆方程为．
2. 椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆的定义知,则的周长为,
所以,所以椭圆的方程为.
不妨设点在第一象限,则由,均是线段的三等分点,
得是线段的中点,又,所以点的横坐标为,由,得,
所以,所以,.
把点的坐标代入椭圆方程得,即,
化简得,又, 所以,解得,
所以,所以椭圆的标准方程为.
3. 已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线过点，令则，所以，即.
设，则，两式相减并化简得，所以，，所以椭圆的方程为.
4. 方程表示椭圆的必要不充分条件是　　
A． B． C．，， D．
【答案】B
【解析】由方程表示椭圆，可得，，且，
解得且，
故是方程表示椭圆的必要条件．
但由，不能推出方程表示椭圆，
例如时，方程表示圆，不是椭圆，
故是方程表示椭圆的必要条件，而不是充分条件，
5. 求与椭圆有相同的离心率且经过点的椭圆方程．
【解析】由题意，当焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，
椭圆过点，，椭圆标准方程为．
当焦点在轴上时，设方程为，
椭圆过点，，椭圆标准方程为．
故所求椭圆标准方程为或．
6. 点在焦点为和的椭圆上，若△面积的最大值为16，则椭圆标准方程为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，即，
△面积的最大值为16，，即，，．
则椭圆的标准方程为．
7. 已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，且，，，
，，，，，则在轴上．
在△中，，在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，解得，．
椭圆的方程为：．
题型二 椭圆的性质
例题1 已知椭圆与，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
【答案】D
【解析】将椭圆方程整理得，
其焦点在轴上，，，则，所以．
将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，
则，所以，
例题2 点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是　 　．
【答案】，
【解答】 依题意，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，
所以，，
则的取值范围是，
例题3 点，为椭圆的两个焦点．点为椭圆内部的动点．则△周长的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
【答案】C
【解答】设椭圆的半焦距为，
椭圆，，，，即，
△周长为，
当在之间时，最小值为2，但此时构不成三角形，故，
当在椭圆上时，，△周长取得最大值，但点为椭圆内部的动点．
故，△周长的取值范围为．
例题4 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为　　
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【解析】圆，则圆心为椭圆的右焦点，
又椭圆，则，，，
由椭圆的定义可知，，则，所以，
当，，三点共线时，取最大值1，所以的最小值为．
【举一反三】
1. 若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等
【答案】B
【解析】椭圆，可知，，，
长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．
椭圆中，
，，，
长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．
椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．
故选：B．
2. 已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是．
当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有．
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
．
3. (2024·潍坊二模)(多选)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　ABD　)
A. C的焦距为2　　B. C的离心率为 C. △F1PF2的周长为3＋　 D. △F1PF2面积的最大值为2
【答案】D
【解析】设椭圆C：＋＝1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝，所以C的焦距为2，故A正确；C的离心率为＝，故B正确；△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2，故C错误；对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，△F1PF2的面积最大，最大值为×2×2＝2，故D正确．
4. (2024·阜阳一测)已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若A，B两点都在C上，A，O，B三点共线，P(不与A，B重合)为上顶点，则(　　)
A. |AB|的最小值为4　　B. |AF1|＋|BF1|为定值 C. 存在点A，使得AF1⊥AF2　　D. kPA·kPB＝－
【答案】BCD
【解析】对于A，由椭圆的方程可知a＝，b＝，c＝＝2，所以焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，P(0，).因为点A(x1，y1)在椭圆上，所以y＝2，|AB|＝2|AO|＝2＝2＝2≥2，即|AB|≥2，故A错误；
对于B，由椭圆的对称性可知，|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＝2，故B正确；
对于C，因为c＞b，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A，使得AF1⊥AF2，故C正确；对于D，设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，P(0，)，则kPA·kPB＝·＝＝＝－，故D正确．
题型三 椭圆离心率
例题1 已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将点的坐标代入的方程得，所以，整理得．又，
所以，所以，即，所以椭圆的离心率。
例题2 已知椭圆的右焦点为经过点的直线的倾斜角为且直线交该椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，直线的方程为，设，，
联立，整理得，则，
又，则，则，结合韦达定理知，，，
则，整理得，则离心率
例题3 (2024·青岛一模)已知O为坐标原点，F为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为_ _.
【答案】
【解析】 由椭圆的对称性可知，AB垂直于x轴，不妨设A在第一象限，如图，又OA⊥OB，所以∠AOF＝，所以△AOF为等腰直角三角形，故A(c，c)，所以＋＝1，即a2c2＋b2c2＝a2b2，所以a2c2＋(a2－c2)c2＝a2(a2－c2)，整理得e4－3e2＋1＝0，解得e2＝或e2＝(舍去)，故e＝＝＝.
例题4 已知动点到两个定点，的距离之和为，则点轨迹的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【答案】C
【解析】由已知到两定点，的距离之和为的点的轨迹是一个椭圆，
其中心坐标为，长轴长为，焦距为2，故，，
所以离心率,，，,
综上知，点轨迹的离心率的取值范围为，
【举一反三】
1. 在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据椭圆定义，将设代入得，
根据椭圆的几何性质，，故，即，故，即，又，
故该椭圆离心率的取值范围是．
2.（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
3. (2024·广州一模)设B，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上焦点，点P在C上，且＝2，则C的离心率为(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D.
【答案】A
【解析】【解析】 如图，令椭圆半焦距为c，依题意，B(b，0)，F2(0，c)，由＝2，得＝(－b，c)＝，则P，而点P在椭圆上，所以＋·＝1，解得e＝＝，所以C的离心率为.
4. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，
即，即，从而，则椭圆的离心率，
5. 椭圆的上、下顶点分别为、，右顶点为，右焦点为，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】椭圆的上、下顶点分别为，，
右顶点为，右焦点为，，可得，，．
6. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】点的坐标为，设，，则，，
故，，，又对称轴，
当时，即时，则当时，最大，此时，
故只需要满足，即，则，所以，又，故的范围为，，
当时，即时，则当时，最大，此时，
则,解得,所以,又，故不满足题意，综上所述的的范围为，
题型四 焦点三角形
例题1 已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【解析】由焦点三角形面积公式得，故选：B
例题2 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，
设，则，又由椭圆定义可知
则离心率.
例题3 已知椭圆，其左 右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】所以，
而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A．
例题4．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】又，所以，即，故E的离心率为.
例题5 已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________.
【答案】或
【解析】
因为|OF1|=|OA|，所以,所以△OF1A的面积，所以，
由椭圆的定义可得，所以或，
设，则，
当时，由勾股定理得,即，解得；
当时，由勾股定理得，解得；
综上，或.
【举一反三】
1. 椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的________倍
【答案】5
【解析】由题得，
由题得轴，当时，，所以,所以,
所以是的5倍.
2. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
．∴．由焦半径公式可知
设，由焦半径公式可知
再代入椭圆方程可解得的坐标为．
3. 设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）
【答案】B
【解析】若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，
则，解得；
若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，
则，解得；
综上，m的取值范围是，故选：C.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足.若点是椭圆上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解析】由椭圆C：可得：，，，．
，．设，则又，
，又．
的最小值为．故选：B．
5. 设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设点，则，可得，
，
因为的最大值为，则关于的二次函数在上的最大值为.
因为，则二次函数的图象开口向下.
①当时，即当时，函数在上单调递减，
则，合乎题意；
②当时，即当时，函数，
解得（舍去）.
综上所述，.故选：A.

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