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2025-2026学年上学期九年级数学（全一册）统测2
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。）
1．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
2 . 如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（ ）．
A. B. C. D.
3．若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
5.当时，二次函数的最小值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6．为锐角，且，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
已知线段、、，其中是、的比例中项，若，，则线段的长为（ ）．
A. B. C. D.
8．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A． B．C． D．
9. 如图，四边形为菱形，E为上一点，把沿着折叠，点恰好落在延长线上的点，交于点，，，则的长为（ ）
A. B. 2 C. D.
10．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知线段，满足，那么等于 ．
12．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ．
13．如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ．
14. 中，，，，E为AC上一点，，F为BC上一点，连接EF，将沿EF翻折，得到，连接AD、BD，
（1）若，则_______；（填长度）
（2）当面积最小时，_______．（填长度）
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15. （本题满分8分）二次函数、为实数的图象经过点，点．
求该二次函数的表达式及顶点坐标．
当时，求该二次函数的最大值与最小值．
16．（本题满分8分）已知 ，且，求的值
17 .（本题满分8分）如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，求.
18．（本题满分8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点．
(2)如图2，在边上找一点，使得．
（本题满分10分）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5．
（1）把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）求二次函数与x轴的交点坐标．
（本题满分10分）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”．
(1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”；
(2)已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值．
21.（本题满分12分）如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．

无人机从点到点的上升高度约为米
22．（本题满分12分）问题情景：如图1，在中，于点于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)实际应用：如图2，在中，于点，于点于点，求三角形的周长．
23. （本题满分14分）二次函数（a为常数，）．
（1）若该二次函数图像关于直线对称，求a的值及抛物线与x轴交点坐标；
（2）若该二次函数图像上点，满足，求a的范围；
（3）若该二次函数图像上两个不同的点，满足，求的取值范围．2025-2026学年上学期九年级数学（全一册）统测2
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。）
1．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
【答案】D
解：反比例函数的图象经过点，
，
此函数的图象位于第二、四象限，
故选：D．
2 . 如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 B
解：由相似多边形的面积比等于相似比的平方，相似多边形的周长比等于相似比，
得它们的周长比为．
3．若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：抛物线的对称轴为：，
关于对称轴的对称点的坐标为：，
抛物线的开口向上，且，
，
故选A．
4．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A
5.当时，二次函数的最小值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
解：二次函数解析式为，
二次函数对称轴为直线，最小值为，
当时，二次函数的最小值为，
当，时，，则，解得或舍去；
当，时，，则，解得或舍去；
综上所述，的值为或，
故选C．
6．为锐角，且，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵，
∴，
故选：C．
已知线段、、，其中是、的比例中项，若，，则线段的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 C
解： 根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以，解得（线段长是正数，负值舍去）．
故选．
8．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，
∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
9. 如图，四边形为菱形，E为上一点，把沿着折叠，点恰好落在延长线上的点，交于点，，，则的长为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
解：过点作，垂足为，由折叠得，，
在菱形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
又∵在菱形中，，
∴，
∴，即：，
∴，
故选：C．
10．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：过点E作于点H，如下图：
∵，，，
∴，
∵是边上的高．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时， ，
当时，．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知线段，满足，那么等于 ．
【答案】
解：∵，
∴，
，
故答案为：．
12．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ．
13．如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ．
【答案】
解：由解得，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为，
解，
得，
经检验是原方程的解，
当时，，
，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时的周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
点的坐标为，
故答案为：．
14. 中，，，，E为AC上一点，，F为BC上一点，连接EF，将沿EF翻折，得到，连接AD、BD，
（1）若，则_______；（填长度）
（2）当面积最小时，_______．（填长度）
【答案】 ①. ②. 或
解：（1）如图1，过点作，
由折叠可知：，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴
（2）如图1，过点作，，垂足分别为，，
，，，，
∴，
∴，
∴，
因为，
∴，
∴当在上时，即、、三点共线，最小，
∵，
∴当面积最小时，最小，
如图3． 当在上时，过点作，垂足分别为，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又因为：，
∴，
∴，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15. （本题满分8分）二次函数、为实数的图象经过点，点．
求该二次函数的表达式及顶点坐标．
当时，求该二次函数的最大值与最小值．
16．（本题满分8分）已知 ，且，求的值
解：设，则，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
17 .（本题满分8分）如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，求.
【答案】
解： 线段、是的中线，
，，
，，
.
故答案为：.
18．（本题满分8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点．
(2)如图2，在边上找一点，使得．
解：（1）如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，
则，
∵，
∴，
故即为所求；

（2）如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，
则，
∵，
∴，
故点F即为所求作．

（本题满分10分）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5．
（1）把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）求二次函数与x轴的交点坐标．
解：（1）y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴该抛物线解析式是y＝（x﹣2）2﹣9；
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣9，
所以对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣9）；
（3）令y＝0，则x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴二次函数与x轴的交点坐标分别是：（﹣1，0）（5，0）．
（本题满分10分）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”．
(1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”；
(2)已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值．
（1）解：设二次函数的一个“问真二次函数”为，顶点坐标为，
，顶点坐标为，
，，
，，
两个函数图象开口方向相反，
的值可以是，
二次函数的一个“问真二次函数”可以是，
即（答案不唯一）；
（2）解：∵图象的顶点为．
的顶点坐标为．
∵，且，
∴．
21.（本题满分12分）如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．

无人机从点到点的上升高度约为米
解：依题意，，，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴
（米）
答：无人机从点到点的上升高度约为米．
22．（本题满分12分）问题情景：如图1，在中，于点于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)实际应用：如图2，在中，于点，于点于点，求三角形的周长．
【解】（1）证明：∵， ，
∴，
∴
∴
∴，即
又，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
同理，，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
同理，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
23. （本题满分14分）二次函数（a为常数，）．
（1）若该二次函数图像关于直线对称，求a的值及抛物线与x轴交点坐标；
（2）若该二次函数图像上点，满足，求a的范围；
（3）若该二次函数图像上两个不同的点，满足，求的取值范围．
【解1】
解：二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
令，解得：或，
∴抛物线与x轴交点坐标为和；
【解2】
解：∵点，在二次函数图像上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【解3】
解：点，在二次函数图像上，
∴，，
∵，
∴，
代入得，
∴
，
∵，，
∴．

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