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2025伊比利亚美洲数学奥林匹克
考试时间：2025年9月25日9月26日
第一天
题1.一个实数列a1,2,·被称为”好的”，如果01>0且对每个n≥2，满足
a1a2…aa-1am=a1+a2+…+a-1
注：乘积有n个因子，和式有n-1个加项。问：这样的数列最多能包含多少个整数？
题2.考虑一个n×n的棋盘，被分成n2个格子，其中n≥3。初始时，选定一个格子并在
其上放置2枚硬币。一次操作是指：选择一个至少有两枚硬币的格子，并将其中的两枚硬
币移动到关于该选定格子对称且与其至少共享一个顶点的两个格子中。四种可能的操作类型
如下图所示。
Type 4
若经过若干次操作后，拱盘上每个格子恰好有一枚硬币，证明：类型三的操作次数等于类型
四的操作次数。
题3.设b和n.为正整数，且b≥2。定义$(m)为n在b进制下的各位数字之和。是否存
在整数n≥2，使得
s2(n)≥s3(n)≥·≥s2025(n)
注：n在b进制下的数字是指满足
n ao +ab+a282+...+akbf,
且ak≠0,0≤≤b-1(i=0,1,k)的整数a0,1,ako
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第二天
题4.求所有满足p>g>1的素数对(p,g),使得
(p-9-1)3+(p-g)3+…+(p-1)3+p3+(p+1)3+…+(p+g)3+(p+9+1)3=(3q)2.
注：等式左边有2g+3项，是连续整数的立方。
题5.三角形ABC是锐角三角形，且AB外接圆。点D是w与边BC的切点，点L是w上与D直径相对的点。直线AL与边BC
相交于点E。点N是T上包含点A的孤BC的中点。直线NL再次与w相交于点K。证
明：点A.N,E,K四点共圆。
N
E
中
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题6.一位苏丹俘获了23位巫师，并提议通过一个游戏来释放他们。
苏丹说，他将建造11口编号为1到11的并和一座塔楼。
他将在每口井中放入两位巫师，并将剩下的一位巫师放在塔楼里。
井中的每位巫师将戴一顶四种颜色之一的帽子（所有巫师都知道这四种颜色），而塔楼中的
巫师将戴一顶2025种颜色之一的帽子（这2025种颜色与那四种颜色不同，且所有巫师都知
道这些颜色)。
没有巫师知道自己帽子的颜色。进入井中后，每位巫师将知道自己所在井的编号：此外，他
只能看到塔楼中巫师的帽子和与他同处一口井的巫师的帽子。塔楼中的巫师将知道每口井的
编号，并且他将能看到所有其他巫师的帽子。
在某个时刻，苏丹将发出命令，然后所有巫师同时说出：”我的帽子颜色是x”,其中x是他
选择的任意颜色。
如果至少有一位巫师说了真话，则所有巫师获胜并获得自由：否则，他们失败。
在被安置到各自位置并拿到帽子之前，巫师们将有一段时间来制定策略，但在此之后他们将
无法再交流。
无论苏丹怎么做，他们能保证获胜吗？
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