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第四章
数列
4.1　数列的概念
第1课时　数列的概念及简单表示
学习 目标 1. 理解数列的有关概念与数列的表示方法．
2. 理解数列的函数特征，掌握判断数列增减性的方法．
3. 掌握数列通项公式的概念及其应用，能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 一般地，把按照_____________排列的_________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的________(也叫做_______)，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的________，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的________，用an表示．
2. 表示：数列的一般形式是_________________________，简记为______，这里n是项数．
确定的顺序
一列数
项
第1项
首项
第2项
第n项
a1，a2，a3，…，an，…
{an}
3. 数列的分类
有穷数列：项数_______的数列；
无穷数列：项数_______的数列；
递增数列：从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列；
常数列：各项都_______的数列．
有限
无限
大于
小于
相等
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 数列1，0，1，0与0，1，0，1是两个不同的数列． (　　)
(3) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列. (　　)
(4) 若数列用图象表示，则从图象上看，它是一群孤立的点． (　　)
√
×
×
√
典例精讲 能力初成
　　　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
①2 018，2 020，2 022，2 024，2 026；
②1，3，32，…，363；
1
数列及其有关概念
【解答】
①②⑤是有穷数列；③④⑥是无穷数列；①②⑤是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列．
探究
1
(1) 有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．
(2) 数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列．
　　　(教材P4例1)根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
2
由通项公式写数列的前几项
【解答】
当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15.图象如图(1)所示．
探究
2
图(1)
【解答】
当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1.图象如图(2)所示．
图(2)
　　　(教材P4例1)根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
2
根据所给的通项公式，将n的取值一一代入即可．
3
由数列的前几项求通项公式
【解析】
探究
3
C
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1) 各项的符号特征；(2) 各项能否拆分；(3) 分式的分子、分母的特征；(4) 相邻项的变化规律．其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律．
　　　(教材P5例3补充)在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1) －107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
4
数列的函数特性
【解答】
探究
4
(2) 求该数列中的最大项．
【解答】
　　　(教材P5例3补充)在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
4
求数列最大项或最小项的方法：
(1) 将数列视为函数f(x)，当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
【解析】
变式
9或10
随堂内化 及时评价
【解析】
对于A，数列各项顺序不同，即表示不同的数列，故A错误；对于B，数列{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表示数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列，故B错误；对于C，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cos nπ等，故C正确；对于D，数列－1，1，3，5，7，…中的项都满足通项公式an＝2n－3，n∈N*，故D正确．
1. (多选)下列有关数列的说法中，正确的是 (　　)
A. 数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列
B. 数列{an}与{a2n－1}表示同一数列
C. 数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一
D. 数列－1，1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－3，n∈N*
CD
【解析】
令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3 (　　)
A. 不是数列{an}中的项
B. 只是数列{an}中的第2项
C. 只是数列{an}中的第6项
D. 是数列{an}中的第2项或第6项
D
【解析】
因为a1＝2×1＋1，a2＝2×2＋1，a3＝2×3＋1，a4＝2×4＋1，…，所以an＝2n＋1.
3. 数列3，5，7，9，…的一个通项公式是 (　　)
A. an＝2n＋1　 B. an＝2n＋1
C. an＝2n+1　 D. an＝2n+1－1
A
【解析】
由题知a6＝a4＋a5＝8，a7＝a6＋a5＝13，a8＝a7＋a6＝21，a9＝a8＋a7＝34，a10＝a9＋a8＝55.
4. (2025·青岛期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是 (　　)
A. a7＝8　　 B. a8＝21　
C. a9＝33　　　 D. a10＝59
B
【解析】
【答案】5或6
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则a10等于 (　　)
A. 100　 B. 110　　　
C. 120　 D. 130
C
【解析】
因为数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，所以a10＝102＋2×10＝120.
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
A
二、 多项选择题
5. 已知n∈N*，下列四个选项中，能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是 (　　　)
ABC
【解析】
因为选项A，B，C逐一写出为0，1，0，1，0，1，…；选项D逐一写出为1，0，1，0，1，0，1，…，不满足，故选ABC.
【解析】
【答案】ABD
【解析】
其中，有穷数列是_______，无穷数列是_______，递增数列是_______，常数列是_____，递减数列是_____．(填序号)
【解析】
①③为有穷数列；②④是无穷数列；①④是递增数列；②为常数列；③为递减数列．
①③
②④
①④
②
③
9. 如图，关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有______个星星．
【解析】
210
四、 解答题
10. 写出下列各数列的一个通项公式：
(1) 4，6，8，10，…；
【解答】
易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为an＝2n＋2，n∈N*.
【解答】
10. 写出下列各数列的一个通项公式：
【解答】
10. 写出下列各数列的一个通项公式：
(4) 5，55，555，5 555，….
【解答】
10. 写出下列各数列的一个通项公式：
【解答】
【解答】
【解析】
4
【解析】
C
【解析】
C
谢谢观赏第1课时　数列的概念及简单表示
学习 目标 1. 理解数列的有关概念与数列的表示方法． 2. 理解数列的函数特征，掌握判断数列增减性的方法． 3. 掌握数列通项公式的概念及其应用，能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 一般地，把按照__确定的顺序_排列的__一列数_称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的__项_．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的__第1项_(也叫做__首项_)，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的__第2项_，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的__第n项_，用an表示．
2. 表示：数列的一般形式是__a1，a2，a3，…，an，…_，简记为__{an}_，这里n是项数．
3. 数列的分类
有穷数列：项数__有限_的数列；
无穷数列：项数__无限_的数列；
递增数列：从第2项起，每一项都__大于_它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都__小于_它的前一项的数列；
常数列：各项都__相等_的数列．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 数列1，0，1，0与0，1，0，1是两个不同的数列．(　√　)
(2) 数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an＝.(　×　)
(3) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　×　)
(4) 若数列用图象表示，则从图象上看，它是一群孤立的点．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　数列及其有关概念
例1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
①2 018，2 020，2 022，2 024，2 026；
②1，3，32，…，363；
③1，，，…，，…；
④－，，－，，…；
⑤0，10，20，…，1 000；
⑥9，9，9，9，9，9，….
【解答】①②⑤是有穷数列；③④⑥是无穷数列；①②⑤是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列．
(1) 有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．
(2) 数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列．
探究2　由通项公式写数列的前几项
例2　(教材P4例1)根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
(1) an＝；
【解答】当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15.图象如图(1)所示．
图(1)
(2) an＝cos .
【解答】 当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1.图象如图(2)所示．
图(2)
(例2)
根据所给的通项公式，将n的取值一一代入即可．
探究3　由数列的前几项求通项公式
例3　(教材P5例2补充)(1) 数列0，，，，…的一个通项公式为(　C　)
A. an＝　 B. an＝
C. an＝　 D. an＝
(2) 数列－，，－，，…的一个通项公式为an＝__(－1)n·(答案不唯一)_．
【解析】这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·.
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1) 各项的符号特征；(2) 各项能否拆分；(3) 分式的分子、分母的特征；(4) 相邻项的变化规律．其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律．
探究4　数列的函数特性
例4　(教材P5例3补充)在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1) －107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
【解答】令an＝－107，则－2n2＋9n＋3＝－107，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以a10＝－107，所以－107是该数列中的第10项．
(2) 求该数列中的最大项．
【解答】因为an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋，由于n∈N*，所以最大项为a2＝13.
求数列最大项或最小项的方法：
(1) 将数列视为函数f(x)，当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2) 通过通项公式研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
变式　若数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是第__9或10_项．
【解析】令f(x)＝x＋(x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥6，当且仅当x＝3时等号成立．因为an＝≤，n∈N*，所以当n＝9或n＝10时，an＝最大．
随堂内化及时评价
1. (多选)下列有关数列的说法中，正确的是(　CD　)
A. 数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列
B. 数列{an}与{a2n－1}表示同一数列
C. 数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一
D. 数列－1，1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－3，n∈N*
【解析】对于A，数列各项顺序不同，即表示不同的数列，故A错误；对于B，数列{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表示数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列，故B错误；对于C，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cos nπ等，故C正确；对于D，数列－1，1，3，5，7，…中的项都满足通项公式an＝2n－3，n∈N*，故D正确．
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　D　)
A. 不是数列{an}中的项
B. 只是数列{an}中的第2项
C. 只是数列{an}中的第6项
D. 是数列{an}中的第2项或第6项
【解析】令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
3. 数列3，5，7，9，…的一个通项公式是(　A　)
A. an＝2n＋1　 B. an＝2n＋1
C. an＝2n+1　 D. an＝2n+1－1
【解析】因为a1＝2×1＋1，a2＝2×2＋1，a3＝2×3＋1，a4＝2×4＋1，…，所以an＝2n＋1.
4. (2025·青岛期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是(　B　)
A. a7＝8　　 B. a8＝21　
C. a9＝33　　　 D. a10＝59
【解析】由题知a6＝a4＋a5＝8，a7＝a6＋a5＝13，a8＝a7＋a6＝21，a9＝a8＋a7＝34，a10＝a9＋a8＝55.
5. 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，且数列{an}中的最大项是第k项，则k＝__5或6_．
【解析】方法一：an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×.当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以当k＝5或k＝6时，数列{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝.
方法二：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则即解得即5≤n≤6.故当k＝5或k＝6时，{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则a10等于(　C　)
A. 100　 B. 110　　　　
C. 120　 D. 130
【解析】因为数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，所以a10＝102＋2×10＝120.
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则是这个数列的(　C　)
A. 第8项　 B. 第9项　　　　
C. 第10项　 D. 第12项
【解析】由题意知an＝＝，解得n＝10(n＝－12舍去).
3. 数列－，，－，，…的通项公式可能是(　D　)
A. an＝　 B. an＝
C. an＝　 D. an＝
【解析】由a1＝－，排除A，C.由a2＝，排除B.故选D.
4. 已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　A　)
A. 递增数列　 B. 递减数列　　　　
C. 摆动数列　 D. 常数列
【解析】因为an＝，所以an＋1－an＝－＝＝>0，所以an＋1>an，因此，数列{an}是递增数列．
二、 多项选择题
5. 已知n∈N*，下列四个选项中，能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　ABC　)
A. an＝　 B. an＝
C. an＝　 D. an＝
【解析】因为选项A，B，C逐一写出为0，1，0，1，0，1，…；选项D逐一写出为1，0，1，0，1，0，1，…，不满足，故选ABC.
6. 下列选项中正确的有(　ABD　)
A. 数列的第k项为1＋
B. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D. 若数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
【解析】数列的第k项为1＋，故A正确；令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，故B正确；将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，故C错误；an＝＝1－，则 an＋1－an＝－＝>0，因此数列{an}是递增数列，故D正确．
三、 填空题
7. 已知数列{an}的前4项依次为，－，，－，试写出数列{an}的一个通项公式：an＝__(－1)n+1·(答案不唯一)_．
【解析】2，4，6，8的通项为2n，3，5，7，9的通项为2n＋1，正负交替的通项为(－1)n+1，所以数列{an}的通项公式可以为an＝(－1)n+1·.
8. 给出下列数列：①2016～2023年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810；④2，4，6，8，….
其中，有穷数列是__①③_，无穷数列是__②④_，递增数列是__①④_，常数列是__②_，递减数列是__③_．(填序号)
【解析】①③为有穷数列；②④是无穷数列；①④是递增数列；②为常数列；③为递减数列．
9. 如图，关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有__210_个星星．
(第9题)
【解析】观察数列中的星星构成的规律：当n＝1时，有1个，当n＝2时，有1＋2个，当n＝3时，有1＋2＋3个，所以当n＝20时，有1＋2＋3＋…＋20＝＝210个．
四、 解答题
10. 写出下列各数列的一个通项公式：
(1) 4，6，8，10，…；
【解答】易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为an＝2n＋2，n∈N*.
(2) ，，，，，…；
【解答】易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成21，22，23，24，25，…，故该数列的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3) －1，，－，，…；
【解答】通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择(－1)n.又因为第1项可改写成分数－，所以每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成2n＋1的形式，分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式，所以该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*.
(4) 5，55，555，5 555，….
【解答】这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)，即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N*.
11. (教材P9第7题)已知函数f＝，设数列的通项公式为an＝f(n)(n∈N*).
(1) 求证：an≥.
【解答】由题意得an＝＝1－，因为n为正整数，所以2n≥2，0＜≤，1－≥，所以an≥.
(2) 是递增数列还是递减数列？为什么？
【解答】 是递增数列，理由如下：因为an＝＝1－，所以an＋1＝1－，所以an＋1－an＝－＝＞0，所以是递增数列．
12. 若数列{an}的通项公式是an＝n(n＋4)·，且数列{an}中的最大项是第k项，则k＝__4_．
【解析】依题意得an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)·－n(n＋4)＝·＝(10－n2)，所以当n≤3时，an＋1>an；当n≥4时，an＋1a5>a6>…，故a4最大，所以k＝4.
13. (2025·宣城期末)已知数列是递增数列，且cn＝则实数a的取值范围是(　C　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D.
【解析】由题意得解得2＜a＜3，故实数a的取值范围是(2，3).
14. (2024·宁波二模)已知数列满足an＝λn2－n，对任意n∈都有an＞an＋1，且对任意n∈都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是(　C　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D.
【解析】因为对任意n∈都有an＞an＋1，所以λn2－n＞λ(n＋1)2－(n＋1)对n∈恒成立，即λ＜对n∈恒成立，所以λ＜.因为对任意n∈都有an＜an＋1，所以λn2－n＜λ(n＋1)2－(n＋1)对n∈恒成立，即λ＞，所以λ＞.综上，＜λ＜，即实数λ的取值范围是.第1课时　数列的概念及简单表示
学习 目标 1. 理解数列的有关概念与数列的表示方法． 2. 理解数列的函数特征，掌握判断数列增减性的方法． 3. 掌握数列通项公式的概念及其应用，能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 一般地，把按照_________排列的_________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_________．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的_________(也叫做_________)，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的_________，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的_________，用an表示．
2. 表示：数列的一般形式是____________，简记为_________，这里n是项数．
3. 数列的分类
有穷数列：项数_________的数列；
无穷数列：项数_________的数列；
递增数列：从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列；
常数列：各项都_________的数列．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 数列1，0，1，0与0，1，0，1是两个不同的数列．(　　)
(2) 数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an＝.(　　)
(3) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)
(4) 若数列用图象表示，则从图象上看，它是一群孤立的点．(　　)
典例精讲能力初成
探究1　数列及其有关概念
例1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
①2 018，2 020，2 022，2 024，2 026；
②1，3，32，…，363；
③1，，，…，，…；
④－，，－，，…；
⑤0，10，20，…，1 000；
⑥9，9，9，9，9，9，….
(1) 有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．
(2) 数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列．
探究2　由通项公式写数列的前几项
例2　(教材P4例1)根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
(1) an＝；
(2) an＝cos .
根据所给的通项公式，将n的取值一一代入即可．
探究3　由数列的前几项求通项公式
例3　(教材P5例2补充)(1) 数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A. an＝　 B. an＝
C. an＝　 D. an＝
(2) 数列－，，－，，…的一个通项公式为an＝____________．
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1) 各项的符号特征；(2) 各项能否拆分；(3) 分式的分子、分母的特征；(4) 相邻项的变化规律．其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律．
探究4　数列的函数特性
例4　(教材P5例3补充)在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1) －107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
(2) 求该数列中的最大项．
求数列最大项或最小项的方法：
(1) 将数列视为函数f(x)，当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2) 通过通项公式研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
变式　若数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是第____________项．
随堂内化及时评价
1. (多选)下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列
B. 数列{an}与{a2n－1}表示同一数列
C. 数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一
D. 数列－1，1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－3，n∈N*
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)
A. 不是数列{an}中的项
B. 只是数列{an}中的第2项
C. 只是数列{an}中的第6项
D. 是数列{an}中的第2项或第6项
3. 数列3，5，7，9，…的一个通项公式是(　　)
A. an＝2n＋1　 B. an＝2n＋1
C. an＝2n+1　 D. an＝2n+1－1
4. (2025·青岛期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是(　　)
A. a7＝8　　 B. a8＝21　
C. a9＝33　　　 D. a10＝59
5. 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，且数列{an}中的最大项是第k项，则k＝_________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则a10等于(　　)
A. 100　 B. 110　　　　
C. 120　 D. 130
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)
A. 第8项　 B. 第9项　　　　
C. 第10项　 D. 第12项
3. 数列－，，－，，…的通项公式可能是(　　)
A. an＝　 B. an＝
C. an＝　 D. an＝
4. 已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)
A. 递增数列　 B. 递减数列　　　　
C. 摆动数列　 D. 常数列
二、 多项选择题
5. 已知n∈N*，下列四个选项中，能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　)
A. an＝　 B. an＝
C. an＝　 D. an＝
6. 下列选项中正确的有(　　)
A. 数列的第k项为1＋
B. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D. 若数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
三、 填空题
7. 已知数列{an}的前4项依次为，－，，－，试写出数列{an}的一个通项公式：an＝__________________．
8. 给出下列数列：①2016～2023年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810；④2，4，6，8，….
其中，有穷数列是_________，无穷数列是_________，递增数列是_________，常数列是_________，递减数列是_________．(填序号)
9. 如图，关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有_________个星星．
(第9题)
四、 解答题
10. 写出下列各数列的一个通项公式：
(1) 4，6，8，10，…；
(2) ，，，，，…；
(3) －1，，－，，…；
(4) 5，55，555，5 555，….
11. (教材P9第7题)已知函数f＝，设数列的通项公式为an＝f(n)(n∈N*).
(1) 求证：an≥.
(2) 是递增数列还是递减数列？为什么？
12. 若数列{an}的通项公式是an＝n(n＋4)·，且数列{an}中的最大项是第k项，则k＝_________．
13. (2025·宣城期末)已知数列是递增数列，且cn＝则实数a的取值范围是(　　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D.
14. (2024·宁波二模)已知数列满足an＝λn2－n，对任意n∈都有an＞an＋1，且对任意n∈都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是(　　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D.

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