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第四章
数列
4.1　数列的概念
第2课时　数列的递推公式与an和Sn的关系
学习 目标 1. 理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题．
2. 会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式．
3. 会用递推公式求数列的特定项及通项．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 已知一个数列的首项(或前几项)，如果这个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
2. 递推公式与通项公式的区别与联系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项________(或前几项)之间的关系 表示an与________之间的关系
联系 (1) 都是表示数列的一种方法； (2) 由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
an－1
序号n
3. 定义：数列{an}从第____项起到第____项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_________________．
4. 公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的________之间的对应关系可以用一个式子
来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是有an＝______________．
1
n
a1＋a2＋…＋an
序号n
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝－4n＋2(n∈Z*) .　 (　　)
(2) 如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的项． (　　)
×
√
×
典例精讲 能力初成
1
由递推公式写出数列的项
【解答】
探究
1
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
2
由递推公式求通项公式
【解答】
探究
2
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可．
　　　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝____________．
3
利用an与Sn的关系求通项公式
【解析】
探究
3
用an与Sn的关系求an的步骤
(1) 先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(2) 再利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(3) 验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4) 写出数列的通项公式．
　　　　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则数列{an}的通项公式为an＝______．
【解析】
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2.
1. 数列1，3，6，10，15，…的递推公式是 (　　)
A. an＋1＝an＋n，n∈N*
B. an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C. an＋1＝an＋n＋1，n∈N*，n≥2
D. an＝an－1＋n－1，n∈N*，n≥2
B
【解析】
由an＋1－an＝3＞0，知数列{an}为递增数列．
2. 已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是 (　　)
A. 递增数列　 B. 递减数列
C. 常数列　 D. 不能确定增减性
A
【解析】
因为a1＝1是自然数，所以a2＝a1－2＝1－2＝－1.因为a2＝－1不是自然数，所以a3＝a2＋3＝－1＋3＝2.因为a3＝2是自然数，所以a4＝a3－2＝2－2＝0.因为a4＝0是自然数，所以a5＝a4－2＝0－2＝－2.因为a5＝－2不是自然数，所以a6＝a5＋3＝－2＋3＝1.
3. 已知数列a1，a2，a3，…，an，…(n∈N*)满足下列条件：若an为自然数，则an＋1＝an－2，否则an＋1＝an＋3.若a1＝1，则a6的值为 (　　)
A. －2　 B. －1
C. 1　 D. 2
C
【解析】
【解答】
因为Sn＝－2n2＋10n, 所以n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋10(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋10n＋2(n－1)2－10(n－1)＝－4n＋12(n≥2).当n＝1时，a1＝－2＋10＝8＝－4×1＋12，此时满足an＝－4n＋12，所以an＝12－4n.
5. 若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列{an}的通项公式．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为 (　　)
A. 5　 B. 6
C. 7　 D. 8
D
【解析】
因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2. 已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，(　　)，55，…，括号中应填 (　　)
A. 23　 B. 33
C. 34　 D. 44
C
【解析】
根据题意，数列1，1，2，3，5，8，13，21满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，又由13＋21＝34，故括号中应填34.
3. 若数列{an}满足an＋1＝3an＋1，a1＝1，则此数列的第3项是 (　　)
A. 13　 B. 10
C. 7　 D. 4
A
【解析】
因为an＋1＝3an＋1，a1＝1，所以a2＝3a1＋1＝3×1＋1＝4，a3＝3a2＋1＝3×4＋1＝13.
【解析】
A
【解析】
ACD
6. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是 (　　　)
A. a8＝34 B. S8＝54
C. S2 024＝a2 026－1 D. a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024
BCD
【解析】
对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B正确；对于C，由an＝an＋1－an－1 (n≥2)，得a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋(a5－a3)＋…＋(an＋1－an－1)，即Sn＝－a2＋an＋an＋1＝an＋2－1，所以S2 024＝a2 026－1，故C正确；对于D，由an＝an＋1－an－1(n≥2)可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2 024－a2 022)＝a2 024，故D正确．
三、 填空题
7. 如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有________个化学键．
【解析】
由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键．
5n＋1
【解析】
12
129
9. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，则{an}的通项公式是an＝________．
2n－8
【解析】
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－7n)－[(n－1)2－7(n－1)]＝2n－8，而a1＝S1＝－6也适合上式，所以an＝2n－8.
四、 解答题
10. (1) 设Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－3，求a4的值；
【解答】
根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81.
(2) 已知数列{an}满足21a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n，求数列{an}的通项公式．
【解答】
11. 根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1) a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
【解答】
a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2(n∈N*).
【解答】
【解答】
12. 历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足f(1) ＝f(2)＝1，且满足递推关系f(n＋1)＝f(n)＋f(n－1)(n≥2，n∈N*)，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列{an}，则a601＝____.
【解析】
由题意可知a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝1，a6＝0；a7＝1，a8＝1，a9＝2，a10＝3，a11＝1，a12＝0，…，可以发现，数列{an}是周期为6的周期数列．由于601＝100×6＋1，所以a601＝a1＝1.
1
(1) 当m＝17时，求an＝1需要多少步雹程；
【解答】
当m＝17时，根据题中运算法则得出：17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，故当m＝17时，使得an＝1需要12步雹程．
谢谢观赏第2课时　数列的递推公式与an和Sn的关系
学习 目标 1. 理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题． 2. 会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式． 3. 会用递推公式求数列的特定项及通项．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 已知一个数列的首项(或前几项)，如果这个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
2. 递推公式与通项公式的区别与联系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项__an－1_(或前几项)之间的关系 表示an与__序号n_之间的关系
联系 (1) 都是表示数列的一种方法； (2) 由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
3. 定义：数列{an}从第__1_项起到第__n_项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝__a1＋a2＋…＋an_．
4. 公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的__序号n_之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是有an＝___．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝－4n＋2(n∈Z*) .　(　×　)
(2) 如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的项．(　√　)
(3) 已知a1＝3，an＝an－1＋1(n≥2)，则数列{an}为递增数列．　(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　由递推公式写出数列的项
例1　在数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N*，且n>1)，写出数列{an}的前5项．
【解答】由题意得a2＝3a1＋，又因为a1＝1，所以a2＝3×1＋＝.同理，a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91.
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
探究2　由递推公式求通项公式
例2　(教材P8练习第3题)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，写出它的前5项，并猜想它的通项公式．
【解答】a1＝2，a2＝2－＝2－＝，a3＝2－＝2－＝，a4＝2－＝2－＝，a5＝2－＝2－＝.猜想an＝.
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可．
探究3　利用an与Sn的关系求通项公式
例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝___．
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝
用an与Sn的关系求an的步骤
(1) 先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(2) 再利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(3) 验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4) 写出数列的通项公式．
变式　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则数列{an}的通项公式为an＝___．
【解析】由题知a1＝S1＝1＋2＝3①，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2)－[(n－1)2＋2]＝2n－1②.在②中，当n＝1时，2×1－1＝1，故a1不适合②式．所以数列{an}的通项公式为an＝
随堂内化及时评价
1. 数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　B　)
A. an＋1＝an＋n，n∈N*
B. an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C. an＋1＝an＋n＋1，n∈N*，n≥2
D. an＝an－1＋n－1，n∈N*，n≥2
【解析】由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2.
2. 已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　A　)
A. 递增数列　 B. 递减数列
C. 常数列　 D. 不能确定增减性
【解析】由an＋1－an＝3＞0，知数列{an}为递增数列．
3. 已知数列a1，a2，a3，…，an，…(n∈N*)满足下列条件：若an为自然数，则an＋1＝an－2，否则an＋1＝an＋3.若a1＝1，则a6的值为(　C　)
A. －2　 B. －1
C. 1　 D. 2
【解析】因为a1＝1是自然数，所以a2＝a1－2＝1－2＝－1.因为a2＝－1不是自然数，所以a3＝a2＋3＝－1＋3＝2.因为a3＝2是自然数，所以a4＝a3－2＝2－2＝0.因为a4＝0是自然数，所以a5＝a4－2＝0－2＝－2.因为a5＝－2不是自然数，所以a6＝a5＋3＝－2＋3＝1.
4. 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝___．
【解析】因为Sn＝，a4＝32，所以a4＝S4－S3＝32，即－＝32，解得a1＝.
5. 若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列{an}的通项公式．
【解答】因为Sn＝－2n2＋10n, 所以n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋10(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋10n＋2(n－1)2－10(n－1)＝－4n＋12(n≥2).当n＝1时，a1＝－2＋10＝8＝－4×1＋12，此时满足an＝－4n＋12，所以an＝12－4n.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　D　)
A. 5　 B. 6
C. 7　 D. 8
【解析】因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2. 已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，(　　)，55，…，括号中应填(　C　)
A. 23　 B. 33
C. 34　 D. 44
【解析】根据题意，数列1，1，2，3，5，8，13，21满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，又由13＋21＝34，故括号中应填34.
3. 若数列{an}满足an＋1＝3an＋1，a1＝1，则此数列的第3项是(　A　)
A. 13　 B. 10
C. 7　 D. 4
【解析】因为an＋1＝3an＋1，a1＝1，所以a2＝3a1＋1＝3×1＋1＝4，a3＝3a2＋1＝3×4＋1＝13.
4. 在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2 025等于(　A　)
A. －2　 B. －
C. －　 D. 3
【解析】因为a1＝－2，an＋1＝，所以a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2，所以该数列是周期数列，周期T＝4.又因为2 025＝506×4＋1，所以a2 025＝a1＝－2.
二、 多项选择题
5. 已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　ACD　)
A. a3＝－1 　 B. a2 025＝2
C. S6＝3 　 D. S102＝51
【解析】由数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以an＋3＝an，数列的周期为3，所以a2 025＝a675×3＝a3＝－1，S6＝3，S102＝51.
6. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　BCD　)
A. a8＝34
B. S8＝54
C. S2 024＝a2 026－1
D. a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024
【解析】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B正确；对于C，由an＝an＋1－an－1(n≥2)，得a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋(a5－a3)＋…＋(an＋1－an－1)，即Sn＝－a2＋an＋an＋1＝an＋2－1，所以S2 024＝a2 026－1，故C正确；对于D，由an＝an＋1－an－1(n≥2)可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2 024－a2 022)＝a2 024，故D正确．
三、 填空题
7. 如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有__5n＋1_个化学键．
(第7题)
【解析】由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键．
8. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝则a4＝__12_，数列{an}的前6项和为__129_．
【解析】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝则a2＝2a1＝2×1＝2，a3＝3a2＝3×2＝6，a4＝2a3＝2×6＝12，a5＝3a4＝3×12＝36，a6＝2a5＝2×36＝72，则数列{an}的前6项和为1＋2＋6＋12＋36＋72＝129.
9. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，则{an}的通项公式是an＝__2n－8_．
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－7n)－[(n－1)2－7(n－1)]＝2n－8，而a1＝S1＝－6也适合上式，所以an＝2n－8.
四、 解答题
10. (1) 设Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－3，求a4的值；
【解答】根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81.
(2) 已知数列{an}满足21a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n，求数列{an}的通项公式．
【解答】由21a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n①，得当n≥2时，21a1＋22a2＋23a3＋…＋2n-1an－1＝n－1②，由①－②得2nan＝1，所以an＝.又n＝1时，21a1＝1，所以a1＝，也适合an＝.综上，an＝.
11. 根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1) a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
【解答】a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2(n∈N*).
(2) a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)；
【解答】a1＝1，a2＝，a3＝2，a4＝.猜想an＝(n∈N*).
(3) a1＝－1，an＋1＝an＋(n∈N*).
【解答】a1＝－1，a2＝－，a3＝－，a4＝－.猜想an＝－(n∈N*).
12. 历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足f(1) ＝f(2)＝1，且满足递推关系f(n＋1)＝f(n)＋f(n－1)(n≥2，n∈N*)，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列{an}，则a601＝__1_.
【解析】由题意可知a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝1，a6＝0；a7＝1，a8＝1，a9＝2，a10＝3，a11＝1，a12＝0，…，可以发现，数列{an}是周期为6的周期数列．由于601＝100×6＋1，所以a601＝a1＝1.
13. (教材P56第9题)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：a1＝m(m为正整数)，　　
an＋1＝
(1) 当m＝17时，求an＝1需要多少步雹程；
【解答】当m＝17时，根据题中运算法则得出：17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，故当m＝17时，使得an＝1需要12步雹程．
(2) 若a8＝1，求m所有可能的取值集合M.
【解答】若a8＝1, 根据上述运算法则进行逆推，a7＝2，a6＝4，a5＝8或a5＝1.若a5＝8，则a4＝16，a3＝32或a3＝5；当a3＝32时，a2＝64，a1＝128或a1＝21；当a3＝5时，a2＝10，a1＝20或a1＝3. 若a5＝1，则a4＝2，a3＝4，a2＝8或a2＝1；当a2＝8时，a1＝16；当a2＝1时，a1＝2.综上，m所有可能的取值集合M＝{2，3，16，20，21，128}．第2课时　数列的递推公式与an和Sn的关系
学习 目标 1. 理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题． 2. 会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式． 3. 会用递推公式求数列的特定项及通项．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 已知一个数列的首项(或前几项)，如果这个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
2. 递推公式与通项公式的区别与联系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项_________(或前几项)之间的关系 表示an与_________之间的关系
联系 (1) 都是表示数列的一种方法； (2) 由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
3. 定义：数列{an}从第_________项起到第_________项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_________．
4. 公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的__________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是有an＝__________．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝－4n＋2(n∈Z*) .　(　　)
(2) 如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的项．(　　)
(3) 已知a1＝3，an＝an－1＋1(n≥2)，则数列{an}为递增数列．　(　　)
典例精讲能力初成
探究1　由递推公式写出数列的项
例1　在数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N*，且n>1)，写出数列{an}的前5项．
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
探究2　由递推公式求通项公式
例2　(教材P8练习第3题)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，写出它的前5项，并猜想它的通项公式．
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可．
探究3　利用an与Sn的关系求通项公式
例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝_________．
用an与Sn的关系求an的步骤
(1) 先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(2) 再利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(3) 验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4) 写出数列的通项公式．
变式　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则数列{an}的通项公式为an＝_________．
随堂内化及时评价
1. 数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A. an＋1＝an＋n，n∈N*
B. an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C. an＋1＝an＋n＋1，n∈N*，n≥2
D. an＝an－1＋n－1，n∈N*，n≥2
2. 已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)
A. 递增数列　 B. 递减数列
C. 常数列　 D. 不能确定增减性
3. 已知数列a1，a2，a3，…，an，…(n∈N*)满足下列条件：若an为自然数，则an＋1＝an－2，否则an＋1＝an＋3.若a1＝1，则a6的值为(　　)
A. －2　 B. －1
C. 1　 D. 2
4. 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝_________．
5. 若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列{an}的通项公式．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　)
A. 5　 B. 6
C. 7　 D. 8
2. 已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，(　　)，55，…，括号中应填(　　)
A. 23　 B. 33
C. 34　 D. 44
3. 若数列{an}满足an＋1＝3an＋1，a1＝1，则此数列的第3项是(　　)
A. 13　 B. 10
C. 7　 D. 4
4. 在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2 025等于(　　)
A. －2　 B. －
C. －　 D. 3
二、 多项选择题
5. 已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)
A. a3＝－1 　 B. a2 025＝2
C. S6＝3 　 D. S102＝51
6. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)
A. a8＝34
B. S8＝54
C. S2 024＝a2 026－1
D. a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024
三、 填空题
7. 如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有_________个化学键．
(第7题)
8. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝则a4＝_________，数列{an}的前6项和为__________．
9. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，则{an}的通项公式是an＝_________．
四、 解答题
10. (1) 设Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－3，求a4的值；
(2) 已知数列{an}满足21a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n，求数列{an}的通项公式．
11. 根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1) a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2) a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)；
(3) a1＝－1，an＋1＝an＋(n∈N*).
12. 历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足f(1) ＝f(2)＝1，且满足递推关系f(n＋1)＝f(n)＋f(n－1)(n≥2，n∈N*)，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列{an}，则a601＝__________.
13. (教材P56第9题)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：a1＝m(m为正整数)，　　
an＋1＝
(1) 当m＝17时，求an＝1需要多少步雹程；
(2) 若a8＝1，求m所有可能的取值集合M.

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