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第四章
数列
4.2　等差数列
第1课时　等差数列的概念及通项公式
学习 目标 1. 理解等差数列与等差中项的概念．
2. 掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．
3. 掌握等差数列的判断与证明方法．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个_______，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
2. 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝______________．
常数
公差
a1＋(n－1)d
2
3. 等差数列与一次函数的联系与区别
等差数列 一次函数
解析式 an＝dn＋(a1－d)(n∈N*) f(x)＝dx＋(a1－d)(d≠0，x∈R)
相同点 当d≠0时，解析式是关于自变量n的一次形式 解析式是关于自变量x的一次形式
不同点 (1) 其中d是数列的公差，没有限定d≠0，当d＝0时表示的是常数列； (2) 定义域为N*或其有限子集； (3) 图象是一条直线上均匀分布的一系列孤立的点 (1) 其中d是直线的斜率，限定了d≠0；
(2) 定义域为R；
(3) 图象是一条不能与x轴平行或重合的直线
4. 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，____叫做a与b的等差中项，这三个数满足关系式a＋b＝_____．
A
2A
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. (　　)
(2) 在等差数列{an}中，a10＝a1＋a9. (　　)
(3) 若等差数列{an}的公差d＜0，则数列{an}是递减数列；若d＞0，则数列{an}是递增数列. (　　)
(4) 若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　)
(5) 等差数列{an}的通项公式为关于n的一次函数，一次项系数就是数列的公差． (　　)
×
×
√
√
√
典例精讲 能力初成
　　　判断下列数列是否为等差数列．
(1) 在数列{an}中，an＝3n＋2；
1
等差数列的判定
【解答】
an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，由n的任意性知，这个数列为等差数列．
探究
1
(2) 在数列{an}中，an＝n2＋n.
【解答】
an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
判断等差数列的方法：
(1) 定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列；
(2) 等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列；
(3) 通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
【解答】
变式
　　　　　(教材P14例1补充)在等差数列{an}中：
(1) 已知a3＝－2，d＝3，求数列{an}的通项公式；
等差数列的通项公式及其应用
【解答】
因为a3＝－2，d＝3，且an＝a3＋(n－3)d，所以an＝－2＋(n－3)×3＝3n－11.
探究
2
2－1
(2) 若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
【解答】
因为an＝a5＋(n－5)d，a5＝11，an＝1，d＝－2，所以1＝11＋(n－5)× (－2)，所以n＝10.
　　　　(教材P16例4)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．
(1) 求数列{bn}的通项公式．
【解答】
设数列{bn}的公差为d′.由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.因为b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n.所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n.
2－2
(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由．
【解答】
数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1项，第5项，第9项，第13项，…，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3.令4n－3＝29，解得n＝8，所以b29是数列{an}的第8项.
　　　　(教材P16例4)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．
2－2
(1) 等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2) 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这种求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
　　　(1) 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
3
等差中项及其应用
【解答】
探究
3
【解答】
随堂内化 及时评价
【解析】
根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
1. (多选)下列数列是等差数列的是 (　　)
A. 0，0，0，0，0，…
B. 1，1，111，1 111，…
C. －5，－3，－1，1，3，…
D. 1，2，3，5，8，…
AC
【解析】
因为a4－a2＝2d＝6－4＝2，所以d＝1，所以a1＝a2－d＝3，所以an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.
2. 设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于 (　　)
A. n　 B. 2n
C. 2n－1　 D. n＋2
D
【解析】
等差数列4，6，8，…的通项公式为an＝2n＋2，令2n＋2＝2 000，解得n＝999.
3. 2 000是等差数列4，6，8，…的 (　　)
A. 第998项　 B. 第999项
C. 第1 001项　 D. 第1 000项
B
【解析】
4. 已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是____．
6
【解析】
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于 (　　)
A. 45　 B. 41
C. 39　 D. 37
B
【解析】
【解析】
C
3. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是
(　　)
A. 8　 B. 6
C. 4.5　 D. 3
D
【解析】
【解析】
D
【解析】
AB
6. 下列判断正确的是 (　　　)
A. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B. 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C. 若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D. 若a，b，c成等差数列，则c，b，a成等差数列
ACD
【解析】
因为a，b，c为等差数列，所以2b＝a＋c，所以c，b，a成等差数列，所以2·(2b)＝2a＋2c，所以2a，2b，2c成等差数列，故AD正确．C项中，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确．B项中，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，当a，b，c＞0时，由2log2b＝log2b2，log2a＋log2c＝log2ac，b2＝ac不一定成立，故B错误．
三、 填空题
7. 若等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是____．
3
【解析】
设首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝ －1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
8. 若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为
____________________．
【解析】
【解析】
50
【解答】
四、 解答题
10. 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1) 若a15＝8，a60＝20，求a105；
【解答】
(2) 若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
10. 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
【解答】
【解答】
【解析】
0
【解析】
D
【解答】
谢谢观赏第1课时　等差数列的概念及通项公式
学习 目标 1. 理解等差数列与等差中项的概念． 2. 掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 3. 掌握等差数列的判断与证明方法．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 如果一个数列从第__2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个__常数_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差_，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
2. 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝__a1＋(n－1)d_．
3. 等差数列与一次函数的联系与区别
等差数列 一次函数
解析式 an＝dn＋(a1－d)(n∈N*) f(x)＝dx＋(a1－d)(d≠0，x∈R)
相同点 当d≠0时，解析式是关于自变量n的一次形式 解析式是关于自变量x的一次形式
不同点 (1) 其中d是数列的公差，没有限定d≠0，当d＝0时表示的是常数列； (2) 定义域为N*或其有限子集； (3) 图象是一条直线上均匀分布的一系列孤立的点 (1) 其中d是直线的斜率，限定了d≠0； (2) 定义域为R； (3) 图象是一条不能与x轴平行或重合的直线
4. 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，__A_叫做a与b的等差中项，这三个数满足关系式a＋b＝__2A_．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　×　)
(2) 在等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.(　×　)
(3) 若等差数列{an}的公差d＜0，则数列{an}是递减数列；若d＞0，则数列{an}是递增数列. (　√　)
(4) 若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)
(5) 等差数列{an}的通项公式为关于n的一次函数，一次项系数就是数列的公差．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　等差数列的判定
例1　判断下列数列是否为等差数列．
(1) 在数列{an}中，an＝3n＋2；
【解答】an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2) 在数列{an}中，an＝n2＋n.
【解答】an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
判断等差数列的方法：
(1) 定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列；
(2) 等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列；
(3) 通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
变式　已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，求证：数列为等差数列．
【解答】因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
探究2　等差数列的通项公式及其应用
例2-1　(教材P14例1补充)在等差数列{an}中：
(1) 已知a3＝－2，d＝3，求数列{an}的通项公式；
【解答】因为a3＝－2，d＝3，且an＝a3＋(n－3)d，所以an＝－2＋(n－3)×3＝3n－11.
(2) 若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
【解答】因为an＝a5＋(n－5)d，a5＝11，an＝1，d＝－2，所以1＝11＋(n－5)×(－2)，所以n＝10.
例2-2　(教材P16例4)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．
(1) 求数列{bn}的通项公式．
【解答】设数列{bn}的公差为d′.由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.因为b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n.所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由．
【解答】数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1项，第5项，第9项，第13项，…，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3.令4n－3＝29，解得n＝8，所以b29是数列{an}的第8项.
(1) 等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2) 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这种求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
探究3　等差中项及其应用
例3　(1) 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
【解答】因为－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，则b＝＝3.因为a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1.因为c是3与7的等差中项，所以c＝＝5.所以该数列为－1，1，3，5，7.
(2) 已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
【解答】因为，，成等差数列，所以＝＋，即2ac＝b(a＋c).
因为＋＝
＝＝
＝＝，
所以，，成等差数列．
若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项 A＝.
随堂内化及时评价
1. (多选)下列数列是等差数列的是(　AC　)
A. 0，0，0，0，0，…
B. 1，1，111，1 111，…
C. －5，－3，－1，1，3，…
D. 1，2，3，5，8，…
【解析】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
2. 设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于(　D　)
A. n　 B. 2n
C. 2n－1　 D. n＋2
【解析】因为a4－a2＝2d＝6－4＝2，所以d＝1，所以a1＝a2－d＝3，所以an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.
3. 2 000是等差数列4，6，8，…的(　B　)
A. 第998项　 B. 第999项
C. 第1 001项　 D. 第1 000项
【解析】等差数列4，6，8，…的通项公式为an＝2n＋2，令2n＋2＝2 000，解得n＝999.
4. 已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是__6_．
【解析】由题意得所以3(m＋n)＝20＋16＝36，所以m＋n＝12，所以＝6，即m和n的等差中项是6.
5. 已知在等差数列{an}中，a1＝，公差d>0，且从第10项开始，每一项都大于1，则d的取值范围是___．
【解析】由题意可得解得＜d≤，故d的取值范围是.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于(　B　)
A. 45　 B. 41
C. 39　 D. 37
【解析】设公差为d，则d＝＝＝3，所以a1＝a2－d＝2，所以a14＝a1＋13d＝2＋13×3＝41.
2. 若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　C　)
A. b－a　 B.
C. 　 D.
【解析】由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝.
3. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　D　)
A. 8　 B. 6
C. 4.5　 D. 3
【解析】因为m＋2n＝8，2m＋n＝10，所以3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以m和n的等差中项是＝3.
4. 在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则(　D　)
A. an＝3n　 B. an＝
C. an＝n－　 D. an＝3n2
【解析】因为点(，)在直线x－y－＝0上，所以－＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以数列{}的通项公式为＝＋(n－1)＝n，所以an＝3n2.
二、 多项选择题
5. 在等差数列{an}中，若a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d的值可以为(　AB　)
A. 0　 B.
C. 1　 D. 2
【解析】根据题意知a4＋a8＝a a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.而a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0.
6. 下列判断正确的是(　ACD　)
A. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B. 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C. 若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D. 若a，b，c成等差数列，则c，b，a成等差数列
【解析】因为a，b，c为等差数列，所以2b＝a＋c，所以c，b，a成等差数列，所以2·(2b)＝2a＋2c，所以2a，2b，2c成等差数列，故AD正确．C项中，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确．B项中，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，当a，b，c＞0时，由2log2b＝log2b2，log2a＋log2c＝log2ac，b2＝ac不一定成立，故B错误．
三、 填空题
7. 若等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是__3_．
【解析】设首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
8. 若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为__an＝＋1，n∈N*_．
【解析】因为a＋(3－a)＝2(2a－1)，所以a＝，所以这个等差数列的前三项依次为，，，所以d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N*.
9. 在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝__50_，d＝___．
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a4＋a5＝2a1＋7d＝＋7d＝，解得d＝，所以ak＝a1＋(k－1)d＝＋＝＝33，解得k＝50.
四、 解答题
10. 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1) 若a15＝8，a60＝20，求a105；
【解答】由题意得解得所以a105＝a1＋104d＝＋104×＝32.
(2) 若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
【解答】由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，所以a2＋a5＝17.由解得或所以d＝＝＝3或d＝＝＝－3，所以公差d为3或－3.
11. 已知等差数列的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28.
(1) 求的通项公式；
【解答】设等差数列的公差为d，则d＞0.根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，所以a5＝8.因为a3a7＝28，即(a5－2d)·(a5＋2d)＝28，所以d2＝9，所以d＝3.由a5＝a1＋4d＝8，则a1＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
(2) 从中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断938是不是数列中的项，并说明理由．
【解答】结合(1)可知b1＝a3＝2，b2＝a6＝11，b3＝a9＝20，…bn＝a3n＝9n－7(n∈N*).令938＝9n－7，得n＝105∈N*，符合题意，即b105＝938，所以938是数列中的项．
12. (教材P18第3题)在等差数列中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝ __0_ .
【解析】设等差数列的公差为d，则 所以am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－m－n＋1＝0.
13. 已知数列{an}满足递推关系an＋1·an＝an－an＋1，a1＝，则a2 025等于(　D　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】因为an＋1·an＝an－an＋1，a1＝，所以－＝1，＝2，即数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋2 024×1＝2 026，所以a2 025＝.
14. 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)·an＝2n2＋2n，证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【解答】在等式nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n两边同时除以n(n＋1)，可得－＝2，所以数列为等差数列，且其首项为＝1，公差为2，因此＝1＋2(n－1)＝2n－1，故an＝2n2－n(n∈N*).第1课时　等差数列的概念及通项公式
学习 目标 1. 理解等差数列与等差中项的概念． 2. 掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 3. 掌握等差数列的判断与证明方法．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 如果一个数列从第__________项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的___________，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
2. 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝__________．
3. 等差数列与一次函数的联系与区别
等差数列 一次函数
解析式 an＝dn＋(a1－d)(n∈N*) f(x)＝dx＋(a1－d)(d≠0，x∈R)
相同点 当d≠0时，解析式是关于自变量n的一次形式 解析式是关于自变量x的一次形式
不同点 (1) 其中d是数列的公差，没有限定d≠0，当d＝0时表示的是常数列； (2) 定义域为N*或其有限子集； (3) 图象是一条直线上均匀分布的一系列孤立的点 (1) 其中d是直线的斜率，限定了d≠0； (2) 定义域为R； (3) 图象是一条不能与x轴平行或重合的直线
4. 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，__________叫做a与b的等差中项，这三个数满足关系式a＋b＝__________．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)
(2) 在等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.(　　)
(3) 若等差数列{an}的公差d＜0，则数列{an}是递减数列；若d＞0，则数列{an}是递增数列. (　　)
(4) 若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(5) 等差数列{an}的通项公式为关于n的一次函数，一次项系数就是数列的公差．(　　)
典例精讲能力初成
探究1　等差数列的判定
例1　判断下列数列是否为等差数列．
(1) 在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2) 在数列{an}中，an＝n2＋n.
判断等差数列的方法：
(1) 定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列；
(2) 等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列；
(3) 通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
变式　已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，求证：数列为等差数列．
探究2　等差数列的通项公式及其应用
例2-1　(教材P14例1补充)在等差数列{an}中：
(1) 已知a3＝－2，d＝3，求数列{an}的通项公式；
(2) 若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
例2-2　(教材P16例4)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．
(1) 求数列{bn}的通项公式．
(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由．
(1) 等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2) 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这种求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
探究3　等差中项及其应用
例3　(1) 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
(2) 已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项 A＝.
随堂内化及时评价
1. (多选)下列数列是等差数列的是(　　)
A. 0，0，0，0，0，…
B. 1，1，111，1 111，…
C. －5，－3，－1，1，3，…
D. 1，2，3，5，8，…
2. 设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于(　　)
A. n　 B. 2n
C. 2n－1　 D. n＋2
3. 2 000是等差数列4，6，8，…的(　　)
A. 第998项　 B. 第999项
C. 第1 001项　 D. 第1 000项
4. 已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是__________．
5. 已知在等差数列{an}中，a1＝，公差d>0，且从第10项开始，每一项都大于1，则d的取值范围是__________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于(　　)
A. 45　 B. 41
C. 39　 D. 37
2. 若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　)
A. b－a　 B.
C. 　 D.
3. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)
A. 8　 B. 6
C. 4.5　 D. 3
4. 在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则(　　)
A. an＝3n　 B. an＝
C. an＝n－　 D. an＝3n2
二、 多项选择题
5. 在等差数列{an}中，若a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d的值可以为(　　)
A. 0　 B.
C. 1　 D. 2
6. 下列判断正确的是(　　)
A. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B. 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C. 若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D. 若a，b，c成等差数列，则c，b，a成等差数列
三、 填空题
7. 若等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是__________．
8. 若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为__________．
9. 在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝__________，d＝__________．
四、 解答题
10. 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1) 若a15＝8，a60＝20，求a105；
(2) 若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
11. 已知等差数列的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28.
(1) 求的通项公式；
(2) 从中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断938是不是数列中的项，并说明理由．
12. (教材P18第3题)在等差数列中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝__________.
13. 已知数列{an}满足递推关系an＋1·an＝an－an＋1，a1＝，则a2 025等于(　　)
A. 　 B.
C. 　 D.
14. 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)·an＝2n2＋2n，证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．

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