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第四章
数列
4.2　等差数列
第3课时　等差数列前n项和公式
学习 目标 1. 了解等差数列前n项和公式发现的背景．
2. 推导并掌握等差数列前n项和公式．
3. 能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝____________ Sn＝________________
×
√
×
×
×
×
典例精讲 能力初成
　　　(教材P21例 6)已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1＝7，a50＝101，求S50；
1
等差数列前n项和的有关计算
【解答】
探究
1
【解答】
【解答】
　　　(教材P21例 6)已知数列{an}是等差数列.；
1
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理．
(1) “知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式与前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个．
(2) “知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解，体现了方程的思想．
【解析】
变式1
A
(2) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于 (　　)
A. －12　 B. －10
C. 10　 D. 12
【解析】
B
　　　　(1) 在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是 (　　)
A. 12　 B. 24
C. 36　 D. 48
【解析】
B
变式2
(2) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为
(　　)
A. 18　 B. 19
C. 20　 D. 21
【解析】
D
　　　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
(1) 求数列{an}的通项公式；
2
数列{|an|}的前n项和问题
【解答】
探究
2
【解答】
　　　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
2
　　　　设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
变式
(2) 设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.
【解答】
　　　　设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
A
【解析】
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于 (　　)
A. 10　 B. 12 C. 15　 D. 30
C
【解析】
B
【解析】
4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝100，则a4＋a7等于 (　　)
A. 12　　 B. 20 C. 40　　 D. 100
B
【解析】
5. (多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值可能为 (　　)
A. 6　 B. －2 C. －6　 D. 2
AB
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是 (　　)
A. 55 　 B. 11 C. 50 　 D. 60
A
【解析】
【解析】
D
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a8＋a9为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是 (　　)
A. S6　 B. S11 C. S13　 D. S12
B
【解析】
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为 (　　)
A. 56　 B. 58 C. 62　 D. 60
D
【解析】
【解析】
AD
【解析】
【答案】BCD
【解析】
95
8. 在等差数列{an}中，若a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝_____，项数n＝_____．
【解析】
27
9. 已知等差数列{an}，an＝28－3n，则数列{|an|}的前17项和S17＝______．
217
【解析】
四、 解答题
10. 已知等差数列{an}．
(1) 若a1＝1，a4＝7，求S9；
【解答】
(2) 若a3＋a15＝40，求S17；
【解答】
【解答】
10. 已知等差数列{an}．
11. 在等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1) 求{an}的通项公式；
【解答】
(2) 记Tn为数列{bn}的前n项和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
【解答】
11. 在等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
【解析】
【答案】1
13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＋a5＝8，a＝a1a7.
(1) 求{an}的通项公式．
【解答】
【解答】
13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＋a5＝8，a＝a1a7.
谢谢观赏第3课时　等差数列前n项和公式
学习 目标 1. 了解等差数列前n项和公式发现的背景． 2. 推导并掌握等差数列前n项和公式． 3. 能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养．
新知初探基础落实
一、 概念表述
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝___ Sn＝__na1＋d_
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 等差数列{an}的前n项和Sn是一个关于n的二次函数，其常数项为0.　(　×　)
(2) 1＋2＋3＋…＋n＝.　(　√　)
(3) 等差数列{an}的前n项和Sn是一个关于n的二次函数，二次项系数就是数列的公差．　(　×　)
(4) 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋3，则数列{an}是等差数列．(　×　)
(5) 若数列{an}是等差数列，且公差d＜0，则其前n项和Sn递减．　　(　×　)
(6) 对于等差数列{an}的前n项和Sn，不存在Sp＝Sq(p≠q).　(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　等差数列前n项和的有关计算
例1　(教材P21例 6)已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1＝7，a50＝101，求S50；
【解答】因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2 700.
(2) 若a1＝2，a2＝，求S10；
【解答】因为a1＝2，a2＝，所以d＝.根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋×＝.
(3) 若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n.
【解答】把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝n＋×.整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，所以n＝12.
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理．
(1) “知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式与前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个．
(2) “知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解，体现了方程的思想．
变式1　(教材P21例7补充)(1) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　A　)
A. an＝2n－5　 B. an＝3n－10
C. Sn＝2n2－8n　 D. Sn＝n2－2n
【解析】由题知解得所以an＝2n－5，Sn＝n2－4n.
(2) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　B　)
A. －12　 B. －10
C. 10　 D. 12
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3＝2a1＋d＋4a1＋×d.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
变式2　(1) 在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　B　)
A. 12　 B. 24
C. 36　 D. 48
【解析】由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.
(2) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为(　D　)
A. 18　 B. 19
C. 20　 D. 21
【解析】由等差数列的性质可得S9＝＝9a5＝18，解得a5＝2，故a5＋an－4＝32，Sn＝＝(a5＋an－4)＝16n＝336，解得n＝21.
探究2　数列{|an|}的前n项和问题
例2　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得即解得所以an＝13－2(n－1)＝15－2n.
(2) 求数列的前n项和Tn.
【解答】因为Sn＝＝14n－n2.令an＝15－2n＞0，解得n＜，且n∈N*，当n≤7时，则an＞0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2；当n≥8时，则an＜0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98.综上所述，Tn＝
变式　设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】根据已知条件可设等差数列{an}的公差为d，则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19.
(2) 设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.
【解答】由(1)得Sn＝＝－n2＋18n，所以Tn＝－n2＋18n－10.当n＝1时，b1＝T1＝7；当n≥2且n∈N*时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19.又b1＝7不符合此式，所以bn＝当1≤n≤9时，bn＞0；当n≥10时，bn＜0.所以当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn)＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152.
综上所述，Rn＝
随堂内化及时评价
1. 已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　A　)
A. －n2＋　　 B. －n2－
C. n2＋　　 D. n2－
【解析】由题知{an}为等差数列，又a1＝2－3＝－1，所以Sn＝＝－n2＋.
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于(　C　)
A. 10　 B. 12
C. 15　 D. 30
【解析】因为在等差数列{an}中，a2＋a4＝6，故a1＋a5＝6，所以S5＝＝＝15.
3. (2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1等于(　B　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
【解析】由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.
4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝100，则a4＋a7等于(　B　)
A. 12　　 B. 20
C. 40　　 D. 100
【解析】方法一：由等差数列的前n项和公式得S10＝10a1＋d＝100，即2a1＋9d＝20，从而a4＋a7＝a1＋3d＋a1＋6d＝2a1＋9d＝20.
方法二：由题意可得S10＝＝100，即a1＋a10＝20，所以a4＋a7＝a1＋a10＝20.
5. (多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值可能为(　AB　)
A. 6　 B. －2
C. －6　 D. 2
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由a1＋a＝1，得a1＋(a1＋d)2＝1，而a2与a4的等差中项为2，即a1＋2d＝a3＝2，将a1＝2－2d代入a1＋(a1＋d)2＝1并整理，得d2－6d＋5＝0，解得d＝1或d＝5.当d＝1时，a1＝0，则S4＝4a1＋6d＝6；当d＝5时，a1＝－8，则S4＝4a1＋6d＝－2.所以S4的值是－2或6.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是(　A　)
A. 55 　 B. 11
C. 50 　 D. 60
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55.
2. (2024·全国甲卷)已知等差数列的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7等于(　D　)
A. －2　 B.
C. 1　 D.
【解析】方法一：由S9＝9a1＋d＝1 9a1＋36d＝1，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝(9a1＋36d)＝.
方法二：根据等差数列的性质得a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝＝＝1，得a3＋a7＝.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a8＋a9为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　B　)
A. S6　 B. S11
C. S13　 D. S12
【解析】由a1＋a8＋a9＝a1＋a1＋7d＋a1＋8d＝3(a1＋5d)＝3a6＝(a1＋a11)为一确定的常数，从而S11＝(a1＋a11)×11＝11a6为确定的常数．
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为(　D　)
A. 56　 B. 58
C. 62　 D. 60
【解析】因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－5n＋7，两式相减可得an＝2n－6.当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满足上式，故an＝则数列{an}从第二项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{|an|}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60.
二、 多项选择题
5. (2025·青岛期末)已知等差数列的公差为d，Sn为其前n项和，a1＝10，a6＝0，则(　AD　)
A. d＝－2　 B. a8＝4
C. S10＝20　 D. Sn的最大值为30
【解析】对于A，d＝＝－2，故A正确；对于B，a8＝a1＋7d＝10＋(－14)＝－4，故B错误；对于C，S10＝10a1＋d＝100＋45×(－2)＝10，故C错误；对于D，因为d＝－2，所以数列{an}递减，且a6＝0，所以Sn的最大值为S5＝S6＝6a1＋×d＝30，故D正确．
6. 设Sn是等差数列的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则(　BCD　)
A. a5＝12
B. 公差d＝3
C. S2n＝n
D. 数列的前n项和为
【解析】因为数列是等差数列，所以a3＝a1＋2d＝2＋2d＝8，解得d＝3，故B正确；an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，对于A，a5＝3×5－1＝14，故A不正确；对于C，S2n＝×2n＝n(6n＋1)，故C正确；对于D，＝＝，所以其前n项和为－＝＝＝，故D正确．
三、 填空题
7. (2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝__95_.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由题意得解得则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95.
8. 在等差数列{an}中，若a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝___，项数n＝__27_．
【解析】由等差数列的通项公式和前n项和公式得解得
9. 已知等差数列{an}，an＝28－3n，则数列{|an|}的前17项和S17＝__217_．
【解析】设等差数列{an}的前n项和为Tn，令an＝28－3n≥0，解得n≤，所以当n≤9时，an≥0，当n≥10时，an<0，故S17＝|a1|＋…＋|a9|＋|a10|＋…＋|a17|＝a1＋…＋a9－(a10＋…＋a17)＝2T9－T17＝2×－＝217.
四、 解答题
10. 已知等差数列{an}．
(1) 若a1＝1，a4＝7，求S9；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2) 若a3＋a15＝40，求S17；
【解答】S17＝＝＝＝340.
(3) 若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
【解答】由题意得Sn＝＝＝－5，解得n＝15.又因为a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－.所以n＝15，d＝－.
11. 在等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1) 求{an}的通项公式；
【解答】因为在等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，所以a2＋a6＝a3＋a5＝－8.又因为a3a5＝7，所以a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，所以解得a1＝5，d＝－3.所以an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2) 记Tn为数列{bn}的前n项和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
【解答】由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.因为bn＝|an|，所以b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4.当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.当n<3时，T1＝5，T2＝7；当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝－＋14.因为Tn≥1 464，所以Tn＝－＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，所以n的最小值为34.
12. 我国南宋数学家杨辉在其专著《详解九章算法》中提出了一些高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第2项开始，每一项与前一项的差组成新的等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为__1_．
【解析】依题知a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n(n≥2)，累加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝(n≥2)，故an＝(n≥2).又a1＝1满足上式，所以an＝，所以＝＋＝＋－≥2－，当且仅当＝，即n＝－1时等号成立，又n∈N*，所以等号取不到，所以最小值在n＝1时取得．当n＝1时，＝1，所以的最小值为1.
13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＋a5＝8，a＝a1a7.
(1) 求{an}的通项公式．
【解答】因为{an}为等差数列，且a1＋a5＝8，所以a3＝4.而a＝a1a7，即16＝(4－2d)(4＋4d)，化简得d2－d＝0，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝a3＋(n－3)d＝4＋n－3＝n＋1.
(2) 设bn＝，是否存在一个非零常数t，使得数列{bn}也为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【解答】由(1)易知Sn＝，所以bn＝，因为t≠0，所以可令t＝3，得到bn＝.因为bn＋1－bn＝－＝，所以数列{bn}是公差为的等差数列，即存在非零常数t＝3，使得数列{bn}也为等差数列.第3课时　等差数列前n项和公式
学习 目标 1. 了解等差数列前n项和公式发现的背景． 2. 推导并掌握等差数列前n项和公式． 3. 能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养．
新知初探基础落实
一、 概念表述
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝_____________ Sn＝__________
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 等差数列{an}的前n项和Sn是一个关于n的二次函数，其常数项为0.　(　　)
(2) 1＋2＋3＋…＋n＝.　(　　)
(3) 等差数列{an}的前n项和Sn是一个关于n的二次函数，二次项系数就是数列的公差．　(　　)
(4) 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋3，则数列{an}是等差数列．(　　)
(5) 若数列{an}是等差数列，且公差d＜0，则其前n项和Sn递减．　　(　　)
(6) 对于等差数列{an}的前n项和Sn，不存在Sp＝Sq(p≠q).　(　　)
典例精讲能力初成
探究1　等差数列前n项和的有关计算
例1　(教材P21例 6)已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2) 若a1＝2，a2＝，求S10；
(3) 若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n.
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理．
(1) “知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式与前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个．
(2) “知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解，体现了方程的思想．
变式1　(教材P21例7补充)(1) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A. an＝2n－5　 B. an＝3n－10
C. Sn＝2n2－8n　 D. Sn＝n2－2n
(2) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)
A. －12　 B. －10
C. 10　 D. 12
变式2　(1) 在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　　)
A. 12　 B. 24
C. 36　 D. 48
(2) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为(　　)
A. 18　 B. 19
C. 20　 D. 21
探究2　数列{|an|}的前n项和问题
例2　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求数列的前n项和Tn.
变式　设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.
随堂内化及时评价
1. 已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A. －n2＋　　 B. －n2－
C. n2＋　　 D. n2－
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于(　　)
A. 10　 B. 12
C. 15　 D. 30
3. (2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1等于(　　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝100，则a4＋a7等于(　　)
A. 12　　 B. 20
C. 40　　 D. 100
5. (多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值可能为(　　)
A. 6　 B. －2
C. －6　 D. 2
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是(　　)
A. 55 　 B. 11
C. 50 　 D. 60
2. (2024·全国甲卷)已知等差数列的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7等于(　　)
A. －2　 B.
C. 1　 D.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a8＋a9为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　　)
A. S6　 B. S11
C. S13　 D. S12
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为(　　)
A. 56　 B. 58
C. 62　 D. 60
二、 多项选择题
5. (2025·青岛期末)已知等差数列的公差为d，Sn为其前n项和，a1＝10，a6＝0，则(　　)
A. d＝－2　 B. a8＝4
C. S10＝20　 D. Sn的最大值为30
6. 设Sn是等差数列的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则(　　)
A. a5＝12
B. 公差d＝3
C. S2n＝n
D. 数列的前n项和为
三、 填空题
7. (2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝__________.
8. 在等差数列{an}中，若a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝__________，项数n＝__________．
9. 已知等差数列{an}，an＝28－3n，则数列{|an|}的前17项和S17＝__________．
四、 解答题
10. 已知等差数列{an}．
(1) 若a1＝1，a4＝7，求S9；
(2) 若a3＋a15＝40，求S17；
(3) 若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
11. 在等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 记Tn为数列{bn}的前n项和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
12. 我国南宋数学家杨辉在其专著《详解九章算法》中提出了一些高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第2项开始，每一项与前一项的差组成新的等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为__________．
13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＋a5＝8，a＝a1a7.
(1) 求{an}的通项公式．
(2) 设bn＝，是否存在一个非零常数t，使得数列{bn}也为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

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