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第四章
数列
4.3　等比数列
第4课时　等比数列前n项和公式的应用
学习 目标 1. 理解等比数列前n项和的结构特征，能利用等比数列的前n项和解决简单的实际问题．
2. 掌握利用分组转化法求数列的前n项和．
典例精讲 能力初成
　　　已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，则a＝______．
1
等比数列前n项和的结构特征
【解析】
方法一：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，所以a1＝6＋a，an＝Sn－Sn－1＝3×2n＋a－(3×2n-1＋a)＝3×2n-1(n≥2)，6＋a＝3，a＝－3.
探究
1
－3
　　　　若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝_____．
【解析】
变式
　　　设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1) 求{an}的通项公式；
2
等差数列、等比数列的综合
【解答】
设q(q＞0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以{an}的通项公式为an＝2·2n-1＝2n.
探究
2
(2) 设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
【解答】
某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
　　　　在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3＋2，a8构成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
在等差数列{an}中，a1＝2，设公差为d，由a2，a3＋2，a8构成等比数列，可得a2a8＝(a3＋2)2，即有(2＋d)(2＋7d)＝(4＋2d)2，解得d＝±2.因为当d＝－2时，a2＝0，不满足题意，舍去，所以d＝2，an＝2＋2(n－1)＝2n.
变式
(2) 令bn＝2an＋2，记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn≥10 000，求正整数n的最小值．
【解答】
　　　　在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3＋2，a8构成等比数列．
变式
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
【解答】
3
　　　(教材P38例10)如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
【解答】
3
　　　(教材P38例10)如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
　　　　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
(1) 求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；
【解答】
变式
【解答】
　　　　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
变式
(3) 求S10＝a1＋a2＋a3＋…＋a10的值．
【解答】
　　　　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，且等比数列前n项和Sn＝A－Aqn，解得t＝－1，a3＝S3－S2＝18，所以t＋a3＝－1＋18＝17.
1. 若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，则t＋a3的值为 (　　)
A. 1　 B. －1
C. 17　 D. 18
C
【解析】
由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，即公比q＝3，所以an＝a1qn-1＝3n-1.
2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
3n-1
【解析】
3. 已知数列{an}满足an＝2n＋n，则a1＋a2＋a3＋…＋a10的值是 (　　)
A. 2 100　 B. 2 101
C. 2 102　 D. 2 103
B
【解析】
依题意可得{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a3＋a4＋a5＋a6＝8＋16＋32＋64＝120.
4. “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成an卦，则a3＋a4＋a5＋a6等于 (　　)
A. 120　 B. 122
C. 124　 D. 128
A
5. (多选)《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目“把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三”，则下列结论正确的是 (　　)
A. 最小的一份为3 B. 最小的一份为4
C. 较小的两份之和为9 D. 较大的两份之和为72
【解析】
【答案】ACD
配套新练案
一、 单项选择题
1. 设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n-1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于
(　　)
A. 2n－n＋2　 B. 2n+1－n＋2　　　
C. 2n－n－2　 D. 2n+1－n－2
D
【解析】
2. 一弹球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和约为 (　　)
A. 300 m　 B. 299 m
C. 199 m　 D. 166 m
A
【解析】
3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若2，Sn，3an成等差数列，则S5的值为 (　　)
A. －243　 B. －242
C. －162　 D. 243
B
【解析】
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　　)
A. 1盏　 B. 3盏
C. 5盏　 D. 9盏
B
【解析】
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【答案】AC
三、 填空题
7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－2n+1，则a＝____．
2
【解析】
因为等比数列前n项和Sn＝A－Aqn，Sn＝a－2n+1＝a－2×2n，所以a＝2.
8. 在数列{an}中，若a1＝5，an＋1＝2an＋5，则{an}的通项公式是______________．
an＝5(2n－1)
【解析】
由an＋1＝2an＋5，得an＋1＋5＝2(an＋5)，所以数列{an＋5}是以(a1＋5)为首项，2为公比的等比数列，所以an＋5＝10·2n-1＝5·2n，an＝5(2n－1).
9. 有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．
9 910
【解析】
四、 解答题
10. 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】
(2) 设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】
10. 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金
2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1) 用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
【解答】
(2) 若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
【解答】
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【解析】
【答案】ABD
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学习 目标 1. 理解等比数列前n项和的结构特征，能利用等比数列的前n项和解决简单的实际问题． 2. 掌握利用分组转化法求数列的前n项和．
典例精讲能力初成
探究1　等比数列前n项和的结构特征
例1　已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，则a＝__－3_．
【解析】方法一：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，所以a1＝6＋a，an＝Sn－Sn－1＝3×2n＋a－(3×2n-1＋a)＝3×2n-1(n≥2)，6＋a＝3，a＝－3.
方法二：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，所以q≠1，Sn＝.令A＝，则Sn＝A－Aqn，Sn＝3×2n＋a＝a－(－3)×2n，故a＝－3.
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数．
变式　若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝___．
【解析】因为Sn＝3n+1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，所以Sn＝，令A＝，则Sn＝A－Aqn，故－2k＝－3，即k＝.
探究2　等差数列、等比数列的综合
例2　设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1) 求{an}的通项公式；
【解答】设q(q＞0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以{an}的通项公式为an＝2·2n-1＝2n.
(2) 设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
【解答】由(1) 及已知得an＋bn＝2n＋(2n－1)，所以Sn＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.
某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
变式　在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3＋2，a8构成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】在等差数列{an}中，a1＝2，设公差为d，由a2，a3＋2，a8构成等比数列，可得a2a8＝(a3＋2)2，即有(2＋d)(2＋7d)＝(4＋2d)2，解得d＝±2.因为当d＝－2时，a2＝0，不满足题意，舍去，所以d＝2，an＝2＋2(n－1)＝2n.
(2) 令bn＝2an＋2，记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn≥10 000，求正整数n的最小值．
【解答】由(1)得bn＝2an＋2＝4n＋2，则bn＞0，Sn递增，Sn＝(4＋42＋…＋4n)＋2n＝＋2n＝＋2n.由S6＝×(47－4)＋12＝5 472＜10 000，S7＝×(48－4)＋14＝21 858＞10 000，可得Sn≥10 000时，正整数n的最小值为7.
探究3　等比数列的实际应用
例3　(教材P38例10)如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
(例3)
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
【解答】设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1＝25.由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝ak.因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列，设{an}的前n项和为Sn.
(1) S10＝＝50×＝，所以前10个正方形的面积之和为 cm2.
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
【解答】当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋….而Sn＝＝50，随着n的无限增大，n将趋近于0，Sn将趋近于50.所以所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
变式　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
(1) 求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；
【解答】由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋，所以an＝an－1＋(n≥2).
(2) 判断是否是等比数列，并说明理由；
【解答】由(1)得an＝an－1＋，所以an－＝an－1＋－＝an－1－＝(n≥2)，所以是等比数列．
(3) 求S10＝a1＋a2＋a3＋…＋a10的值．
【解答】由(2)有an－＝，而a1＝，所以a1－＝－，q＝，所以an－＝－，即an＝－＋.因为a1－＋a2－＋a3－＋a4－＋a5－＋a6－＋a7－＋a8－＋a9－＋a10－＝＝－，所以S10＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝－＋10×＝＋2×9.
随堂内化及时评价
1. 若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，则t＋a3的值为(　C　)
A. 1　 B. －1
C. 17　 D. 18
【解析】因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，且等比数列前n项和Sn＝A－Aqn，解得t＝－1，a3＝S3－S2＝18，所以t＋a3＝－1＋18＝17.
2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝__3n-1_．
【解析】由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，即公比q＝3，所以an＝a1qn-1＝3n-1.
3. 已知数列{an}满足an＝2n＋n，则a1＋a2＋a3＋…＋a10的值是(　B　)
A. 2 100　 B. 2 101
C. 2 102　 D. 2 103
【解析】因为an＝2n＋n，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
4. “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成an卦，则a3＋a4＋a5＋a6等于(　A　)
A. 120　 B. 122
C. 124　 D. 128
【解析】依题意可得{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a3＋a4＋a5＋a6＝8＋16＋32＋64＝120.
5. (多选)《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目“把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三”，则下列结论正确的是(　ACD　)
A. 最小的一份为3
B. 最小的一份为4
C. 较小的两份之和为9
D. 较大的两份之和为72
【解析】设等比数列为{an}，其公比为q，由题意知S5＝＝93，a1＋a2＝a3，可得a1＋a1q＝a1q2.因为a1≠0，所以1＋q＝q2，解得q＝2或q＝－(舍去).当q＝2时，可得＝93，解得a1＝3，a2＝3×2＝6，a1＋a2＝9，a4＝a1q3＝3×8＝24，a5＝a4q＝24×2＝48，a4＋a5＝24＋48＝72.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n-1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于(　D　)
A. 2n－n＋2　 B. 2n+1－n＋2　　　　
C. 2n－n－2　 D. 2n+1－n－2
【解析】因为an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2.
2. 一弹球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和约为(　A　)
A. 300 m　 B. 299 m
C. 199 m　 D. 166 m
【解析】小球10次着地共经过的路程为100＋2×50[1＋＋＋…＋＋]＝100＋100×≈300(m).
3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若2，Sn，3an成等差数列，则S5的值为(　B　)
A. －243　 B. －242
C. －162　 D. 243
【解析】因为2，Sn，3an成等差数列，所以2Sn＝2＋3an.当n＝1时，2S1＝2a1＝2＋3a1，所以a1＝－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1＋an－1－an－1＝an－an－1，所以an＝3an－1(n≥2)，所以数列{an}是首项a1＝－2，公比q＝3的等比数列，所以S5＝＝＝－242.
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　B　)
A. 1盏　 B. 3盏
C. 5盏　 D. 9盏
【解析】设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有＝381，解得x＝3，即塔的顶层共有灯3盏．
二、 多项选择题
5. 在《算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法中正确的是(　ABD　)
A. 此人第二天走了九十六里路
B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C. 此人第三天走的路程占全程的
D. 此人后三天共走了四十二里路
【解析】设此人第n天走an里路，因为三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关，所以{an}是首项为a1，公比q＝的等比数列．由等比数列前n项和公式得S6＝＝378，解得a1＝192.A中，a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，故A正确；B中，378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正确；C中，a3＝192×＝48，＞，故C错误；D中，a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．
6. 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列判断正确的是(　AC　)
A. ＝9　 B. {an}为递减数列
C. Sn＝2an－a1　 D. S3，S6，S9成等比数列
【解析】由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则q＝2，对于A，由于＝＝9，故A正确；对于B，当首项a1>0时，可得{an}为递增数列，故B错误；对于C，由{an}为公比为q的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，故C正确；对于D，假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S9×S3，即(1－26)2＝(1－23)×(1－29)，显然此式不成立，S3，S6，S9不成等比数列，故D错误．
三、 填空题
7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－2n+1，则a＝__2_．
【解析】因为等比数列前n项和Sn＝A－Aqn，Sn＝a－2n+1＝a－2×2n，所以a＝2.
8. 在数列{an}中，若a1＝5，an＋1＝2an＋5，则{an}的通项公式是__an＝5(2n－1)_．
【解析】由an＋1＝2an＋5，得an＋1＋5＝2(an＋5)，所以数列{an＋5}是以(a1＋5)为首项，2为公比的等比数列，所以an＋5＝10·2n-1＝5·2n，an＝5(2n－1).
9. 有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了__9 910_字．
【解析】设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，2为公比的等比数列，可求得三日共读的字数为＝7a＝34 685，解得a＝4 955，则2a＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.
四、 解答题
10. 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】设等比数列{bn}的公比为q，由{an}的前n项和Sn＝2n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2.又因为a1＝S1＝2满足上式， 所以an＝4n－2，n∈N*.因为b1＝a1＝S1＝2，a2－a1＝4，所以b2＝＝，所以q＝＝，因此bn＝2·.
(2) 设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】由(1)知cn＝an＋bn＝(4n－2)＋2·，所以Tn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝＋＝＋＝2n2＋＝2n2－·n＋.
11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1) 用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
【解答】由题意，得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2) 若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
【解答】由(1)得an＝an－1－d＝－d＝an－2－d－d＝…＝a1－d.整理，得an＝·(3 000－d)－2d＝·(3 000－3d)＋2d.由题意，得am＝4 000，即·(3 000－3d)＋2d＝4 000，解得d＝.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
12. (多选)已知等比数列的公比q＝－，其前n项和记为Sn，且S6＝21，则(　ABD　)
A. a4a8＝1　 B. an≥a2
C. Sn≤21　 D. Sn≥16
【解析】由题意可得S6＝＝＝＝21，即a1＝32，故an＝32·n-1＝－n-6.对于A，a4a8＝－4-6×＝4×＝1，故A正确．对于B，an－a2＝－n-6＋-4＝16－n-6，若n为奇数，则an－a2＝16－n-6＝16＋＞0；若n为偶数，则an－a2＝16－n-6＝16－，随n的增大而增大，故an－a2≥a2－a2＝0，故B正确．对于C，Sn＝＝＝－·n，当n为奇数时，Sn＝＋＞，且随n的增大而减小；当n为偶数时，Sn＝－＜，且随n的增大而增大．则当n＝1时，Sn有最大值，即Sn≤S1＝32；当n＝2时，Sn有最小值，即Sn≥S2＝16，故C错误，D正确．
13. 已知正项等比数列的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2＋S6的最小值为__8－4_．
【解析】由S4＝4＝S2＋q2S2，则S2＋S6＝＋S4＋＝4＋＝4＋4≥4＋4(2－2)＝8－4，当且仅当q2＝－1时取最小值．
14. (多选)如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后作新三角形的内切圆．如此下去，则(　ABD　)
(第14题)
A. 第n个圆的面积为　　　　
B. 这n个圆的半径成公比为的等比数列
C. 第一个圆的面积为　　　　
D. 前n个圆的面积之和为π
【解析】设第n个正三角形的内切圆半径为an，因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，即这n个圆的半径成公比为的等比数列，故B正确；因为a1＝＝，a2＝a1，a3＝a2，…，an＝an－1，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝×n-1，则a＝×n-1，则第n个圆的面积为πa＝×n-1×π＝，第一个圆的面积为，故A正确，C错误；设前n个内切圆的面积之和为Sn，则Sn＝＝×＝π＝π，即前n个圆的面积之和为π，故D正确．第4课时　等比数列前n项和公式的应用
学习 目标 1. 理解等比数列前n项和的结构特征，能利用等比数列的前n项和解决简单的实际问题． 2. 掌握利用分组转化法求数列的前n项和．
典例精讲能力初成
探究1　等比数列前n项和的结构特征
例1　已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，则a＝___________．
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数．
变式　若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝___________．
探究2　等差数列、等比数列的综合
例2　设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
变式　在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3＋2，a8构成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 令bn＝2an＋2，记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn≥10 000，求正整数n的最小值．
探究3　等比数列的实际应用
例3　(教材P38例10)如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
(例3)
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
变式　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
(1) 求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；
(2) 判断是否是等比数列，并说明理由；
(3) 求S10＝a1＋a2＋a3＋…＋a10的值．
随堂内化及时评价
1. 若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，则t＋a3的值为(　　)
A. 1　 B. －1
C. 17　 D. 18
2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝___________．
3. 已知数列{an}满足an＝2n＋n，则a1＋a2＋a3＋…＋a10的值是(　　)
A. 2 100　 B. 2 101
C. 2 102　 D. 2 103
4. “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成an卦，则a3＋a4＋a5＋a6等于(　　)
A. 120　 B. 122
C. 124　 D. 128
5. (多选)《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目“把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三”，则下列结论正确的是(　　)
A. 最小的一份为3
B. 最小的一份为4
C. 较小的两份之和为9
D. 较大的两份之和为72
配套新练案
一、 单项选择题
1. 设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n-1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于(　　)
A. 2n－n＋2　 B. 2n+1－n＋2　　　　
C. 2n－n－2　 D. 2n+1－n－2
2. 一弹球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和约为(　　)
A. 300 m　 B. 299 m
C. 199 m　 D. 166 m
3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若2，Sn，3an成等差数列，则S5的值为(　　)
A. －243　 B. －242
C. －162　 D. 243
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A. 1盏　 B. 3盏
C. 5盏　 D. 9盏
二、 多项选择题
5. 在《算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法中正确的是(　　)
A. 此人第二天走了九十六里路
B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C. 此人第三天走的路程占全程的
D. 此人后三天共走了四十二里路
6. 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列判断正确的是(　　)
A. ＝9　 B. {an}为递减数列
C. Sn＝2an－a1　 D. S3，S6，S9成等比数列
三、 填空题
7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－2n+1，则a＝___________．
8. 在数列{an}中，若a1＝5，an＋1＝2an＋5，则{an}的通项公式是____________．
9. 有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了____________字．
四、 解答题
10. 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1) 用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2) 若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
12. (多选)已知等比数列的公比q＝－，其前n项和记为Sn，且S6＝21，则(　　)
A. a4a8＝1　 B. an≥a2
C. Sn≤21　 D. Sn≥16
13. 已知正项等比数列的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2＋S6的最小值为____________．
14. (多选)如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后作新三角形的内切圆．如此下去，则(　　)
(第14题)
A. 第n个圆的面积为　　　　
B. 这n个圆的半径成公比为的等比数列
C. 第一个圆的面积为　　　　
D. 前n个圆的面积之和为π

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