资源简介

微专题1　由递推公式求数列通项的方法
典例剖析素养初现
探究1　利用an＝Sn－Sn－1求通项
例1　(1) 已知正项数列的前n项和为Sn，且an＝1－2Sn(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________.
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，则数列{an}的通项公式为___________．
(3) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足＋＋…＋＝1－，则数列{an}的通项公式为_____________．
(1) 利用an＝求通项时，要注意检验n＝1时的情况；
(2) 已知数列的前n项和Sn的相关条件，求数列通项公式的基本思路有两个：①将和Sn转化为项an，即利用an＝Sn－Sn－1将和转化为项；②将条件看作是数列{Sn}的递推公式，先求出Sn，然后题目即转化为已知数列的前n项和Sn，求数列的通项公式an.
探究2　叠加法、叠乘法求通项
例2　(1) 在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln ，则数列的通项公式为_____________．
(2) 已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____________．
(1) 对于递推关系式可转化为an＋1－an＝f(n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式；
(2) 对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}的前n项积时，通常采用累乘法求其通项公式．
探究3　构造法求通项
例3　(1) (2025·开封期末)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝2an－1，则这个数列中的项有(　　)
A. 191　 B. 193
C. 1 023　 D. 1 025
(2) (2025·邯郸期末)已知数列{an}满足a1＝3，当n≥2时，an－3an－1＝3n，则数列{an}的通项公式为an＝____________．
(3) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝____________．
(4) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则an＝____________．
(1) 形如an＋1＝can＋d(c≠0，c≠1，a1＝a)，等式两边同时加上；
(2) 形如an＋1＝pan＋qn(其中q是常数，且n≠0，1)，先两边同时除以qn；
(3) 形如an＋1＝pan＋kn＋b(其中k，b是常数，且k≠0)，用待定系数法；
(4) 形如an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q均为常数)，用待定系数法构造{an＋1＋λan}；
(5) 形如 an＋1＝，先取倒数，再构造．
随堂内化及时评价
1. 若数列{an}满足a1＝1，＝，则a20＝_____________.
2. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足2＝an＋1(n＝1，2，3，…)，则{an}的通项公式为____________．
3. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，则a100＝____________．
4. 已知数列{an}满足2an＋1＝6an＋7，a1＝1，则an＝____________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n>1)，则a100等于(　　)
A. 5　 B. －
C. 　 D. －
2. 若数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列的第5项是(　　)
A. 15　　 B. 255
C. 16　　 D. 63
3. 若数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝1－，则an等于(　　)
A. 1－　 B.
C. 　 D.
4. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n－1，则a1＋a2＋…＋a9等于(　　)
A. 958　　 B. 967
C. 977　　 D. 997
二、 多项选择题
5. 设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则下列说法正确的有(　　)
A. 数列{an}的前n项和为Sn＝
B. 数列为递增数列
C. 数列{an}的通项公式为an＝－
D. 数列{an}的最大项为a1
6. (2025·厦门期末)若数列满足a1＝1，an＋1＝qan＋1，则(　　)
A. 当q＝2时，a3＝7
B. 当q＝2时，an＝2n－1
C. 当q＝－1时，a2 005＝0
D. 当q＝－1时，a1＋a2＋…＋a10＝5
三、 填空题
7. 在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_____________．
8. 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝____________．
四、 解答题
9. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋2＋3an＝4an＋1，设bn＝an＋1－an，n∈N*.
(1) 求数列{bn}的通项公式；
(2) 求数列{an}的通项公式．
10. (2021·新高考Ι卷)记Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求证：＋＋…＋＜2.微专题1　由递推公式求数列通项的方法
典例剖析素养初现
探究1　利用an＝Sn－Sn－1求通项
例1　(1) 已知正项数列的前n项和为Sn，且an＝1－2Sn(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__an＝_.
【解析】由an＝1－2Sn①，得an＋1＝1－2Sn＋1②，②－①，得an＋1－an＝－2an＋1，即3an＋1＝an，所以＝，所以数列{an}是公比为的等比数列. 又因为a1＝1－2S1＝1－2a1，所以a1＝，所以an＝·＝.
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，则数列{an}的通项公式为__an＝2n_．
【解析】因为Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，所以Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，所以an＋1＝2an(n≥2).又因为a2＝4＝2a1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝2n.
(3) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足＋＋…＋＝1－，则数列{an}的通项公式为__an＝2n-1(n∈N*)_．
【解析】因为数列{an}满足＋＋…＋＝1－，所以当n≥2时，＋＋…＋＝1－，两式相减可得＝(n≥2).因为＝1－＝符合上式，所以＝(n∈N*)，故Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n-1＝2n-1；当n＝1时，a1＝S1＝1，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n-1(n∈N*).
(1) 利用an＝求通项时，要注意检验n＝1时的情况；
(2) 已知数列的前n项和Sn的相关条件，求数列通项公式的基本思路有两个：①将和Sn转化为项an，即利用an＝Sn－Sn－1将和转化为项；②将条件看作是数列{Sn}的递推公式，先求出Sn，然后题目即转化为已知数列的前n项和Sn，求数列的通项公式an.
探究2　叠加法、叠乘法求通项
例2　(1) 在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln ，则数列的通项公式为__an＝2n＋n_ln_n_．
【解析】由题意得＝＋ln ，则＝＋ln ，＝＋ln ，…，＝＋ln ，由累加法得＝＋ln ＋ln ＋…＋ln ，即＝a1＋ln ＝2＋ln n，所以an＝2n＋n ln n．
(2) 已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__an＝n_．
【解析】由an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，得(n＋1)·an＝nan＋1(n∈N*)，即＝(n∈N*)，则＝，＝，＝，…，＝，由累乘法可得＝n.又因为a1＝1，所以an＝n.
(1) 对于递推关系式可转化为an＋1－an＝f(n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式；
(2) 对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}的前n项积时，通常采用累乘法求其通项公式．
探究3　构造法求通项
例3　(1) (2025·开封期末)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝2an－1，则这个数列中的项有(　D　)
A. 191　 B. 193
C. 1 023　 D. 1 025
【解析】因为an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，所以是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an－1＝2n，即an＝2n＋1.对于A，令an＝2n＋1＝191，解得n＝log2190 N*，故A错误；对于B，令an＝2n＋1＝193，解得n＝log2192 N*，故B错误；对于C，令an＝2n＋1＝1 023，解得n＝log21 022 N*，故C错误；对于D，令an＝2n＋1＝1 025，解得n＝log21 024＝10，是第10项，故D正确.
(2) (2025·邯郸期末)已知数列{an}满足a1＝3，当n≥2时，an－3an－1＝3n，则数列{an}的通项公式为an＝__n·3n_．
【解析】因为当n≥2时，an－3an－1＝3n，两边同时除以3n得－＝1，则数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝n，即an＝n·3n.
(3) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝___．
【解析】因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＝1＋，所以＋1＝2.因为a1＝1，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2n，所以an＝.
(4) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则an＝__n·2n_．
【解析】由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8.又因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，故an＋1－2an＝4×2n-1＝2n+1，于是－＝1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故＝1＋(n－1)＝n，所以an＝n·2n.
(1) 形如an＋1＝can＋d(c≠0，c≠1，a1＝a)，等式两边同时加上；
(2) 形如an＋1＝pan＋qn(其中q是常数，且n≠0，1)，先两边同时除以qn；
(3) 形如an＋1＝pan＋kn＋b(其中k，b是常数，且k≠0)，用待定系数法；
(4) 形如an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q均为常数)，用待定系数法构造{an＋1＋λan}；
(5) 形如 an＋1＝，先取倒数，再构造．
随堂内化及时评价
1. 若数列{an}满足a1＝1，＝，则a20＝__2_.
【解析】由题意，数列{an}满足a1＝1，＝，可得a20＝×××…×××a1＝×××…×××＝2.
2. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足2＝an＋1(n＝1，2，3，…)，则{an}的通项公式为__an＝2n－1_．
【解析】当n＝1时，2＝2＝a1＋1，解得a1＝1；当n≥2且n∈N*时，4Sn＝(an＋1)2，4Sn－1＝(an－1＋1)2，两式相减得4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a＋2an－a－2an－1，整理可得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.又因为an>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
3. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，则a100＝___．
【解析】由已知得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝，所以数列{an＋1－an}为等差数列，an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)＝，所以an－an－1＝，…，a3－a2＝，a2－a1＝1，所以(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝×(2＋3＋…＋n)，所以an＝(n≥2).当n＝1时，an＝1也满足上式，所以a100＝.
4. 已知数列{an}满足2an＋1＝6an＋7，a1＝1，则an＝__·3n-1－_．
【解析】由已知可得an＋1＝3an＋，设an＋1＋x＝3(an＋x)，则an＋1＝3an＋2x，所以2x＝，可得x＝，所以an＋1＋＝3，且a1＋＝.由题意可知，对任意的n∈N*，an＋≠0，则＝3，所以数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为3，所以an＋＝·3n-1，因此an＝·3n-1－.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n>1)，则a100等于(　B　)
A. 5　 B. －
C. 　 D. －
【解析】因为a1＝－，an＝1－(n>1)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝1－＝－，所以数列{an}是以3为周期的周期数列．因为100＝33×3＋1，所以a100＝a1＝－.
2. 若数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列的第5项是(　B　)
A. 15　　 B. 255
C. 16　　 D. 63
【解析】因为an＝4an－1＋3(n≥2)，所以an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，所以{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以an＋1＝4n-1，所以an＝4n-1－1，所以a5＝44－1＝255.
3. 若数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝1－，则an等于(　D　)
A. 1－　 B.
C. 　 D.
【解析】由a1＋＋＋…＋＝1－①，当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝1－②，则①－②得＝－＝，故an＝(n≥2). 当n＝1时，a1＝符合an＝，故an＝.
4. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n－1，则a1＋a2＋…＋a9等于(　C　)
A. 958　　 B. 967
C. 977　　 D. 997
【解析】因为a1＝1，an＋1－an＝2n－1，则an－an－1＝2n-1－1，…，a2－a1＝21－1，上述式子累加得an－a1＝(21＋22＋…＋2n-1)－(n－1)＝－(n－1)＝2n－n－1，所以an＝2n－n－1＋1＝2n－n，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝21－1＋22－2＋…＋2n－n＝－＝2n+1－2－，所以S9＝29+1－2－＝210－2－45＝1 024－47＝977.
二、 多项选择题
5. 设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则下列说法正确的有(　ABD　)
A. 数列{an}的前n项和为Sn＝
B. 数列为递增数列
C. 数列{an}的通项公式为an＝－
D. 数列{an}的最大项为a1
【解析】由an＋1＋SnSn＋1＝0，得Sn＋1－Sn＝－SnSn＋1，所以－＝－1，即－＝1.而＝＝1，所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，则＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝，故A，B正确．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－，所以an＝所以数列{an}的最大项为a1，故C错误，D正确.
6. (2025·厦门期末)若数列满足a1＝1，an＋1＝qan＋1，则(　ABD　)
A. 当q＝2时，a3＝7
B. 当q＝2时，an＝2n－1
C. 当q＝－1时，a2 005＝0
D. 当q＝－1时，a1＋a2＋…＋a10＝5
【解析】当q＝2时，an＋1＝2an＋1，所以a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，故A正确；由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，故B正确；当q＝－1时，an＋1＝－an＋1，所以a2＝－a1＋1＝0，a3＝－a2＋1＝1，a4＝－a3＋1＝0，以此类推，当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时，an＝0，从而a2 005＝1，故C错误；由an＋1＝－an＋1得an＋1＋an＝1，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a9＋a10)＝5，故D正确．
三、 填空题
7. 在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为__an＝_．
【解析】由题意知an＋1＝，得－＝n，则－＝n－1，…，－＝2，－＝1，由累加法可得－＋－＋…＋－＝1＋2＋…＋n－1＝(n≥2)，所以－＝，即＝(n≥2)，an＝(n≥2).当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝.
8. 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝___．
【解析】由(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0(n∈N*)，得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.因为an>0，所以an＋1＋an>0，所以(n＋2)an＋1－nan＝0，所以＝，所以an＝a1····…·＝1××××…××＝(n≥2).又因为a1＝1也满足上式，所以an＝.
四、 解答题
9. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋2＋3an＝4an＋1，设bn＝an＋1－an，n∈N*.
(1) 求数列{bn}的通项公式；
【解答】因为an＋2＋3an＝4an＋1，n∈N*，所以an＋2－an＋1＝3(an＋1－an).因为bn＝an＋1－an，所以bn＋1＝3bn，而b1＝a2－a1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝2×3n-1，n∈N*.
(2) 求数列{an}的通项公式．
【解答】因为bn＝an＋1－an，所以an＝(an－an－1)＋…＋(a2－a1)＋a1＝bn－1＋…＋b1＋a1＝＋1＝3n-1.
10. (2021·新高考Ι卷)记Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1) 求数列的通项公式；
【解答】因为＝1，是公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，所以Sn＝.当n≥2时，Sn－1＝，所以an＝Sn－Sn－1＝－，整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，所以an＝a1×××…××＝1×××…××＝，显然对于n＝1也成立，所以an＝.
(2) 求证：＋＋…＋＜2.
【解答】由(1)知＝＝2，所以＋＋…＋＝2＋＋…＋＝2－＜2.(共35张PPT)
第四章
数列
微专题1　由递推公式求数列通项的方法
典例剖析 素养初现
1
利用an＝Sn－Sn－1求通项
【解析】
探究
1
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，则数列{an}的通项公式为_________．
【解析】
因为Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，所以Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－
Sn－1)(n≥2)，所以an＋1＝2an(n≥2).又因为a2＝4＝2a1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝2n.
an＝2n
【解析】
an＝2n-1(n∈N*)
(2) 已知数列的前n项和Sn的相关条件，求数列通项公式的基本思路有两个：①将和Sn转化为项an，即利用an＝Sn－Sn－1将和转化为项；②将条件看作是数列{Sn}的递推公式，先求出Sn，然后题目即转化为已知数列的前n项和Sn，求数列的通项公式an.
2
叠加法、叠乘法求通项
【解析】
探究
2
an＝2n＋n ln n
(2) 已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【解析】
an＝n
(1) 对于递推关系式可转化为an＋1－an＝f(n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式；
　　　(1) (2025·开封期末)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝2an－1，则这个数列中的项有 (　　)
A. 191　 B. 193
C. 1 023　 D. 1 025
3
构造法求通项
【解析】
D
探究
3
(2) (2025·邯郸期末)已知数列{an}满足a1＝3，当n≥2时，an－3an－1＝3n，则数列{an}的通项公式为an＝________．
【解析】
n·3n
【解析】
(4) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则an＝________．
【解析】
n·2n
随堂内化 及时评价
【解析】
【解析】
an＝2n－1
【解析】
【解析】
4. 已知数列{an}满足2an＋1＝6an＋7，a1＝1，则an＝________________．
配套新练案
【解析】
B
2. 若数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列的第5项是 (　　)
A. 15　　 B. 255 C. 16　　 D. 63
B
【解析】
因为an＝4an－1＋3(n≥2)，所以an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，所以{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以an＋1＝4n-1，所以an＝4n-1－1，所以a5＝44－1＝255.
【解析】
D
4. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n－1，则a1＋a2＋…＋a9等于 (　　)
A. 958　　 B. 967 C. 977　　 D. 997
【解析】
C
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【解析】
四、 解答题
9. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋2＋3an＝4an＋1，设bn＝an＋1－an，n∈N*.
(1) 求数列{bn}的通项公式；
【解答】
因为an＋2＋3an＝4an＋1，n∈N*，所以an＋2－an＋1＝3(an＋1－an).因为bn＝an＋1－an，所以bn＋1＝3bn，而b1＝a2－a1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝2×3n-1，n∈N*.
(2) 求数列{an}的通项公式．
【解答】
9. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋2＋3an＝4an＋1，设bn＝an＋1－an，n∈N*.
【解答】
【解答】
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