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微专题5　数列的奇偶项问题
典例剖析素养初现
探究1　an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型
例1-1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.
(1) 求数列{an}的前100项和S100；
【解答】因为a1＝1，an＋1＋an＝4n，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10 000.
(2) 求数列{an}的通项公式.
【解答】由an＋1＋an＝4n①，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)②，由②－①得an＋2－an＝4.因为a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3. 当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1；当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1. 综上所述，an＝2n－1.
例1-2　在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为数列{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1) 判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
【解答】因为an·an＋1＝，所以an＋1·an＋2＝，所以＝，即an＋2＝an. 因为bn＝a2n＋a2n－1，所以＝＝·＝，所以数列{bn}是公比为的等比数列. 因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝，b1＝a1＋a2＝，所以bn＝×＝，n∈N*.
(2) 求数列{an}的通项公式；
【解答】由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列，a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，所以a2n－1＝，a2n＝，所以an＝
(3) 求Sn.
【解答】因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－，S2n－1＝S2n－a2n＝3－－＝3－，所以Sn＝
形如an＋an＋1＝f(n)(f(n)是关于n的一次函数)和an·an＋1＝g(n)(g(n)是关于n的指数函数)，通过仿写作差或作商后，会得出{an}隔项成等差数列或等比数列．
探究2　an＝类型
例2　(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，而bn＝k∈N*，则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，于是解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3.
(2) 求证：当n＞5时，Tn＞Sn.
【解答】方法一：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*.当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，Tn＝·＝n2＋n.当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn；当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5，当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)＞0，因此Tn＞Sn，所以当n＞5时，Tn＞Sn.
方法二：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*，当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n.当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn；当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5，当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)·(n－5)＞0，因此Tn＞Sn，所以当n＞5时，Tn＞Sn.
探究3　含有(－1)n的类型
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an＝Sn＋2成立.
(1) 设bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式；
【解答】在an＝Sn＋2中，令n＝1，得a1＝8.因为对任意正整数n，an＝Sn＋2成立，所以an＋1＝Sn＋1＋2，两式相减得an＋1－an＝an＋1，所以an＋1＝4an.又因为a1≠0，所以{an}为等比数列，所以an＝8·4n-1＝22n+1，所以bn＝log222n+1＝2n＋1.
(2) 设cn＝(－1)n+1，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】由(1)知cn＝(－1)n+1＝＝.
当n为偶数时，
Tn＝－＋＝；
当n为奇数时，
Tn＝－＝.
综上，Tn＝.
通项公式中含有(－1)n，n的奇偶性决定了最后项的符号，在求和过程中可采取分奇偶项分别求和或两项成对结合的办法．
随堂内化及时评价
1. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1) 记bn＝a2n，求b1，b2的值，并求数列{bn}的通项公式；
【解答】因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
(2) 求数列{an}的前20项和.
【解答】因为an＋1＝所以当k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1①，a2k＋1＝a2k＋2②，a2k＋2＝a2k＋1＋1③，所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3.又因为a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300.
2. 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且2Sn＝a＋an.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 由2Sn＝a＋an，得当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1，两式相减得2an＝a－a＋an－an－1，整理得an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1).因为an>0，所以an－an－1＝1(n≥2)，所以数列{an}是以1为公差的等差数列．在2Sn＝a＋an中，令n＝1，解得a1＝1，所以an＝1＋(n－1)＝n.
(2) 记cn＝(－1)nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】当n＝2k(k∈N*)时，Tn＝－a1a2＋a2a3－a3a4＋a4a5－a5a6＋…＋a2k－2a2k－1－a2k－1a2k＋a2ka2k＋1＝2(a2＋a4＋…＋a2k).又因为a2，a4，…，a2k是首项为2，公差为2的等差数列，所以a2＋a4＋…＋a2k＝＝k2＋k，故T2k＝2k2＋2k，所以Tn＝.当n＝2k－1(k∈N*)时，T2k－1＝T2k－c2k＝2k2＋2k－(－1)2ka2ka2k＋1＝2k2＋2k－2k·(2k＋1)＝－2k2，由2k－1＝n，得k＝，所以Tn＝－2×＝－.综上，Tn＝
配套新练案
1. 已知在数列{an}中，对任意的n∈N*，都有an＋an＋1＝4n.
(1) 若{an}为等差数列，求{an}的通项公式；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，因为an＋an＋1＝4n，所以a1＋a2＝4，a2＋a3＝8，所以解得所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2) 若a1＝3，求数列{an}的前n项和Sn .
【解答】由an＋an＋1＝4n，可得an＋1＋an＋2＝4(n＋1)，两式相减得an＋2－an＝4.因为a1＝3，a1＋a2＝4，所以a2＝1，所以数列{an}的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1，公差为4的等差数列．所以当n为偶数时，Sn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝3×＋×4＋1×＋×4＝n2 ；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)2＋[3＋(－1)×4]＝n2＋2.综上，Sn＝
2. 已知在数列{an}中，a1＝2，nan＋1－(n＋1)an＝1(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】因为nan＋1－(n＋1)an＝1，所以－＝－，即＝，所以是常数列，即＝＝3，所以an＝3n－1.
(2) 设bn＝ 求数列{bn} 的前100项和．
【解答】由(1)知，{an}是首项为2，公差为3的等差数列．由题意得b2n－1＝a2n－1＋1＝6n－3，b2n＝2a2n＋1＝12n＋4.设数列{b2n－1}，{b2n}的前50项和分别为T1，T2，则T1＝＝25×300＝7 500，T2＝＝25×620＝15 500，所以{bn}的前100项和为T1＋T2＝7 500＋15 500＝23 000.
3. 记Sn 为等差数列{an }的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn }满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n+1＋3 .
(1) 求数列{an }与数列{bn }的通项公式；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，因为所以解得所以an＝2n－1.因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n+1＋3①，所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·3n＋3(n≥2)②，由①－②得anbn＝(2n－1)·3n，所以bn＝3n(n≥2).当n＝1 时，a1b1＝3，b1＝3，符合bn＝3n，所以bn＝3n.
(2) 若{cn }满足cn＝求{cn }的前2n项和T2n .
【解答】T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋（＋＋…＋）.记T奇＝b1＋b3＋…＋b2n－1，则T奇＝＝.记T偶＝＋＋…＋，则T偶＝[（－）＋（－）＋…＋（－）]＝（－）＝（－）.所以T2n＝T奇＋T偶＝＋－＝－－.
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an(an＋1).
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】已知是正项数列，2Sn＝an(an＋1)，an＞0.当n＝1时，2a1＝a1(a1＋1)，解得a1＝1，a1＝0（舍去）；当n≥2时，由2Sn＝an(an＋1)得2Sn－1＝an－1(an－1＋1)，两式相减得2an＝a＋an－a－an－1，即a－a－(an＋an－1)＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0.由于an＋an－1＞0，所以an－an－1＝1(n≥2)，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n.
(2) 设bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】由(1)得bn＝所以当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝1＋3＋…＋(n－1)＋[＋＋…＋]＝×＋＝＋－＝－.当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝－－＝－－＋＝－.综上，Tn＝微专题5　数列的奇偶项问题
典例剖析素养初现
探究1　an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型
例1-1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.
(1) 求数列{an}的前100项和S100；
(2) 求数列{an}的通项公式.
例1-2　在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为数列{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1) 判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 求Sn.
形如an＋an＋1＝f(n)(f(n)是关于n的一次函数)和an·an＋1＝g(n)(g(n)是关于n的指数函数)，通过仿写作差或作商后，会得出{an}隔项成等差数列或等比数列．
探究2　an＝类型
例2　(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求证：当n＞5时，Tn＞Sn.
探究3　含有(－1)n的类型
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an＝Sn＋2成立.
(1) 设bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式；
(2) 设cn＝(－1)n+1，求数列{cn}的前n项和Tn.
通项公式中含有(－1)n，n的奇偶性决定了最后项的符号，在求和过程中可采取分奇偶项分别求和或两项成对结合的办法．
随堂内化及时评价
1. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1) 记bn＝a2n，求b1，b2的值，并求数列{bn}的通项公式；
(2) 求数列{an}的前20项和.
2. 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且2Sn＝a＋an.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 记cn＝(－1)nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.
配套新练案
1. 已知在数列{an}中，对任意的n∈N*，都有an＋an＋1＝4n.
(1) 若{an}为等差数列，求{an}的通项公式；
(2) 若a1＝3，求数列{an}的前n项和Sn .
2. 已知在数列{an}中，a1＝2，nan＋1－(n＋1)an＝1(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝ 求数列{bn} 的前100项和．
3. 记Sn 为等差数列{an }的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn }满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n+1＋3 .
(1) 求数列{an }与数列{bn }的通项公式；
(2) 若{cn }满足cn＝求{cn }的前2n项和T2n .
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an(an＋1).
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.(共31张PPT)
第四章
数列
微专题5　数列的奇偶项问题
典例剖析 素养初现
　　　　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.
(1) 求数列{an}的前100项和S100；
an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型
【解答】
因为a1＝1，an＋1＋an＝4n，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10 000.
探究
1
1－1
(2) 求数列{an}的通项公式.
【解答】
　　　　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.
1－1
【解答】
1－2
(2) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
1－2
(3) 求Sn.
【解答】
1－2
形如an＋an＋1＝f(n)(f(n)是关于n的一次函数)和an·an＋1＝g(n)(g(n)是关于n的指数函数)，通过仿写作差或作商后，会得出{an}隔项成等差数列或等比数列．
2
【解答】
探究
2
(2) 求证：当n＞5时，Tn＞Sn.
【解答】
2
3
含有(－1)n的类型
【解答】
探究
3
【解答】
3
当n为奇数时，
通项公式中含有(－1)n，n的奇偶性决定了最后项的符号，在求和过程中可采取分奇偶项分别求和或两项成对结合的办法．
随堂内化 及时评价
【解答】
(2) 求数列{an}的前20项和.
【解答】
【解答】
(2) 记cn＝(－1)nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】
配套新练案
1. 已知在数列{an}中，对任意的n∈N*，都有an＋an＋1＝4n.
(1) 若{an}为等差数列，求{an}的通项公式；
【解答】
(2) 若a1＝3，求数列{an}的前n项和Sn .
【解答】
1. 已知在数列{an}中，对任意的n∈N*，都有an＋an＋1＝4n.
2. 已知在数列{an}中，a1＝2，nan＋1－(n＋1)an＝1(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
【解答】
2. 已知在数列{an}中，a1＝2，nan＋1－(n＋1)an＝1(n∈N*).
3. 记Sn 为等差数列{an }的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn }满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n+1＋3 .
(1) 求数列{an }与数列{bn }的通项公式；
【解答】
【解答】
3. 记Sn 为等差数列{an }的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn }满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n+1＋3 .
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an(an＋1).
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
【解答】
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an(an＋1).
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