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第五章
一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
第1课时　变化率问题
学习 目标 1. 了解平均速度和瞬时速度的关系．会求物体在某个时刻的瞬时速度．
2. 掌握并会求抛物线在某一点处的切线方程．
新知初探 基础落实
√
√
×
典例精讲 能力初成
　　　　某质点运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为 (　　)
A. －4 B. －8　
C. 6 D. －6
1
求平均速度
【解析】
D
探究
1
求物体运动的平均速度的三个步骤：
第一步：求时间的改变量x2－x1；
第二步：求位移的改变量f(x2)－f(x1)；
【解析】
变式
A
　　　　(1) 一质点位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)＝2t3，则在t＝1时该质点的瞬时速度为_________．
2
求瞬时速度
【解析】
探究
2
6 m/s
(2) 一质点速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)之间的关系为v(t)＝2t2，则在t＝1时该质点的瞬时加速度为__________．
【解析】
4 m/s2
　　　　已知抛物线f(x)＝－x2＋x－1在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为3，求该抛物线在点P处的切线方程．
3
抛物线在某点处的切线
【解答】
探究
3
　　　　求抛物线y＝x2＋2x＋3在点(1，6)处的切线方程．
【解答】
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 一质点做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝－2t2＋t＋3，则该质点的初速度是 (　　)
A. 1 m/s　 B. 2 m/s
C. －3 m/s　 D. －4 m/s
A
【解析】
C
【解析】
3. 抛物线f(x)＝2x2－4在点(1，－2)处的切线斜率为 (　　)
A. 0　 B. 1　　
C. 4　 D. －2
C
【解析】
D
【解析】
5. (多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列判断正确的是 (　　　)
A. 前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24 m
B. 在时间t∈[2，3]内，球滚下的垂直距离的增量Δh＝4 m
C. 前3 s内球的平均速度为8 m/s
D. 在时间t∈[2，3]内，球的平均速度为12 m/s
ACD
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知抛物线y＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则这两点所在割线的斜率为 (　　)
A. 2＋Δx　 B. 2－2Δx
C. 4＋2Δx　 D. 4
C
【解析】
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
【答案】C
【解析】
AD
【解析】
BD
【解析】
3
8. 已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，直线AB的斜率是____；当Δx＝0.1时，直线AB的斜率是______．
【解析】
5
4.1
9. 已知自由落体的运动方程为s(t)＝3t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为__________，落体在t＝2时的瞬时速度为_____．
【解析】
3Δt＋12
12
四、 解答题
10. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
(1) 求该物体在t＝1 s时的瞬时速度．
【解答】
即该物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
(2) 试求该物体的初速度．
【解答】
10. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
(3) 试问：该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s
【解答】
10. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
【解答】
(2) 求抛物线f(x)＝x2分别在点(1，1)，(3，9)处的切线方程．
【解答】
由(1)知抛物线f(x)＝x2在(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0；在(3，9)处的切线方程为y－9＝6(x－3)，即6x－y－9＝0.
12. 水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为2.5 m时，这水波面的圆面积的膨胀率是_______m2/s.
【解析】
2.5π
13. 假设高铁列车开出站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后高铁列车速度首次达到24 m/s时加速度为______m/s2.
【解析】
7.6
14. 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2.5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s.子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10-3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为___________．
【解析】
800 m/s
谢谢观赏第1课时　变化率问题
学习 目标 1. 了解平均速度和瞬时速度的关系．会求物体在某个时刻的瞬时速度． 2. 掌握并会求抛物线在某一点处的切线方程．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 平均变化率(平均速度)：设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝___．
2. 瞬时变化率(瞬时速度)：如果当Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ .
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 物体做自由落体运动时，其位移s(t)＝ gt2(单位：m)，在t＝2 s到t＝(2＋Δt)s这段时间内的平均速度为 m/s.　(　√　)
(2) 火箭发射t s后，其高度为h(t)＝0.9t2(单位：km)．在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7 km/s.(　√　)
(3) 火箭发射t s后，其高度为h(t)＝0.9t2(单位：km)．发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度为(0.9Δt＋18) km/s.(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　求平均速度
例1　某质点运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　D　)
A. －4 B. －8　
C. 6 D. －6
【解析】 由题意知该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6.
求物体运动的平均速度的三个步骤：
第一步：求时间的改变量x2－x1；
第二步：求位移的改变量f(x2)－f(x1)；
第三步：求平均速度＝.
变式　设某地铁列车在某段时间内进行调试，由起始点经过t s后的距离为s(t)＝t4－4t3＋16t2(单位：m)，则该列车运行10 s的平均速度为(　A　)
A. 10 m/s　　　　 B. 8 m/s
C. 4 m/s 　 D. 0 m/s
【解析】 该列车从开始运行到10 s时，距离的增加量为s(10)－s(0)＝100－0＝100(m)，则该列车运行10 s的平均速度为＝10(m/s).
探究2　求瞬时速度
例2　(1) 一质点位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)＝2t3，则在t＝1时该质点的瞬时速度为__6 m/s_．
【解析】＝2 ＝2[(Δt)2＋3Δt＋3]＝6，所以在t＝1时该质点的瞬时速度是6 m/s.
(2) 一质点速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)之间的关系为v(t)＝2t2，则在t＝1时该质点的瞬时加速度为__4_m/s2_．
【解析】由题意知 v(t)＝2t2， ＝2 ＝4，所以在t＝1时该质点的瞬时加速度为4 m/s2.
当Δt无限趋近于0时，加速度a(t)＝的极限是物体在t0时的瞬时加速度．
探究3　抛物线在某点处的切线
例3　已知抛物线f(x)＝－x2＋x－1在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为3，求该抛物线在点P处的切线方程．
【解答】 ＝ ＝ (－Δx－2x0＋1)＝－2x0＋1＝3，解得x0＝－1，又因为f(x0)＝－3，所以该抛物线在点P处的切线方程为y＋3＝3(x＋1)，即3x－y＝0.
求抛物线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程，除传统方法之外，可通过以下三个步骤求解：①点P在抛物线y＝f(x)上，即y0＝f(x0)；②在P处斜率为k，即k＝ ；③点P在切线上，即y－y0＝k(x－x0).
变式　求抛物线y＝x2＋2x＋3在点(1，6)处的切线方程．
【解答】Δy＝[(1＋Δx)2＋2(1＋Δx)＋3]－(12＋1×2＋3)＝4Δx＋(Δx)2，所以＝＝4＋Δx，所以k＝ ＝ (4＋Δx)＝4，所以抛物线y＝x2＋2x＋3在点(1，6)处的切线方程为y－6＝4(x－1)，即4x－y＋2＝0.
随堂内化及时评价
1. 一质点做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝－2t2＋t＋3，则该质点的初速度是(　A　)
A. 1 m/s　 B. 2 m/s
C. －3 m/s　 D. －4 m/s
【解析】质点的初速度即在t＝0时的瞬时速度．因为质点在t＝0附近的平均速度 ＝ ＝－2Δt＋1，所以质点在t＝0时的瞬时速度为 (－2Δt＋1)＝1，即质点的初速度为1 m/s.
2. 若在函数y＝x2图象上取一点(1，1)及附近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则为(　C　)
A. 4Δx＋2(Δx)2 B. 4＋2Δx
C. Δx＋2 D. 4＋Δx
【解析】因为Δy＝(1＋Δx)2－1＝(Δx)2＋2Δx，所以＝Δx＋2.
3. 抛物线f(x)＝2x2－4在点(1，－2)处的切线斜率为(　C　)
A. 0　 B. 1　　
C. 4　 D. －2
【解析】 割线斜率k＝＝＝＝4＋2Δx，所以抛物线f(x)＝2x2－4在点(1，－2)处的切线斜率为 (4＋2Δx)＝4.
4. 如果质点A运动的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系是S(t)＝－，那么该质点在t＝3 s时的瞬时速度为(　D　)
A. － m/s B. m/s
C. － m/s D. m/s
【解析】＝＝＝，所以 ＝ ＝.
5. (多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列判断正确的是(　ACD　)
A. 前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24 m
B. 在时间t∈[2，3]内，球滚下的垂直距离的增量Δh＝4 m
C. 前3 s内球的平均速度为8 m/s
D. 在时间t∈[2，3]内，球的平均速度为12 m/s
【解析】前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，此时平均速度为＝＝8(m/s)，故A，C正确；在时间t∈[2，3]内，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，故平均速度为＝12(m/s)，所以B错误，D正确．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知抛物线y＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则这两点所在割线的斜率为(　C　)
A. 2＋Δx　 B. 2－2Δx
C. 4＋2Δx　 D. 4
【解析】这两点所在割线的斜率为k＝＝4＋2Δx.
2. 一直线运动的物体从时间t到t＋Δt时的位移为Δs，则 为(　B　)
A. 从t到t＋Δt一段时间内物体的平均速度
B. 在t时刻时该物体的瞬时速度
C. 当时间为Δt时物体的速度
D. 在时间t＋Δt时刻物体的瞬时速度
【解析】由瞬时速度的求法可知 表示在t时刻时该物体的瞬时速度．
3. 函数f(x)＝－x2＋10在点处的斜率为(　B　)
A. 3 B. －3
C. －3－(Δx)2 D. －Δx－3
【解析】因为Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，所以＝＝－3－Δx，所以k＝ ＝ (－Δx－3)＝－3.
4. 某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则平均速度最小的是(　C　)
(第4题)
A. 1 B. 2　
C. 3 D. 4
【解析】由题意知，汽车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)，则1＝，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理2为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2，3为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，4为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4.由题图可知，k3最小，即3最小．
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝x2＋3x＋1，以下判断正确的有(　AD　)
A. ＝7
B. ＝7
C. ＝5
D. 在点(1，5)处的切线方程是y＝5x
【解析】f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋3(1＋Δx)＋1－(1＋3＋1)＝Δx2＋5Δx，对于A，取Δx＝2，得＝7，故A正确；对于B， ＝ (Δx＋5)＝5，故B错误；对于C， ＝ ＝，故C错误；对于D，由B知在点(1，5)处的切线方程为y－5＝5(x－1)，即y＝5x，故D正确．
6. (2025·淮安期末)已知某物体运动的位移方程为S＝3t2＋2，(　BD　)
A. 该物体位移的最大值为100
B. 该物体在时间段内的平均速度为15
C. 该物体在t＝5时的瞬时速度是32
D. 该物体的速度v和时间t的关系式是v＝6t
【解析】因为S(t)＝3t2＋2在t∈上单调递增，所以S(t)≤3×62＋2＝110，故A错误；该物体在时间段内的平均速度为＝＝15，故B正确；又 ＝ ＝ ＝ (6t＋3Δt)＝6t，则该物体在t＝5时的瞬时速度是S′(5)＝30，故C错误；由C知该物体的速度v和时间t的关系式是v(t)＝6t(1≤t≤6)，故D正确．
三、 填空题
7. 设函数f(x)＝x2＋x，则 ＝__3_.
【解析】根据题意， ＝3.
8. 已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，直线AB的斜率是__5_；当Δx＝0.1时，直线AB的斜率是__4.1_．
【解析】当Δx＝1时，直线AB的斜率k1＝＝＝＝5.当Δx＝0.1时，直线AB的斜率k2＝＝＝4.1.
9. 已知自由落体的运动方程为s(t)＝3t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为__3Δt＋12_，落体在t＝2时的瞬时速度为__12_．
【解析】这一段时间内落体的平均速度为 ＝＝＝3Δt＋12.落体在t＝2时的瞬时速度为v＝ ＝ (3Δt＋12)＝12.
四、 解答题
10. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
(1) 求该物体在t＝1 s时的瞬时速度．
【解答】 因为＝
＝
＝3＋Δt，所以 ＝ (3＋Δt)＝3.
所以该物体在t＝1时的瞬时变化率为3，
即该物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
(2) 试求该物体的初速度．
【解答】求该物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为＝＝＝1＋Δt，所以 (1＋Δt)＝1.所以该物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即该物体的初速度为1 m/s.
(3) 试问：该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s
【解答】设该物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，又因为＝＝(2t0＋1)＋Δt，所以 ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，则2t0＋1＝9，所以t0＝4.则该物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
11. 已知函数f(x)＝x2.
(1) 求函数f(x)在x＝1，2，3附近的平均变化率，当取Δx都为时，哪一点附近的平均变化率最大？
【解答】设函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率分别为k1，k2，k3，则k1＝＝＝＝2＋Δx，k2＝＝＝＝4＋Δx，k3＝＝＝＝6＋Δx，取Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝，所以k1(2) 求抛物线f(x)＝x2分别在点(1，1)，(3，9)处的切线方程．
【解答】由(1)知抛物线f(x)＝x2在(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0；在(3，9)处的切线方程为y－9＝6(x－3)，即6x－y－9＝0.
12. 水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为2.5 m时，这水波面的圆面积的膨胀率是__2.5π_m2/s.
【解析】水波的半径以v＝0.5 m/s 的速度向外扩张，则水波的面积为s＝πr2＝π(vt)2＝0.25πt2.当半径为2.5 m时，t＝＝5 s，此时水波面积的膨胀率是 2.5π m2/s.
13. 假设高铁列车开出站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后高铁列车速度首次达到24 m/s时加速度为__7.6_m/s2.
【解析】由v＝0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6或－(舍去).又因为 ＝0.4＋1.2t，所以当t＝6时的加速度为7.6 m/s2.即此时高铁列车的加速度为7.6 m/s2.
14. 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2.5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s.子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10-3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为__800 m/s_．
【解析】设子弹从枪口射出的时刻为t0，因为＝＝＝5×105t0－2.5×105Δt，所以v＝ (5×105t0－2.5×105Δt)＝5×105t0.又因为t0＝1.6×10-3 s，所以v＝5×105t0＝8×102＝800(m/s)，所以子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.第1课时　变化率问题
学习 目标 1. 了解平均速度和瞬时速度的关系．会求物体在某个时刻的瞬时速度． 2. 掌握并会求抛物线在某一点处的切线方程．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 平均变化率(平均速度)：设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝______________．
2. 瞬时变化率(瞬时速度)：如果当Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ .
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 物体做自由落体运动时，其位移s(t)＝ gt2(单位：m)，在t＝2 s到t＝(2＋Δt)s这段时间内的平均速度为 m/s.　(　　)
(2) 火箭发射t s后，其高度为h(t)＝0.9t2(单位：km)．在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7 km/s.(　　)
(3) 火箭发射t s后，其高度为h(t)＝0.9t2(单位：km)．发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度为(0.9Δt＋18) km/s.(　　)
典例精讲能力初成
探究1　求平均速度
例1　某质点运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　　)
A. －4 B. －8　
C. 6 D. －6
求物体运动的平均速度的三个步骤：
第一步：求时间的改变量x2－x1；
第二步：求位移的改变量f(x2)－f(x1)；
第三步：求平均速度＝.
变式　设某地铁列车在某段时间内进行调试，由起始点经过t s后的距离为s(t)＝t4－4t3＋16t2(单位：m)，则该列车运行10 s的平均速度为(　　)
A. 10 m/s　　　　 B. 8 m/s
C. 4 m/s 　 D. 0 m/s
探究2　求瞬时速度
例2　(1) 一质点位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)＝2t3，则在t＝1时该质点的瞬时速度为_____________．
(2) 一质点速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)之间的关系为v(t)＝2t2，则在t＝1时该质点的瞬时加速度为_____________．
当Δt无限趋近于0时，加速度a(t)＝的极限是物体在t0时的瞬时加速度．
探究3　抛物线在某点处的切线
例3　已知抛物线f(x)＝－x2＋x－1在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为3，求该抛物线在点P处的切线方程．
求抛物线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程，除传统方法之外，可通过以下三个步骤求解：①点P在抛物线y＝f(x)上，即y0＝f(x0)；②在P处斜率为k，即k＝ ；③点P在切线上，即y－y0＝k(x－x0).
变式　求抛物线y＝x2＋2x＋3在点(1，6)处的切线方程．
随堂内化及时评价
1. 一质点做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝－2t2＋t＋3，则该质点的初速度是(　　)
A. 1 m/s　 B. 2 m/s
C. －3 m/s　 D. －4 m/s
2. 若在函数y＝x2图象上取一点(1，1)及附近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则为(　　)
A. 4Δx＋2(Δx)2 B. 4＋2Δx
C. Δx＋2 D. 4＋Δx
3. 抛物线f(x)＝2x2－4在点(1，－2)处的切线斜率为(　　)
A. 0　 B. 1　　
C. 4　 D. －2
4. 如果质点A运动的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系是S(t)＝－，那么该质点在t＝3 s时的瞬时速度为(　　)
A. － m/s B. m/s
C. － m/s D. m/s
5. (多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列判断正确的是(　　)
A. 前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24 m
B. 在时间t∈[2，3]内，球滚下的垂直距离的增量Δh＝4 m
C. 前3 s内球的平均速度为8 m/s
D. 在时间t∈[2，3]内，球的平均速度为12 m/s
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知抛物线y＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则这两点所在割线的斜率为(　　)
A. 2＋Δx　 B. 2－2Δx
C. 4＋2Δx　 D. 4
2. 一直线运动的物体从时间t到t＋Δt时的位移为Δs，则 为(　　)
A. 从t到t＋Δt一段时间内物体的平均速度
B. 在t时刻时该物体的瞬时速度
C. 当时间为Δt时物体的速度
D. 在时间t＋Δt时刻物体的瞬时速度
3. 函数f(x)＝－x2＋10在点处的斜率为(　　)
A. 3 B. －3
C. －3－(Δx)2 D. －Δx－3
4. 某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则平均速度最小的是(　　)
(第4题)
A. 1 B. 2　
C. 3 D. 4
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝x2＋3x＋1，以下判断正确的有(　　)
A. ＝7
B. ＝7
C. ＝5
D. 在点(1，5)处的切线方程是y＝5x
6. (2025·淮安期末)已知某物体运动的位移方程为S＝3t2＋2，(　　)
A. 该物体位移的最大值为100
B. 该物体在时间段内的平均速度为15
C. 该物体在t＝5时的瞬时速度是32
D. 该物体的速度v和时间t的关系式是v＝6t
三、 填空题
7. 设函数f(x)＝x2＋x，则 ＝____________.
8. 已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，直线AB的斜率是___________；当Δx＝0.1时，直线AB的斜率是____________．
9. 已知自由落体的运动方程为s(t)＝3t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为____________，落体在t＝2时的瞬时速度为____________．
四、 解答题
10. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
(1) 求该物体在t＝1 s时的瞬时速度．
(2) 试求该物体的初速度．
(3) 试问：该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s
11. 已知函数f(x)＝x2.
(1) 求函数f(x)在x＝1，2，3附近的平均变化率，当取Δx都为时，哪一点附近的平均变化率最大？
(2) 求抛物线f(x)＝x2分别在点(1，1)，(3，9)处的切线方程．
12. 水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为2.5 m时，这水波面的圆面积的膨胀率是____________m2/s.
13. 假设高铁列车开出站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后高铁列车速度首次达到24 m/s时加速度为_____________m/s2.
14. 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2.5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s.子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10-3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为____________．

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