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第五章
一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
第3课时　简单复合函数的导数
学习 目标 1. 了解复合函数概念及其复合过程．
2. 掌握复合函数的求导法则．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作_____________．
2. 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_____________，即y对x的导数等于_______________________________．
y＝f(g(x))
y′u·u′x
y对u的导数与u对x的导数的乘积
×
×
√
×
典例精讲 能力初成
　　　　　(教材P79例6补充)求下列函数的导数：
简单复合函数的导数
【解答】
探究
1
1－1
(2) y＝e2x+1；
【解答】
设y＝eu，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x+1.
(3) y＝ln (3x－1)；
【解答】
【解答】
　　　　　(教材P79例6补充)求下列函数的导数：
1－1
(1) 求复合函数的导数的步骤：
①分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；②分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；③相乘：把上述求导的结果相乘；④变量回代：把中间变量回代．
(2) 求复合函数的导数的注意点：
①内、外层函数通常为基本初等函数；②求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点；③逐层求导结束后，对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
　　　　求下列函数的导数：
(1) y＝(x2＋2x－1)e2-x；
【解答】
y′＝(x2＋2x－1)′e2-x＋(x2＋2x－1)(e2-x)′＝(2x＋2)e2-x＋(x2＋2x－1)(－e2-x)＝(－x2＋3)e2-x.
变式
(2) y＝2x sin (2x＋5)；
【解答】
y′＝(2x)′sin (2x＋5)＋2x[sin (2x＋5)]′＝2sin (2x＋5)＋4x cos (2x＋5).
【解答】
　　　　求下列函数的导数：
变式
　　　　(1) 曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为 (　　)
A. y＝2x B. y＝2x＋1
C. y＝3x D. y＝3x＋1
【解析】
因为f(x)＝x＋e2x，所以f′(x)＝1＋2e2x，所以f′(0)＝1＋2＝3.又因为f(0)＝1，所以曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.
D
1－2
(2) 求曲线f(x)＝(2x－2)3在点(2，8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积．
【解答】
2
复合函数导数的实际应用
【解答】
探究
2
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式对函数式进行化简，再进行求导．复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式从外层开始由外到内逐层求导．
随堂内化 及时评价
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
【解析】
【答案】ABD
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝cos (2x＋1)的导数是 (　　)
A. y′＝sin (2x＋1) B. y′＝－2x sin (2x＋1)
C. y′＝－2sin (2x＋1) D. y′＝2x sin (2x＋1)
C
【解析】
y′＝－sin (2x＋1)(2x＋1)′＝－2sin (2x＋1).
【解析】
B
【解析】
【答案】D
【解析】
A
【解析】
【答案】AC
【解析】
ACD
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝___，f′(2)＝__________．
【解析】
3
8. 若质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为_____m/s.
【解析】
因为s(t)＝(2t＋1)2，所以s′(t)＝2(2t＋1)·2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s).
20
【解析】
2x＋3y－π＝0
四、 解答题
10. 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝(3x2＋1)(2－x)；
【解答】
f′(x)＝6x(2－x)＋(3x2＋1)×(－1)＝－9x2＋12x－1.
(2) f(x)＝x2ln (2x)；
【解答】
(3) f(x)＝ln (2x－1)3.
【解答】
11. 已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax的图象在x＝2处的切线与直线2x＋3y＋1＝0平行．
(1) 求a的值；
【解答】
(2) 求曲线g(x)＝f(x)＋x上到直线y＝x＋3距离最小的点的坐标，并求出该最小值．
【解答】
11. 已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax的图象在x＝2处的切线与直线2x＋3y＋1＝0平行．
【解析】
－1
【解析】
4 050
【解析】
谢谢观赏第3课时　简单复合函数的导数
学习 目标 1. 了解复合函数概念及其复合过程． 2. 掌握复合函数的求导法则．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f(g(x))_．
2. 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__y′u·u′x_，即y对x的导数等于__y对u的导数与u对x的导数的乘积_．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) [(2x＋1)-1]′＝－(2x＋1)-2 .　(　×　)
(2) 若f(x)＝cos ，则f′＝1.(　×　)
(3) 已知某函数的导数为y′＝，则这个函数可能是y＝ln .　　(　√　)
(4) 已知函数y＝f(x)，满足f(x)＝ln (2－3x)，则它的导函数y′＝(x∈R).(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　简单复合函数的导数
例1 1　(教材P79例6补充)求下列函数的导数：
(1) y＝；
【解答】设y＝，u＝3x－x2，则y′x＝y′u·u′x＝·(3－2x)＝.
(2) y＝e2x+1；
【解答】设y＝eu，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x+1.
(3) y＝ln (3x－1)；
【解答】设y＝ln u，u＝3x－1，则y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－1)′＝·3＝.
(4) y＝sin .
【解答】设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·′＝cos u·2＝2cos .
(1) 求复合函数的导数的步骤：
①分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；②分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；③相乘：把上述求导的结果相乘；④变量回代：把中间变量回代．
(2) 求复合函数的导数的注意点：
①内、外层函数通常为基本初等函数；②求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点；③逐层求导结束后，对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
变式　求下列函数的导数：
(1) y＝(x2＋2x－1)e2-x；
【解答】y′＝(x2＋2x－1)′e2-x＋(x2＋2x－1)(e2-x)′＝(2x＋2)e2-x＋(x2＋2x－1)(－e2-x)＝(－x2＋3)e2-x.
(2) y＝2x sin (2x＋5)；
【解答】y′＝(2x)′sin (2x＋5)＋2x[sin (2x＋5)]′＝2sin (2x＋5)＋4x cos (2x＋5).
(3) y＝.
【解答】因为(ln 3x)′＝×(3x)′＝，所以y′＝＝＝.
例1 2　(1) 曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为(　D　)
A. y＝2x B. y＝2x＋1
C. y＝3x D. y＝3x＋1
【解析】因为f(x)＝x＋e2x，所以f′(x)＝1＋2e2x，所以f′(0)＝1＋2＝3.又因为f(0)＝1，所以曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.
(2) 求曲线f(x)＝(2x－2)3在点(2，8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积．
【解答】设u＝2x－2，则f′(x)＝(u3)′·u′＝6(2x－2)2，所以f′(2)＝6×(4－2)2＝24，所以曲线y＝f(x)在点(2，8)处的切线方程为y－8＝24(x－2)，即24x－y－40＝0，所以切线与x轴的交点是，与直线x＝2的交点是(2，8)，故所围成的三角形的面积为××8＝.
探究2　复合函数导数的实际应用
例2　(教材P80例7补充)某港口在一天24 h内潮水的高度近似满足函数关系S(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中S的单位是m，t的单位是h，求18点时潮水起落的速度．
【解答】因为S′(t)＝3cos ×＝cos ，所以S′(18)＝cos (×18＋)＝cos ＝cos ＝，所以18点时潮水起落的速度是 m/h.
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式对函数式进行化简，再进行求导．复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式从外层开始由外到内逐层求导．
随堂内化及时评价
1. 设f(x)＝sin 2x，则f′等于(　C　)
A. B. 　
C. 1 D. －1
【解析】因为f(x)＝sin 2x，所以f′(x)＝(2x)′cos 2x＝2cos 2x，则f′＝2cos ＝1.
2. 函数y＝sin 的导数y′＝(　D　)
A. －cos B. cos
C. －sin D. －sin
【解析】因为函数y＝sin 可看作由y＝sin u，u＝－x复合而成，且yu′＝(sin u)′＝cos u，ux′＝′＝－1，所以函数y＝sin 的导数为y′＝yu′ux′＝－cos ＝－sin [－]＝－sin .
3. 设f(x)＝ln ，则f′(2)等于(　B　)
A. B. 　
C. D.
【解析】因为f(x)＝ln ，令u(x)＝，所以f(u)＝ln u.因为f′(u)＝，u′(x)＝·＝，由复合函数的求导法则得f′(x)＝·＝，所以f′(2)＝.
4. 已知函数f(x)＝，则f′(3)＝___．
【解析】根据题意，函数f(x)＝＝(2x－1)，则f′(x)＝(2x－1)′××(2x－1)－＝，f′(3)＝.
5. (多选)下列函数求导正确的是(　ABD　)
A. 若f(x)＝，则f′(x)＝－3(3x＋1)－
B. 若f(x)＝(1－2x)3，则f′(x)＝－6(1－2x)2
C. 若f(x)＝log2(2x＋1)，则f′(x)＝
D. 若f(x)＝cos ，则f′(x)＝－sin
【解析】对于A，因为f(x)＝＝2(3x＋1)－，所以f′(x)＝[2(3x＋1)－]′＝－3(3x＋1)－，故A正确；对于B，因为f(x)＝(1－2x)3，所以f′(x)＝[(1－2x)3]′＝－6(1－2x)2，故B正确；对于C，因为f(x)＝log2(2x＋1)，所以f′(x)＝[log2(2x＋1)]′＝，故C错误；对于D，因为f(x)＝cos ，所以f′(x)＝′＝－sin ，故D正确．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝cos (2x＋1)的导数是(　C　)
A. y′＝sin (2x＋1)
B. y′＝－2x sin (2x＋1)
C. y′＝－2sin (2x＋1)
D. y′＝2x sin (2x＋1)
【解析】y′＝－sin (2x＋1)(2x＋1)′＝－2sin (2x＋1).
2. 设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x＝x0处的导数 f′(x0)＝1，则x0的值为(　B　)
A. 　 B. 　　
C. 1 D.
【解析】由f(x)＝ln (2x－1)，得f′(x)＝.由f′(x0)＝＝1，解得x0＝.
3. 假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P0·2－，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　D　)
A. 20天 B. 30天
C. 45天 D. 60天
【解析】由P(t)＝P0·2－得P′(t)＝－·P0·2－ln 2.因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，所以P′(15)＝－·P0＝－，解得P0＝18，则P(t)＝18·2－.当该放射性同位素含量为4.5贝克，即P(t)＝4.5时，由18·2－＝4.5，得2－＝，所以－＝－2，解得t＝60.
4. 设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　A　)
A. ln 2 B. －ln 2
C. D. －
【解析】对f(x)＝ex＋a·e－x求导得f′(x)＝ex－ae－x.而f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故f′(x)＝ex－e－x.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，所以x0＝ln 2.
二、 多项选择题
5. 下列函数求导正确的是(　AC　)
A. 若f(x)＝，则f′(x)＝
B. 若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x
C. 若f(x)＝，则f′(x)＝
D. 若f(x)＝cos ，则f′(x)＝－sin
【解析】若f(x)＝，则f′(x)＝＝，故A正确；若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x·(2x)′＝2e2x，故B错误；若f(x)＝，则f′(x)＝·(2x－1)-1·(2x－1)′＝，故C正确；若f(x)＝cos ，则f′(x)＝－sin ·′＝－2sin (2x－)，故D错误．
6. 下列判断正确的是(　ACD　)
A. 曲线f(x)＝ln (x－1)在点(2，0)处的切线的倾斜角是
B. 曲线f(x)＝在点(2，1)处的切线的倾斜角是
C. 曲线f(x)＝ex-1在点(2，e)处的切线方程是ex－y－e＝0
D. 曲线f(x)＝(x－1)5在点(2，1)处的切线与直线x＋5y＝0互相垂直
【解析】对于A，f′(x)＝，f′(2)＝1，所以倾斜角θ＝，故A正确；对于B，f′(x)＝－，f′(2)＝－1，所以倾斜角θ＝，故B错误；对于C，f′(x)＝ex-1，f′(2)＝e，所以切线方程为ex－y－e＝0，故C正确；对于D，f′(x)＝5(x－1)4，f′(2)＝5，所以D正确．
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝3，f′(2)＝__3e6＋_．
【解析】由f(x)＝eax＋ln (x＋1)，得f′(x)＝aeax＋，因为f′(0)＝4，所以f′(0)＝a＋1＝4，所以a＝3，f′(x)＝3e3x＋，f′(2)＝3e6＋.
8. 若质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为__20_m/s.
【解析】因为s(t)＝(2t＋1)2，所以s′(t)＝2(2t＋1)·2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s).
9. 若点P是曲线y＝cos 上一点，直线l为点P处的切线，则直线l的方程为__2x＋3y－π＝0_．
【解析】因为点P是曲线y＝cos 上一点，所以y0＝cos＝cos ＝0，所以点P的坐标为.因为y′＝－sin (x＋)，所以斜率k＝－×sin＝－，所以切线l的方程为y－0＝－，即2x＋3y－π＝0.
四、 解答题
10. 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝(3x2＋1)(2－x)；
【解答】f′(x)＝6x(2－x)＋(3x2＋1)×(－1)＝－9x2＋12x－1.
(2) f(x)＝x2ln (2x)；
【解答】f′(x)＝2x ln (2x)＋x2×＝x[2ln (2x)＋1].
(3) f(x)＝ln (2x－1)3.
【解答】因为f(x)＝3ln (2x－1)，所以f′(x)＝.
11. 已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax的图象在x＝2处的切线与直线2x＋3y＋1＝0平行．
(1) 求a的值；
【解答】 由f(x)＝ln (x＋1)－ax，得f′(x)＝－a，因为函数f(x)的图象在x＝2处的切线与直线2x＋3y＋1＝0平行，所以f′(2)＝－a＝－，所以a＝1.
(2) 求曲线g(x)＝f(x)＋x上到直线y＝x＋3距离最小的点的坐标，并求出该最小值．
【解答】g(x)＝ln (x＋1)，g′(x)＝，令g′(x)＝＝1，得x＝0，则曲线g(x)在点(0，0)处的切线方程为x－y＝0，即点(0，0)到直线y＝x＋3的距离最小，最小距离d＝＝.
12. 若直线y＝2x是曲线f＝x的切线，则a＝__－1_．
【解析】因为f(x)＝x(e2x－a)，所以f′(x)＝(1＋2x)e2x－a.设切点为(t，2t)，则即若t＝0，则a＝－1，则f(x)＝x(e2x＋1)，f′(x)＝(1＋2x)e2x＋1，所以f(0)＝0，f′(0)＝2，所以f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝2x，符合题意．若t≠0，则e2t＝2＋a，则(1＋2t)(2＋a)＝2＋a，所以2t(2＋a)＝0，则a＝－2，则此时t无解，不符合题意，故舍去．综上可得a＝－1.
13. 已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的定义域也是R，f(x)满足f－f＝4x－2，则′(i)＝__4 050_．
【解析】对f(x＋1 013)－f(1 013－x)＝4x－2两边同时求导得f′(x＋1 013)＋f′(1 013－x)＝4，即f′(x)＋f′(2 026－x)＝4，则f′(1)＋f′(2 025)＝4，f′(2) ＋f′(2 024)＝4，…，f′(1 013)＝2，则′(i)＝4×1 012＋2＝4 050.
14. 在对函数y＝[f(x)]g(x)求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数，得到ln y＝g(x)·ln f(x)，然后两边同时求导，得＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，于是y′＝[f(x)]g(x)·[g′(x)ln f(x)＋g(x)·].用此法探求y＝(x＋1)(x>0)的导数为__y′＝[1－ln (x＋1)]·(x＋1)_．
【解析】由y＝(x＋1)(x>0)，两边同时取对数，得ln y＝ln (x＋1)，两边同时求导，得＝ln (x＋1)＋×＝[1－ln (x＋1)]，所以y′＝[1－ln (x＋1)]·(x＋1).第3课时　简单复合函数的导数
学习 目标 1. 了解复合函数概念及其复合过程． 2. 掌握复合函数的求导法则．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作_______________．
2. 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝______________，即y对x的导数等于_______________．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) [(2x＋1)-1]′＝－(2x＋1)-2 .　(　　)
(2) 若f(x)＝cos ，则f′＝1.(　　)
(3) 已知某函数的导数为y′＝，则这个函数可能是y＝ln .　　(　　)
(4) 已知函数y＝f(x)，满足f(x)＝ln (2－3x)，则它的导函数y′＝(x∈R).(　　)
典例精讲能力初成
探究1　简单复合函数的导数
例1 1　(教材P79例6补充)求下列函数的导数：
(1) y＝；
(2) y＝e2x+1；
(3) y＝ln (3x－1)；
(4) y＝sin .
(1) 求复合函数的导数的步骤：
①分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；②分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；③相乘：把上述求导的结果相乘；④变量回代：把中间变量回代．
(2) 求复合函数的导数的注意点：
①内、外层函数通常为基本初等函数；②求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点；③逐层求导结束后，对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
变式　求下列函数的导数：
(1) y＝(x2＋2x－1)e2-x；
(2) y＝2x sin (2x＋5)；
(3) y＝.
例1 2　(1) 曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A. y＝2x B. y＝2x＋1
C. y＝3x D. y＝3x＋1
(2) 求曲线f(x)＝(2x－2)3在点(2，8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积．
探究2　复合函数导数的实际应用
例2　(教材P80例7补充)某港口在一天24 h内潮水的高度近似满足函数关系S(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中S的单位是m，t的单位是h，求18点时潮水起落的速度．
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式对函数式进行化简，再进行求导．复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式从外层开始由外到内逐层求导．
随堂内化及时评价
1. 设f(x)＝sin 2x，则f′等于(　　)
A. B. 　
C. 1 D. －1
2. 函数y＝sin 的导数y′＝(　　)
A. －cos B. cos
C. －sin D. －sin
3. 设f(x)＝ln ，则f′(2)等于(　　)
A. B. 　
C. D.
4. 已知函数f(x)＝，则f′(3)＝_______________．
5. (多选)下列函数求导正确的是(　　)
A. 若f(x)＝，则f′(x)＝－3(3x＋1)－
B. 若f(x)＝(1－2x)3，则f′(x)＝－6(1－2x)2
C. 若f(x)＝log2(2x＋1)，则f′(x)＝
D. 若f(x)＝cos ，则f′(x)＝－sin
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝cos (2x＋1)的导数是(　　)
A. y′＝sin (2x＋1)
B. y′＝－2x sin (2x＋1)
C. y′＝－2sin (2x＋1)
D. y′＝2x sin (2x＋1)
2. 设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x＝x0处的导数 f′(x0)＝1，则x0的值为(　　)
A. 　 B. 　　
C. 1 D.
3. 假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P0·2－，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　)
A. 20天 B. 30天
C. 45天 D. 60天
4. 设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)
A. ln 2 B. －ln 2
C. D. －
二、 多项选择题
5. 下列函数求导正确的是(　　)
A. 若f(x)＝，则f′(x)＝
B. 若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x
C. 若f(x)＝，则f′(x)＝
D. 若f(x)＝cos ，则f′(x)＝－sin
6. 下列判断正确的是(　　)
A. 曲线f(x)＝ln (x－1)在点(2，0)处的切线的倾斜角是
B. 曲线f(x)＝在点(2，1)处的切线的倾斜角是
C. 曲线f(x)＝ex-1在点(2，e)处的切线方程是ex－y－e＝0
D. 曲线f(x)＝(x－1)5在点(2，1)处的切线与直线x＋5y＝0互相垂直
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝3，f′(2)＝______________．
8. 若质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为______________m/s.
9. 若点P是曲线y＝cos 上一点，直线l为点P处的切线，则直线l的方程为_______________．
四、 解答题
10. 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝(3x2＋1)(2－x)；
(2) f(x)＝x2ln (2x)；
(3) f(x)＝ln (2x－1)3.
11. 已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax的图象在x＝2处的切线与直线2x＋3y＋1＝0平行．
(1) 求a的值；
(2) 求曲线g(x)＝f(x)＋x上到直线y＝x＋3距离最小的点的坐标，并求出该最小值．
12. 若直线y＝2x是曲线f＝x的切线，则a＝______________．
13. 已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的定义域也是R，f(x)满足f－f＝4x－2，则′(i)＝_______________．
14. 在对函数y＝[f(x)]g(x)求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数，得到ln y＝g(x)·ln f(x)，然后两边同时求导，得＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，于是y′＝[f(x)]g(x)·[g′(x)ln f(x)＋g(x)·].用此法探求y＝(x＋1)(x>0)的导数为______________．

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