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第五章
一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
第5课时　函数极(最)值的应用
学习 目标 1. 能根据函数极值与最值研究函数的性质．
2. 能利用导数解决一些简单的最优化问题．
典例精讲 能力初成
1
函数零点问题
【解答】
探究
1
(2) 讨论方程f(x)＝k的实数解的个数．
【解答】
1
函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
(1) 求出函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)及f′(x)的零点；
(3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5) 画出f(x)的大致图象．
【解答】
变式
(2) 作出函数的大致图象；
【解答】
变式
(3) 求方程f(x)＝a(a∈R)解的个数.
【解答】
变式
　　　　(教材P104第14题)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5 m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．
2
导数与实际问题
【解答】
探究
2
1. 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1) 设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2) 求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3) 比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4) 回归实际问题作答．
2. 如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义知该极值点就是最值点．
变式
(1) 求y关于v的函数关系式；
【解答】
变式
(2) 若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
【解答】
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 函数f(x)＝x2－2ln x－1的零点个数为 (　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法确定
B
【解析】
y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．
C
3. 已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
x －1 0 2 3 4
f(x) 1 2 0 2 0
当1A. 2 B. 3　
C. 4 D. 5
【解析】
根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，又由f(x)的部分对应值表可得函数y＝f(x)的图象如图所示．因为f(0)＝f(3)＝2，1【答案】C
【解析】
4. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为____．
1
【解析】
令f(x)＝x3－3x＋a＝0，即为－a＝x3－3x，设g(x)＝x3－3x，g′(x)＝3x2－3，可得当x<－1或x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当－15. (多选)函数f(x)＝x3－3x＋a的零点个数可能为 (　　)
A. 1 B. 2　
C. 3 D. 4
作出y＝g(x)的大致图象如图所示．由图象可得当－22或a<－2时，f(x)＝x3－3x＋a有1个零点．
【答案】ABC
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1恰有两个零点，则实数a的取值范围是 (　　)
A. (－∞，1) B. (0，＋∞)　　　　
C. (0，1) D. (0，1]
【解析】
【答案】C
【解析】
D
【解析】
【答案】B
4. 设函数f(x)＝(x2＋a)ex(a∈R)在R上存在最小值，则函数g(x)＝x2＋x＋a的零点个数为 (　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法确定
【解析】
【答案】C
x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
【解析】
AD
【解析】
【答案】BCD
7. 已知函数f(x)＝(x2－3)ex，则下列结论正确的是 (　　)
A. 函数f(x)有极小值，但无最小值
B. 函数f(x)有极大值，但无最大值
C. 若方程f(x)＝b恰有一个实数根，则b>6e-3
D. 若方程f(x)＝b恰有三个不同实数根，则0【解析】
由题意得f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f′(x)＝0，即(x2＋2x－3)ex＝0，解得x＝1或x＝－3.则当x<－3或x>1时，f′(x)>0，函数在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增；当－3【答案】BD
当x→－∞时，f(x)→0；当x→＋∞时，f(x)→＋∞.作出函数f(x)＝(x2－3)ex的大致图象如图所示，因此f(x)有极小值f(1)，也有最小值f(1)，有极大值f(－3)，但无最大值．若方程f(x)＝b恰有一个实数根，则b>6e-3或b＝－2e；若方程f(x)＝b恰有三个不同实数根，则0【解析】
1
【解析】
10. (教材P104第15题)用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一

个圆锥形容器，扇形的圆心角α＝______时，容器的容积最大．
【解析】
四、 解答题
11. 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
【解答】
(2) 若函数y＝f(x)的图象与函数y＝a的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．
【解答】
11. 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
【解答】
(2) 求该景点改造升级后旅游利润T(x)＝f(x)－x的最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)
【解答】
谢谢观赏第5课时　函数极(最)值的应用
学习 目标 1. 能根据函数极值与最值研究函数的性质． 2. 能利用导数解决一些简单的最优化问题．
典例精讲能力初成
探究1　函数零点问题
例1　(教材P95例7补充)若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋4在x＝－2和x＝1处取得极值．
(1) 求函数f(x)的解析式；
【解答】f(x)＝x3＋ax2－bx＋4，则f′(x)＝x2＋2ax－b，由题意得即解得经检验符合题意．故f(x)＝x3＋x2－2x＋4.
(2) 讨论方程f(x)＝k的实数解的个数．
【解答】由(1)知f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1).令f′(x)>0，解得x<－2或x>1；令f′(x)<0，解得－2时，方程k＝f(x)有一个解；当k＝或k＝时，方程k＝f(x)有两个解；当函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
(1) 求出函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)及f′(x)的零点；
(3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5) 画出f(x)的大致图象．
变式　已知函数f(x)＝.
(1) 写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求极值；
【解答】函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的极大值为f(1) ＝，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，极大值为，无极小值.
(2) 作出函数的大致图象；
【解答】显然，当x→－∞时，f(x)＝→－∞，又因为x>0时，f(x)>0，且x→＋∞时，f(x)＝→0，所以作出f(x)＝的大致图象如图所示.
(变式答)
(3) 求方程f(x)＝a(a∈R)解的个数.
【解答】由函数f(x)的图象可得，当a≤0或a＝时，方程f(x)＝a有一个解；当a>时，方程f(x)＝a无解；当0探究2　导数与实际问题
例2　(教材P104第14题)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5 m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．
【解答】设该容器底面矩形的短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，此容器的高为y＝－x－(x＋0.5)＝3.2－2x，于是，此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)·(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x, 其中0＜x＜1.6. 令V′(x)＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去).因为V′(x)在(0，1.6)内只有一个极值点，且x∈(0，1)时，V′(x)＞0，函数V(x)单调递增；x∈(1，1.6)时，V′(x)＜0，函数V(x)单调递减， 所以当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8 m3，即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8 m3.
1. 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1) 设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2) 求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3) 比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4) 回归实际问题作答．
2. 如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义知该极值点就是最值点．
变式　在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60 m的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3＋1(L)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(L)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(L)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(L).
(1) 求y关于v的函数关系式；
【解答】由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为×＝＋(L)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(L)，返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1.5＝(L)，因此总用氧量y＝＋＋9(v>0).
(2) 若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
【解答】y′＝－＝，令y′＝0，得v＝10.当010时，y′>0，函数单调递增．若c<10，函数在(c，10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，所以当v＝10时，总用氧量最少．若c≥10，则y在[c，15]上单调递增，所以当v＝c时，总用氧量最少．
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝x2－2ln x－1的零点个数为(　B　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法确定
【解析】f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得02. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　C　)
A. 13万件 B. 11万件
C. 9万件 D. 7万件
【解析】y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．
3. 已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
x －1 0 2 3 4
f(x) 1 2 0 2 0
(第3题)
当1A. 2 B. 3　
C. 4 D. 5
【解析】根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，又由f(x)的部分对应值表可得函数y＝f(x)的图象如图所示．因为f(0)＝f(3)＝2，1(第3题答)
4. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为__1_．
【解析】设剪去的小正方形的边长为a，则纸盒的容积为V＝a(8－2a)(5－2a)，所以V＝4a3－26a2＋40a，所以V′＝12a2－52a＋40＝4(a－1)(3a－10).当00；当15. (多选)函数f(x)＝x3－3x＋a的零点个数可能为(　ABC　)
A. 1 B. 2　
C. 3 D. 4
【解析】令f(x)＝x3－3x＋a＝0，即为－a＝x3－3x，设g(x)＝x3－3x，g′(x)＝3x2－3，可得当x<－1或x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当－12或a<－2时，f(x)＝x3－3x＋a有1个零点．
(第5题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1恰有两个零点，则实数a的取值范围是(　C　)
A. (－∞，1) B. (0，＋∞)　　　　
C. (0，1) D. (0，1]
【解析】函数f(x)＝ln x－ax＋1恰有两个零点等价于a＝有两个不等的实数解，令g(x)＝，则g′(x)＝， 当00，g(x)单调递增，当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)在x＝1处取得极大值，且为最大值1，当x→＋∞时，g(x)→0，画出y＝g(x)的大致图象如图所示，由图象知0(第1题答)
2. 把一段长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　D　)
A. cm2 B. 4 cm2
C. 3 cm2 D. 2 cm2
【解析】设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)(03. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万斤)满足函数关系y＝－x3＋ax2＋x(a为常数)．若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　B　)
A. 6万斤 B. 8万斤
C. 7万斤 D. 9万斤
【解析】设销售利润为g(x)万元，则g(x)＝－x3＋ax2＋x－2－x＝－x3＋ax2－2(00；当x∈(8，10)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，8)上单调递增，在(8，10)上单调递减，则x＝8时，g(x)取得最大值．所以要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤．
4. 设函数f(x)＝(x2＋a)ex(a∈R)在R上存在最小值，则函数g(x)＝x2＋x＋a的零点个数为(　C　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法确定
【解析】f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex.当a≥1时，x2＋2x＋a≥0在R上恒成立，所以f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex≥0在R上恒成立，所以函数f(x)＝(x2＋a)ex在R上单调递增，没有最小值．当a<1时，令f′(x)＝0，得x1＝－－1，x2＝－1，且x1x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当x→－∞时，f(x)→0，所以若f(x)有最小值，只需f(x2)≤0.因为f(x2)＝(2－2)ex2≤0 2－2≤0 a≤0，所以x2＋x＋a＝0的判别式Δ＝1－4a≥1>0，因此g(x)＝x2＋x＋a有两个零点．
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝x ln2x＋x的导函数为f′(x)，则(　AD　)
A．f′＝0
B. x＝是f(x)的极值点
C. f(x)存在零点
D. f(x)在上单调递增
【解析】由题可知f(x)＝x ln2x＋x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln2x＋2ln x＋1，所以f′＝ln2＋2ln ＋1＝0，故A正确；f′(x)＝ln2x＋2ln x＋1＝(ln x＋1)2≥0，故函数f(x)单调递增，故无极值点，故B错误，D正确．又f(x)＝x ln2x＋x＝x(ln2x＋1)>0，故函数f(x)不存在零点，故C错误．
6.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则(　BCD　)
A. 长方体的体积V(x)＝m3
B. 长方体的最大体积为3 m3
C. 长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m
D. 长方体的体积最大时，高为1.5 m
【解析】设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝－3x(m)，故长方体的体积为V(x)＝2x2h＝9x2－6x3，故A错误．从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去).当00；当17. 已知函数f(x)＝(x2－3)ex，则下列结论正确的是(　BD　)
A. 函数f(x)有极小值，但无最小值
B. 函数f(x)有极大值，但无最大值
C. 若方程f(x)＝b恰有一个实数根，则b>6e-3
D. 若方程f(x)＝b恰有三个不同实数根，则0【解析】由题意得f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f′(x)＝0，即(x2＋2x－3)ex＝0，解得x＝1或x＝－3.则当x<－3或x>1时，f′(x)>0，函数在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增；当－36e-3或b＝－2e；若方程f(x)＝b恰有三个不同实数根，则0(第7题答)
三、 填空题
8. 已知函数f(x)＝2ln x－x2，则函数f(x)有1个零点．
【解析】f(x)＝2ln x－x2，x＞0，所以f′(x)＝－＝，所以当0＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故当x＝时，f(x)有极大值，极大值为f()＝1－1＝0，所以f(x)只有一个零点．
9. 若函数g(x)＝x2－ln x＋m在上有两个零点，则实数m的取值范围为 ___．
【解析】因为g(x)＝x2－ln x＋m，x∈，所以g′(x)＝x－＝，当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故g(x)在x＝1处取得极小值g(1)＝m＋.又g＝m＋1＋，g(e)＝e2＋m－1，g(e)－g＝－2>0，则g(e)>g，所以g(x)在上有两个零点的条件是解得－1－10. (教材P104第15题)用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α＝ __π__时，容器的容积最大．
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则r2＋h2＝R2，因此V＝πr2h＝π(R2－h2)h＝πR2h－πh3(0＜h＜R).令V′＝R2－πh2＝0，解得h＝R.所以当h＝R时容积最大，把h＝R代入r2＋h2＝R2得r＝R.由Rα＝2πr，得α＝π，即圆心角α＝π时容积最大．
四、 解答题
11. 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
【解答】由题意可得，f′(x)＝3x2－6，当f′(x)>0时，x>或x<－；当f′(x)<0时，－(2) 若函数y＝f(x)的图象与函数y＝a的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．
【解答】若函数y＝f(x)的图象与函数y＝a的图象恰有三个不同的交点，结合(1) 中f(x)的单调性以及极值点可知，5－412. 某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y(单位：万元)与投入x(x≥10)(单位：万元)之间满足关系：y＝f(x)＝ax2＋x－b ln x＋b ln 10，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．
(1) 求函数f(x)的解析式；
【解答】由题知
解得a＝－，b＝1，所以f(x)＝－＋x－ln (x≥10).
(2) 求该景点改造升级后旅游利润T(x)＝f(x)－x的最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)
【解答】由题意知T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln (x≥10)，所以T′(x)＝＋－＝－(x≥10).令T′(x)＝0，则x＝1(舍去)或x＝50.当x∈(10，50)时，T′(x)＞0，T(x)在(10，50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)＜0，T(x)在(50，＋∞)上是减函数，所以x＝50为T(x)的极大值点，也是最大值点．又T(50)＝－＋51－ln 5≈24.4，所以该景点改造升级后旅游利润T(x)＝f(x)－x的最大值约为24.4万元．第5课时　函数极(最)值的应用
学习 目标 1. 能根据函数极值与最值研究函数的性质． 2. 能利用导数解决一些简单的最优化问题．
典例精讲能力初成
探究1　函数零点问题
例1　(教材P95例7补充)若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋4在x＝－2和x＝1处取得极值．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 讨论方程f(x)＝k的实数解的个数．
函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
(1) 求出函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)及f′(x)的零点；
(3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5) 画出f(x)的大致图象．
变式　已知函数f(x)＝.
(1) 写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求极值；
(2) 作出函数的大致图象；
(3) 求方程f(x)＝a(a∈R)解的个数.
探究2　导数与实际问题
例2　(教材P104第14题)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5 m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．
1. 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1) 设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2) 求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3) 比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4) 回归实际问题作答．
2. 如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义知该极值点就是最值点．
变式　在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60 m的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3＋1(L)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(L)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(L)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(L).
(1) 求y关于v的函数关系式；
(2) 若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝x2－2ln x－1的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法确定
2. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　)
A. 13万件 B. 11万件
C. 9万件 D. 7万件
3. 已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
x －1 0 2 3 4
f(x) 1 2 0 2 0
(第3题)
当1A. 2 B. 3　
C. 4 D. 5
4. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为______________1_．
5. (多选)函数f(x)＝x3－3x＋a的零点个数可能为(　　)
A. 1 B. 2　
C. 3 D. 4
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1恰有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1) B. (0，＋∞)　　　　
C. (0，1) D. (0，1]
2. 把一段长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
A. cm2 B. 4 cm2
C. 3 cm2 D. 2 cm2
3. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万斤)满足函数关系y＝－x3＋ax2＋x(a为常数)．若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　)
A. 6万斤 B. 8万斤
C. 7万斤 D. 9万斤
4. 设函数f(x)＝(x2＋a)ex(a∈R)在R上存在最小值，则函数g(x)＝x2＋x＋a的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法确定
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝x ln2x＋x的导函数为f′(x)，则(　　)
A．f′＝0
B. x＝是f(x)的极值点
C. f(x)存在零点
D. f(x)在上单调递增
6.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则(　　)
A. 长方体的体积V(x)＝m3
B. 长方体的最大体积为3 m3
C. 长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m
D. 长方体的体积最大时，高为1.5 m
7. 已知函数f(x)＝(x2－3)ex，则下列结论正确的是(　　)
A. 函数f(x)有极小值，但无最小值
B. 函数f(x)有极大值，但无最大值
C. 若方程f(x)＝b恰有一个实数根，则b>6e-3
D. 若方程f(x)＝b恰有三个不同实数根，则0三、 填空题
8. 已知函数f(x)＝2ln x－x2，则函数f(x)有_____________个零点．
9. 若函数g(x)＝x2－ln x＋m在上有两个零点，则实数m的取值范围为 _______________．
10. (教材P104第15题)用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α＝ _______________时，容器的容积最大．
四、 解答题
11. 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(2) 若函数y＝f(x)的图象与函数y＝a的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．
12. 某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y(单位：万元)与投入x(x≥10)(单位：万元)之间满足关系：y＝f(x)＝ax2＋x－b ln x＋b ln 10，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 求该景点改造升级后旅游利润T(x)＝f(x)－x的最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)

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