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微专题9　函数零点问题
典例剖析素养初现
探究1　函数零点个数问题
例1　讨论函数g(x)＝－－(x>0)的零点的个数．
【解答】令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，设h(x)＝－x3＋x(x>0)，则h′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)在(0，1)上为增函数；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以当x＝1时，h(x)取得极大值h(1)＝1－＝，且x→0时h(x)→0，x→＋∞时h(x)→－∞，作出y＝h(x)的图象如图所示，由图可知当m>时，直线y＝m和函数y＝h(x)的图象无交点；当m＝时，直线y＝m和函数y＝h(x)的图象有且仅有一个交点；当0时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且仅有一个零点；当0(例1答)
对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间的区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在性定理及函数单调性严格说明函数零点个数．
变式　求证：函数f(x)＝ln (x＋1)－sin x在上有且仅有一个零点.
【解答】f′(x)＝－cos x，当x∈时，－cos x>0，>0，所以f′(x)＝－cos x>0，所以f(x)单调递增，而f＝ln －1<0，f(π)＝ln(π＋1)>0，所以f(x)在上有且仅有一个零点x0.当x∈[π，＋∞)时，f(x)＝ln (x＋1)－sin x>ln (π＋1)－1>0，所以f(x)在[π，＋∞)上无零点．综上所述，f(x)在上有且仅有一个零点.
探究2　根据零点个数求参数
例2　已知函数g(x)＝＋ln x＋x－2－b(b∈R)在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
【解答】因为g(x)＝＋ln x＋x－2－b，所以g′(x)＝＝，所以g(x)在[e-1，1]上是减函数，在(1，e]上是增函数．因为g(x)在区间[e-1，e]上有两个零点，所以解得1变式　已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，若函数y＝f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合．
【解答】当a＝0时，显然满足题意．当a≠0时，若函数y＝f(x)有且只有一个零点，即x－a ln x＝0只有一个根．因为1不是方程的根，所以可转化为a＝只有一个根，即直线y＝a与函数g(x)＝(x>0且x≠1)的图象只有一个交点．g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e，当x∈(0，1)∪(1，e)时，g′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，1)和(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．g(x)在x＝e时有极小值g(e)＝e，作出y＝g(x)的图象如图所示．由图可知，若要使直线y＝a与函数g(x)＝的图象有且只有一个交点，则a<0或a＝e.综上，a∈(－∞，0]∪{e}．
(变式答)
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝x2＋x－2－ln x，试确定该函数零点的个数．
【解答】函数f(x)＝x2＋x－2－ln x的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x＋1－＝＝.令f′(x)>0 x>，令f′(x)<0 00，f＝－＋ln 2<0，f(e2)>0，所以函数f(x)在，内各有一零点，所以f(x)有两个零点．
2. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝2ex-1－ax2，其中a∈R.
(1) 当a＝1时，若g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
【解答】当a＝1时，f′(x)＝2ex-1－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2ex-1－2，令g′(x)＝0，得x＝1.所以当x<1时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
(2) 若f(x)在R上恰有三个零点，求a的取值范围.
【解答】因为f(0)＝≠0，所以f(x)的零点x≠0，令f(x)＝2ex-1－ax2＝0，可得a＝.设h(x)＝(x≠0)，则h′(x)＝＝，令h′(x)＝0，得x＝2，且h(2)＝，所以当x∈(－∞，0)时，h′(x)>0，h(x)单调递增且h(x)∈(0，＋∞)；当x∈(0，2)时，h′(x)<0，h(x)单调递减且h(x)∈；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增且h(x)∈，作出h(x)的大致图象如图所示，由图象可知，当a>时，y＝a与y＝h(x)的图象有三个交点，即f(x)有三个不同的零点，所以a的取值范围是.
(第2题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝sin x＋x3＋3x，则函数f(x)的零点个数为(　B　)
A. 0 B. 1　
C. 2 D. 3
【解析】易知f(x)＝sin x＋x3＋3x为奇函数，且f(0)＝0.当x>0时，f′(x)＝cos x＋3x2＋3>0恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，故函数f(x)在R上单调递增，f(0)＝0，即函数f(x)只有一个零点．
2. 若方程x3－3x＋m＝0 在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是(　A　)
A. [－2，2] B. [0，2]
C. [－2，0] D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】由题意得，方程x3－3x＋m＝0 在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2].令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′＜0，解得0≤x＜1；令y′>0，解得1＜x≤2.因此，函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增．又当x＝1时，y＝－2；当x＝2时，y＝2；当x＝0时，y＝0，所以函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，所以m∈[－2，2] .
3. 函数f(x)＝x－ln x 的零点个数为(　B　)
A．1 　　　　 B．2 　
C. 3 D. 4
【解析】由题设知f′(x)＝－＝ 且f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以在(0，3)上f′(x)<0，在(3，＋∞)上f′(x)>0，即f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln 3<0.又f()＝＋1>0，f(e2)＝－2>0，则f(x)在(0，3)，(3，＋∞)上各有1个零点，共有2个零点．
4. (2023·全国乙卷)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是(　B　)
A. (－∞，－2) B. (－∞，－3)
C. (－4，－1) D. (－3，0)
【解析】f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a，若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小值，则a＜0.令f′(x)＝3x2＋a＝0，解得x＝－或x＝，且当x∈∪时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，故f(x)的极大值为f，极小值为f.若f(x)要存在3个零点，则即解得a＜－3.
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝x·ln x，则关于x 的方程|f(x)|－m＝0的实数根的个数可能为(　BCD　)
A. 4 B. 3 　
C. 2 D. 1
【解析】由f(x)＝x ln x，x＞0，得f′(x)＝ln x＋1，x＞0.令f′(x)>0，得x>，令f′(x)<0，得0(第5题答)
6. 已知函数f(x)＝ln x－mx有两个零点x1，x2，且x1A. 0e
C. 0D. x2－x1的值随m的增大而减小
【解析】由f(x)＝ln x－mx＝0，得ln x＝mx，即m＝(x>0).令g(x)＝，则g′(x)＝，则当x∈(0，e)时，g′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，当x＝e时，g(x)取得最大值为g(e)＝.又当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，作出函数g(x)的大致图象如图所示，由图象可知：1＜x1＜e，x2>e，0(第6题答)
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝m－x2＋2ln x 在上有两个零点，则实数m 的取值范围为____．
【解析】令f(x)＝m－x2＋2ln x＝0，则m＝x2－2ln x．令g(x)＝x2－2ln x，x∈[，e]，则由g′(x)＝2x－＝，x∈[，e]，易知g(x)在上单调递减，在[1，e] 上单调递增，且g(x)min＝g(1)＝1，g＝4＋，g(e)＝e2－2.因为4＋<5，e2－2≥5，所以g(第7题答)
8. 若函数f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为__(－e2，0)_．
【解析】f′(x)＝＝(a<0).当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝＋1.若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝＋1>0，解得a>－e2，因此－e2四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x3＋2ax＋b在x＝－2处取得极值．
(1) 求实数a的值；
【解答】f′(x)＝3x2＋2a，因为f(x)在x＝－2处取得极值，所以f′(－2)＝12＋2a＝0，所以a＝－6.经验证a＝－6时，f(x)在x＝－2处取得极值，故a＝－6.
(2) 若函数y＝f(x)在[0，4]内有零点，求实数b的取值范围．
【解答】由(1)知f(x)＝x3－12x＋b，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去).
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x 0 (0，2) 2 (2，4) 4
f′(x) － 0 ＋
f(x) b ↘ 极小值 b－16 ↗ b＋16
所以若y＝f(x)在[0，4]内有零点，只需所以－16≤b≤16.即实数b的取值范围是[－16，16].
10. 已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.
(1) 求证：函数f(x) 存在唯一的极值点；
【解答】因为函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－.因为y＝ln x单调递增，y＝单调递减．所以f′(x) 单调递增，又f′ (1)＝－1<0，f′ (2)＝ln 2－＝>0，所以 存在唯一的x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.当xx0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)存在唯一的极值点．
(2) 求证：f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【解答】由(1)知f(x0)0，所以f(x)＝0 在(x0，＋∞) 内存在唯一的根x＝a，由a>x0>1，得<1典例剖析素养初现
探究1　函数零点个数问题
例1　讨论函数g(x)＝－－(x>0)的零点的个数．
对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间的区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在性定理及函数单调性严格说明函数零点个数．
变式　求证：函数f(x)＝ln (x＋1)－sin x在上有且仅有一个零点.
探究2　根据零点个数求参数
例2　已知函数g(x)＝＋ln x＋x－2－b(b∈R)在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
变式　已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，若函数y＝f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合．
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝x2＋x－2－ln x，试确定该函数零点的个数．
2. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝2ex-1－ax2，其中a∈R.
(1) 当a＝1时，若g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2) 若f(x)在R上恰有三个零点，求a的取值范围.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝sin x＋x3＋3x，则函数f(x)的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1　
C. 2 D. 3
2. 若方程x3－3x＋m＝0 在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是(　　)
A. [－2，2] B. [0，2]
C. [－2，0] D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
3. 函数f(x)＝x－ln x 的零点个数为(　　)
A．1 　　　　 B．2 　
C. 3 D. 4
4. (2023·全国乙卷)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－2) B. (－∞，－3)
C. (－4，－1) D. (－3，0)
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝x·ln x，则关于x 的方程|f(x)|－m＝0的实数根的个数可能为(　　)
A. 4 B. 3 　
C. 2 D. 1
6. 已知函数f(x)＝ln x－mx有两个零点x1，x2，且x1A. 0e
C. 0D. x2－x1的值随m的增大而减小
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝m－x2＋2ln x 在上有两个零点，则实数m 的取值范围为________________．
8. 若函数f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为_______________．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x3＋2ax＋b在x＝－2处取得极值．
(1) 求实数a的值；
(2) 若函数y＝f(x)在[0，4]内有零点，求实数b的取值范围．
10. 已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.
(1) 求证：函数f(x) 存在唯一的极值点；
(2) 求证：f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．(共32张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
微专题9　函数零点问题
典例剖析 素养初现
1
函数零点个数问题
【解答】
探究
1
对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间的区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在性定理及函数单调性严格说明函数零点个数．
【解答】
变式
2
根据零点个数求参数
【解答】
探究
2
　　　　已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，若函数y＝f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合．
【解答】
变式
随堂内化 及时评价
【解答】
1. 已知函数f(x)＝x2＋x－2－ln x，试确定该函数零点的个数．
【解答】
当a＝1时，f′(x)＝2ex-1－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2ex-1－2，令g′(x)＝0，得x＝1.所以当x<1时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
2. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝2ex-1－ax2，其中a∈R.
(1) 当a＝1时，若g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2) 若f(x)在R上恰有三个零点，求a的取值范围.
【解答】
2. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝2ex-1－ax2，其中a∈R.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝sin x＋x3＋3x，则函数f(x)的零点个数为 (　　)
A. 0 B. 1　
C. 2 D. 3
B
【解析】
易知f(x)＝sin x＋x3＋3x为奇函数，且f(0)＝0.当x>0时，f′(x)＝cos x＋3x2＋3>0恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，故函数f(x)在R上单调递增，f(0)＝0，即函数f(x)只有一个零点．
2. 若方程x3－3x＋m＝0 在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是 (　　)
A. [－2，2] B. [0，2]
C. [－2，0] D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
A
【解析】
由题意得，方程x3－3x＋m＝0 在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2].令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′＜0，解得0≤x＜1；令y′>0，解得1＜x≤2.因此，函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增．又当x＝1时，y＝－2；当x＝2时，y＝2；当x＝0时，y＝0，所以函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，所以m∈[－2，2] .
【解析】
B
4. (2023·全国乙卷)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是
(　　)
A. (－∞，－2) B. (－∞，－3)
C. (－4，－1) D. (－3，0)
【解析】
【答案】B
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝x·ln x，则关于x 的方程|f(x)|－m＝0的实数根的个数可能为
(　　)
A. 4 B. 3 　 C. 2 D. 1
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【解析】
(－e2，0)
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x3＋2ax＋b在x＝－2处取得极值．
(1) 求实数a的值；
【解答】
f′(x)＝3x2＋2a，因为f(x)在x＝－2处取得极值，所以f′(－2)＝12＋2a＝0，所以a＝－6.经验证a＝－6时，f(x)在x＝－2处取得极值，故a＝－6.
(2) 若函数y＝f(x)在[0，4]内有零点，求实数b的取值范围．
【解答】
由(1)知f(x)＝x3－12x＋b，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去).
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x 0 (0，2) 2 (2，4) 4
f′(x) － 0 ＋
f(x) b ↘ 极小值b－16 ↗ b＋16
9. 已知函数f(x)＝x3＋2ax＋b在x＝－2处取得极值．
10. 已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.
(1) 求证：函数f(x) 存在唯一的极值点；
【解答】
(2) 求证：f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【解答】
10. 已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.
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