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本章总结提升
【知识辨析】
1.×　2.×　3.×　4.×　5.×　6.√　7.×　8.×
9.√　10.√　11.√
【素养提升】
题型一
例1　(1)A　(2)A　[解析] (1)由题可知,O'A'=1,O'B'=,则原平面图形中有OA⊥OB,且OA=1,OB=2,故选A.
(2)因为A'C'⊥B'C',∠A'O'C'=45°,B'O'=O'C'=1,所以A'O'=,B'C'=2,则△ABC是底边为2,高为2的三角形,所以S△ABC=×2×2=2.故选A.
题型二
例2　(1)CD　(2)ABD　(3)28　[解析] (1)设正方形ABCD的边长为2,则ED=2,FB=1,AC=2,∴V1=VE-ACD=S△ACD·ED=.∵ED⊥平面ABCD,FB∥ED,∴FB⊥平面ABCD,∴V2=VF-ABC=S△ABC·FB=.连接BD交AC于M,连接EM,FM,∵AC⊥ED,AC⊥BD,BD∩ED=D,∴AC⊥平面BDEF.过F作FN⊥DE,垂足为N,则FN∥BD,且FN=BD=2,在Rt△ENF中,EF==3.在Rt△MBF中,FM==.在Rt△EDM中,EM==,∴EM2+FM2=EF2,即EM⊥FM,故V3=VF-ACE=S△EMF·AC=2.故选项A,B错误,选项C,D正确,故选CD.
(2)对于A,正方体内切球的直径为1 m,故A正确;对于B,如图①,在正方体中作出正四面体A1BDC1,该正四面体的棱长为BA1= m,而>1.4,故B正确;对于C,圆柱体的底面直径为0.01 m,可以忽略不计,正方体的体对角线的长为 m,而1.8>,故C不正确;对于D,圆柱体的高为0.01 m,可忽略不计,如图②,取E,F,G,H,I,J分别为所在棱的中点,并顺次连接,所得六边形EFGHIJ为正六边形,其边长为 m,连接FH,易知FH为正六边形EFGHIJ的内切圆直径,因为∠GFH=∠GHF=30°,所以FH=FG=GH= m,而=>1.22=1.44,故D正确.故选ABD.
(3)方法一:依题意可知,原正四棱锥的高为6,故棱台的体积V=V大正四棱锥-V小正四棱锥=×42×6-×22×3=28.
方法二:由题可知所得棱台的高为3,上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,由棱台的体积公式可得棱台的体积V=×(42+22+)×3=28.
变式　(1)A　(2)B　(3)　[解析] (1)由题意,设球的球心为O,半径为R,正三棱台的上、下底面分别为△A1B1C1,△A2B2C2,A1A2,B1B2,C1C2均为正三棱台的棱,则△A1B1C1,△A2B2C2都是等边三角形.设△A1B1C1,△A2B2C2的外接圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2=1.连接O1A1,O2A2,∵等边三角形A1B1C1和等边三角形A2B2C2的边长分别为3,4,∴O1A1=3,O2A2=4.连接OA1,OA2,若点O在线段O1O2上,则R2=O1+O=O2+(1-OO1)2,即32+O=42+(1-OO1)2,可得OO1=4>O1O2,矛盾,故点O在线段O1O2的延长线上.由题意得R2=O1+(OO2+1)2=O2+O,可得OO2=3,R=5,∴该球的表面积S=4πR2=100π.
(2)由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥,连接BC1,AD1,D1F,如图所示,因为D1C1=DC=AB,D1C1∥DC∥AB,所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以BC1∥AD1,又点 E,F分别为线段BC,CC1的中点,所以EF∥BC1∥AD1,所以平面EFD1A即为平面AFE截几何体的截面.因为AA1=CC1=DD1=2BG=2,AB=BC=CD=DA=2,所以几何体的体积V=2×2×2-××2×2×=,棱台ECF-ADD1的体积为×2×=,剩余部分的体积为-=5,所以较小部分的体积为V.故选B.
(3)如图所示,∵圆锥的母线与其底面所成的角的大小为60°,∴∠SAO=60°.设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长为2r,高为r.∵圆锥的侧面积为8π,∴S侧=π·r·2r=2πr2=8π,可得r=2,则圆锥的高为2,∴该圆锥的体积为π×22×2=.
题型三
例3　(1)A　(2)D　[解析] (1)连接AD1,易知M是AD1的中点,在正方形ADD1A1中,AD1⊥A1D.∵AB⊥平面ADD1A1,A1D 平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又AB∩AD1=A,∴A1D⊥平面D1AB,∵D1B 平面D1AB,∴A1D⊥D1B.在三角形D1AB中,D1M=MA,D1N=NB,∴MN∥AB,又MN 平面ABCD,AB 平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.取AA1的中点E,连接NE,过N作NP⊥BD,垂足为P,连接AP,易证AP⊥平面BDD1B1,EN∥AP,故NE⊥平面BDD1B1,又MN∩NE=N,∴直线MN与平面BDD1B1不垂直.故选A.
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设直线FG交B1C1的延长线于点P,则C1P=B1C1,设直线FE交DA的延长线于点Q,则AQ=2BF=AD.连接BC1,AD1,则AD1∥BC1∥FG,而平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面EFG∩平面BCC1B1=FG,平面EFG与平面ADD1A1有公共点A1,∴平面EFG与平面ADD1A1必有一条交线,此交线平行于FG,也平行于AD1,连接QA1,∵QA∥A1D1,QA=A1D1,∴四边形AQA1D1为平行四边形,∴QA1∥AD1,即平面EFG∩平面ADD1A1=QA1.连接A1P,分别交B1D1,C1D1于点O,H,连接GH,A1E,则五边形A1EFGH是平面EFG截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面,故A,C错误.由C1H∥A1B1,得==,∴C1H=C1D1,故B错误.由D1H∥A1B1,得==,∴D1O=D1B1,则截面与线段B1D1相交,且交点是线段B1D1的一个五等分点,故D正确.故选D.
例4　解:(1)证明:∵EF∥DC,且EF=DP,∴四边形EFPD是平行四边形,∴FP∥DE,同理FM∥EA.
∵FP 平面ADE,DE 平面ADE,∴FP∥平面ADE.同理,FM∥平面ADE,
∵FP∩FM=F,∴平面FPM∥平面ADE.
(2)如图,在平面ADE内过A作直线l∥ED,则l即为过点A,P,F的平面与平面ADE的交线.
证明:设平面AED和平面APF的交线为l,由(1)得FP∥平面AED,∵FP 平面AFP,平面AFP∩平面AED=l,∴FP∥l.
变式　证明:(1)连接AC,BD,设AC与BD相交于点O,连接OQ,因为四边形ABCD是正方形,所以O为BD的中点,又Q为EB的中点,所以OQ∥ED∥FC,OQ=ED=FC,所以四边形OQFC为平行四边形,则QF∥OC.
因为QF 平面ABCD,OC 平面ABCD,
所以FQ∥平面ABCD.
(2)取ED的中点H,连接AH,CH,HF,
因为EH=HD=FC,且ED∥FC,
所以四边形HDCF,四边形EHCF都是平行四边形,则有EF∥HC,HF∥CD∥AB,HF=CD=AB,
所以四边形AHFB为平行四边形,则AH∥BF.
因为P为ED上靠近点D的四等分点,所以P为HD的中点,又N为CD的中点,所以PN∥HC,
因此EF∥PN,又EF 平面EBF,PN 平面EBF,所以PN∥平面EBF.因为P为HD的中点,M为AD的中点,所以PM∥AH∥BF,
又BF 平面EBF,PM 平面EBF,所以PM∥平面EBF.
因为PM∩PN=P,PM 平面PMN,PN 平面PMN,
所以平面PMN∥平面EBF.
题型四
例5　BC　[解析] 因为PA⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以PA⊥AC.由题意知BC⊥AC,假设PB⊥AC,因为BC∩PB=B,BC,PB 平面PBC,所以AC⊥平面PBC,又PC 平面PBC,所以AC⊥PC,这与AC⊥PA矛盾,故假设不成立,所以A错误.因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,又BC⊥AC,且AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,所以BC⊥平面PAC,又PC 平面PAC,所以PC⊥BC,所以B正确.因为BC⊥平面PAC,BC 平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以C正确.假设平面PAB⊥平面PBC,因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAB∩平面PAC=PA,所以PA⊥平面PBC,因为PC 平面PBC,所以PA⊥PC,与AC⊥PA矛盾,故假设不成立,所以D错误.故选BC.
例6　解:(1)证明:因为AD⊥CD,CD=2,CA=4,所以AD2=AC2-CD2=12,即AD=2,
因为△PAD为等边三角形,所以PD=AD=2,
因为PC=4,CD=2,所以CD2+PD2=PC2,即CD⊥PD.
因为CD⊥AD,PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD,
又因为CD 平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)如图所示,取AD的中点M,AB的中点N,连接PM,BM,CN,由题意知PM⊥AD.
又由(1)知平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PM 平面PAD,
所以PM⊥平面ABCD,因为BM 平面ABCD,所以PM⊥BM.
在△PMB中,PM===3,BM===,
所以PB===2,
BC===4,
则S△PBC=3,S△ABC=4.
设点A到平面PBC的距离为d,由VP-ABC=VA-PBC,可得×4×3=·d·3,解得d=,即点A到平面PBC的距离为.
变式　解:(1)证明:在题图①中,∵AB=2,∠DAB=60°,∠ABD=90°,∠CBD=45°,∴AD=4,BD=CD=2.
在题图②中,∵A'D=4,CD=2,A'C=2,
∴A'D2+CD2=A'C2,∴CD⊥A'D.
∵CD⊥BD,且A'D∩BD=D,A'D 平面A'BD,BD 平面A'BD,∴CD⊥平面A'BD,
又∵BE 平面A'BD,∴CD⊥BE.
∵A'C⊥平面BEF,且BE 平面BEF,∴BE⊥A'C,
又∵A'C∩CD=C,且A'C 平面A'CD,CD 平面A'CD,∴BE⊥平面A'CD.
(2)方法一:如图,在平面A'CD中过点F作FG⊥A'D,垂足为G,由(1)知BE⊥平面A'CD,∵FG 平面A'CD,∴BE⊥FG,
又∵A'D∩BE=E,A'D 平面A'BD,BE 平面A'BD,
∴FG⊥平面A'BD,
则垂线段FG的长度即为点F到平面A'BD的距离.
在△A'BC中,A'B=2,BC=2,A'C=2,
∴A'B2+CB2=A'C2,∴BC⊥A'B,
∵A'C⊥平面BEF,BF 平面BEF,
∴BF⊥A'C,则易得A'F=.
由(1)知CD⊥A'D,∴=,∴FG=,
即点F到平面A'BD的距离为.
方法二:求点F到平面A'BD的距离,即求点F到平面A'BE的距离,由(1)知BE⊥平面A'CD,
∵A'D 平面A'CD,∴BE⊥A'D,在直角三角形A'BD中,A'B=2,A'D=4,BD=2,
由等面积法得×A'B×BD=×A'D×BE,
即BE==,∴A'E=1.
∵A'C⊥平面BEF,且EF 平面BEF,∴EF⊥A'C,
由(1)知CD⊥A'D,∴△A'FE∽△A'DC,
∴=,∴A'F=,
则在直角三角形A'FE中,EF=.
设点F到平面A'BE的距离为d,由VF-A'BE=VB-A'EF,
得×d×S△A'BE=×BE×S△A'EF,∴×d××BE×A'E=×BE××EF×A'F,
解得d=,即点F到平面A'BD的距离为.
题型五
例7　B　[解析] 方法一:设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h,由S△ABC=×62=9,=×22=,=h(S△ABC++)=,解得h=.设O1,O分别为△A1B1C1和△ABC的中心,如图,连接A1O1,OO1,AO,过A1作A1H⊥AO于H,易知A1H⊥平面ABC,∠A1AH即为A1A与平面ABC所成的角.易知AH=AO-A1O1=×6-×2=,A1H=,
所以tan∠A1AH==1.
方法二:设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h.如图,延长AA1,BB1,CC1,则三条直线交于一点O,设O1,O2分别为△A1B1C1,△ABC的中心,连接OO2,则O1在线段OO2上,OO2⊥平面ABC,连接AO2,则∠OAO2即为AA1与平面ABC所成的角.由题知AB=3A1B1,得OO1=h,OO2=h.由题得S△ABC=9,=,由×9×h-××h=,得h=,易知AO2=2,所以tan∠OAO2==h=1.
例8　解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
∴PA⊥AD.
又∵AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA 平面PAB,
∴AD⊥平面PAB,∵AB 平面PAB,∴AD⊥AB.
在△ABC中,AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC.
∵A,B,C,D四点共面,∴AD∥BC,
又∵BC 平面PBC,AD 平面PBC,∴AD∥平面PBC.
(2)如图所示,过点D作DE⊥AC于E,过点E作EF⊥CP于F,连接DF.
∵PA⊥平面ABCD,PA 平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABCD,
又平面PAC∩平面ABCD=AC,DE⊥AC,∴DE⊥平面PAC.
又CP 平面PAC,∴DE⊥CP,又EF⊥CP,DE∩EF=E,∴CP⊥平面DEF,得DF⊥CP,根据二面角的定义可知,∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角,
即sin∠DFE=,又∠DFE为锐角,∴tan∠DFE=.
设AD=x(0则CE==,
又△EFC为等腰直角三角形,
∴EF=,故tan∠DFE===,解得x=,即AD=.
变式　解:(1)存在满足条件的点E,且AE=1.理由如下:
如图,过点F作FE∥CD交AD于点E,连接PF,PE,
∵△PBC为正三角形,F为BC的中点,
∴PF⊥BC,又AD∥BC,∴PF⊥AD.
∵FE∥CD,CD⊥AD,∴EF⊥AD,
∵PF∩EF=F,PF,EF 平面PEF,∴AD⊥平面PEF,
又AD 平面PAD,∴平面PAD⊥平面PEF.
∵AD∥BC,EF∥DC,
∴四边形EDCF为平行四边形,
∴DE=CF,又CF=2,∴DE=2,
∴AE=AD-DE=1.
(2)①由(1)知,PF⊥BC,EF⊥BC,
∴∠PFE即为二面角P-BC-A的平面角.
∵PD=,DE=2,∴PE=3,
又EF=DC=3,PF=2,
∴在△PEF中,cos∠PFE==,
∴二面角P-BC-A的余弦值为.
②设AC与平面PAD所成的角为θ,设d为点C到平面PAD的距离,则sin θ=.
∵AD=3,DC=3,AD⊥CD,∴AC=3.
∵AD∥BC,AD 平面PAD,BC 平面PAD,
∴BC∥平面PAD,∴点C到平面PAD的距离等于点F到平面PAD的距离.
由(1)知,点F到平面PAD的距离等于点F到PE的距离.
在△PEF中,PE=EF=3,PF=2,cos∠PFE=,
∴sin∠PFE=,则S△PEF=×3×2×=3,
又S△PEF=×d×PE=d,
∴d=3,∴d=2,∴sin θ==,即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.两条直线确定一个平面. (　 )
2.底面是正多边形的棱柱是正棱柱. (　 )
3.用一个平面截圆锥,一定得到一个圆锥和一个圆台. (　 )
4.直线a平行于平面α内的一条直线,则a∥α. (　 )
5.由斜二测画法可知平面图形的面积是其直观图面积的2倍. (　 )
6.若一条直线平行于两个平面的交线,则这条直线至少平行于这两个平面中的一个. (　 )
7.有两个面互相平行,其余各面均为平行四边形的几何体一定是棱柱. (　 )
8.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体是棱台. (　 )
9.对于一条直线m和两个不同的平面α,β,若α∥β,m α,则m∥β. (　 )
10.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面. (　 )
11.过平面α的一条斜线只能作出一个平面与平面α垂直. (　 )
◆ 题型一　斜二测画法
[类型总述] (1)直观图;(2)直观图与原图形之间的关系.　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)利用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形,如图所示,则原平面图形是 (　 )
A B C D
(2)如图所示,Rt△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,其中A'C'⊥B'C',B'O'=O'C'=1,则△ABC的面积为 (　 )
A.2 B.
C. D.
◆ 题型二　空间图形的表面积与体积
[类型总述] (1)体积公式;(2)表面积公式;(3)内接(外切);(4)轴截面.
例2 (1)(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 (　 )
A.V3=2V2
B.V3=2V1
C.V3=V1+V2
D.2V3=3V1
(2)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 (　 )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
(3)[2023·新课标Ⅱ卷] 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为　　　　.
变式 (1)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　 )
A.100π B.128π C.144π D.192π
(2)[2024·南京六校高一期末] 在如图所示的几何体中,底面ABCD 是边长为2的正方形,AA1,BG,CC1,DD1均与底面ABCD 垂直, 且AA1=CC1=DD1=2BG=2,点 E,F分别为线段BC,CC1的中点,记该几何体的体积为V,平面AFE将该几何体分为两部分,则体积较小的一部分的体积为 (　 )
A.V B.V
C.V D.V
(3)已知某圆锥的母线与其底面所成的角的大小为60°,若此圆锥的侧面积为8π,则该圆锥的体积为　　　　.
◆ 题型三　空间中的平行关系
[类型总述] (1)线线平行;(2)线面平行;(3)面面平行;(4)平行的判定定理与性质定理.
例3 (1)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则 (　　)
A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AB的一个三等分点(靠近B点),F,G分别为棱BC,CC1的中点,过E,F,G三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面,则下列说法正确的是 (　 )
A.所得截面是六边形
B.截面过棱D1C1的中点
C.截面不经过点A1
D.截面与线段B1D1相交,且交点是线段B1D1的一个五等分点
例4 如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,EF∥DC,且EF=DC,P为棱DC的中点.
(1)若AB的中点为M,证明:平面FPM∥平面ADE;
(2)请画出过点A,P,F的平面与平面ADE的交线l,并证明:l∥FP.
变式 如图,在几何体ABCDEF中,已知四边形ABCD是正方形,ED∥FC,AD=ED=2FC,M,N,Q分别为AD,CD,EB的中点,P为ED上靠近点D的四等分点.
(1)证明:FQ∥平面ABCD;
(2)证明:平面PMN∥平面EBF.
◆ 题型四　空间中的垂直关系
[类型总述] (1)线线垂直;(2)线面垂直;(3)面面垂直;(4)垂直的判定定理与性质定理.
例5 (多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于A,B的任意一点,则下列结论中正确的是 (　 )
A.PB⊥AC
B.PC⊥BC
C.平面PAC⊥平面PBC
D.平面PAB⊥平面PBC
例6 如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD为等边三角形,AB∥CD,AD⊥CD,且CP=CA=AB=2CD=4.
(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求点A到平面PBC的距离.
变式 如图①,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,∠DAB=60°,∠ABD=90°,∠CBD=45°,将△ABD沿BD翻折至△A'BD,使得A'C=2,如图②,过点B作一平面与A'C垂直,分别交A'D,A'C于点E,F.
(1)求证:BE⊥平面A'CD;
(2)求点F到平面A'BD的距离.
◆ 题型五　空间角的求解
[类型总述] (1)线线角;(2)线面角;(3)二面角.
例7 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为 (　 )
A. B.1 C.2 D.3
例8 [2024·新课标Ⅰ卷] 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=CD=3,BC=4.
(1)设F为BC的中点,在棱AD上是否存在点E,使得平面PAD⊥平面PEF 若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
(2)已知PD=.
①求二面角P-BC-A的余弦值.
②求直线AC与平面PAD所成角的正弦值.(共67张PPT)
本章总结提升
题型一 斜二测画法
题型二 空间图形的表面积与体积
题型三 空间中的平行关系
题型四 空间中的垂直关系
题型五 空间角的求解
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.两条直线确定一个平面.( )
×
2.底面是正多边形的棱柱是正棱柱.( )
×
3.用一个平面截圆锥,一定得到一个圆锥和一个圆台.( )
×
4.直线平行于平面 内的一条直线,则 .( )
×
5.由斜二测画法可知平面图形的面积是其直观图面积的2倍.( )
×
6.若一条直线平行于两个平面的交线,则这条直线至少平行于这两个
平面中的一个.( )
√
7.有两个面互相平行,其余各面均为平行四边形的几何体一定是棱柱.
( )
×
8.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体是棱台.( )
×
9.对于一条直线和两个不同的平面 , ，若 , ,则
.( )
√
10.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线
确定的平面.( )
√
11.过平面 的一条斜线只能作出一个平面与平面 垂直.( )
√
题型一 斜二测画法
［类型总述］（1）直观图;（2）直观图与原图形之间的关系.
例1（1） 利用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图,得到
的直观图是一个边长为1的正方形,如图所示,则原平面图形是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知,,,则原平面图形中有 ,
且, ,故选A.
（2）如图所示,为水平放置的 的
直观图,其中,,则
的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,, ,
所以,,则是底边为2,高为 的三角形,
所以 .故选A.
√
题型二 空间图形的表面积与体积
［类型总述］（1）体积公式;（2）表面积公式;（3）内接（外切）;
（4）轴截面.
例2（1） （多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 如图，
四边形为正方形， 平面 ，
，，记三棱锥 ，
，
的体积分别为,, ,则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设正方形的边长为2,则 ,,
, .
平面,,平面 ,
.
连接交于连接, ,
,,, 平面.
过 作,垂足为,则,且,
在中,.
在 中,.
在 中,,
,即,故 .
故选项A,B错误,选项C,D正确,故选 .
（2）（多选题）[2023·新课标Ⅰ卷］ 下列物体中，能够被整体放入
棱长为1（单位： ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
( )
A.直径为 的球体
B.所有棱长均为 的四面体
C.底面直径为，高为 的圆柱体
D.底面直径为，高为 的圆柱体
√
√
√
[解析] 对于A，正方体内切球的直径为 ，故A正确；
对于B，如图①,在正方体中作出正四面体 ，
该正四面体的棱长为，而 ，故B正确；
对于C，圆柱体的底面直径为，可以忽略不计，
正方体的体对角线的长为 ，而，故C不正确；
对于D，圆柱体的高为 ，可忽略不计，
如图②，取，，，，， 分别为所在棱的中点，
并顺次连接，所得六边形为正六边形，
其边长为，连接，
易知 为正六边形 的内切圆直径，
因为，所以 ，
而，故D正确.故选 .
（3）[2023·新课标Ⅱ卷］ 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面
的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台
的体积为____.
28
[解析] 方法一：依题意可知，原正四棱锥的高为6，故棱台的体积
.
方法二：由题可知所得棱台的高为3，上底面是边长为2的正方形，
下底面是边长为4的正方形，由棱台的体积公式可得棱台的体积
.
变式（1） [2022·新高考全国Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上下底面
的边长分别为和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意,设球的球心为,半径为 ,正三棱台的上、下底面分别
为,, ,,均为正三棱台的棱,
则 ,都是等边三角形.
设, 的外接圆圆心分别为,,连接,则.
连接, 等边三角形和等边三角形的边长分别
为, ,,.
连接,若点在线段 上,
则 ,
即,可得,矛盾,
故点 在线段 的延长线上.
由题意得 ,
可得,,该球的表面积 .
（2）[2024·南京六校高一期末]在如图所示的几何体中，
底面 是边长为2的正方形，，，，
均与底面 垂直，且，
点，分别为线段， 的中点，记该几何体的体积
为，平面 将该几何体分为两部分，则体积较小的
一部分的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，
连接 , ，，如图所示，
因为， ，
所以四边形为平行四边形，所以，
又点， 分别为线段，的中点，
所以，所以平面 即为平面截几何体的截面.
因为 ， ，所以几何体的体积，
棱台 的体积为
，
剩余部分的体积为，
所以较小部分的体积为 .故选B.
（3）已知某圆锥的母线与其底面所成的角的大小为 ,若此圆锥的
侧面积为 ,则该圆锥的体积为_ _____.
[解析] 如图所示, 圆锥的母线与其底面所成的角的
大小为, .
设圆锥的底面半径为,则圆锥的母线长为,高为
圆锥的侧面积为,
, 可得,
则圆锥的高为, 该圆锥的体积为 .
题型三 空间中的平行关系
［类型总述］（1）线线平行;（2）线面平行;（3）面面平行;（4）
平行的判定定理与性质定理.
例3（1） 如图，已知正方体,,分别是,
的中点，则( )
A.直线与直线垂直，直线平面
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面
D.直线与直线异面，直线平面
√
[解析] 连接,易知是 的中点,
在正方形中,
平面 ,平面,,
又 ,平面, 平面 ,.
在三角形中,,, ，
又平面,平面,平面.
取 的中点,连接,过作,垂足为,连接,
易证 平面,,故 平面,
又, 直线与平面 不垂直.故选A.
（2）如图,在正方体中, 为棱
的一个三等分点（靠近点）,,分别为棱 ,
的中点,过,, 三点作正方体
的截面,则下列说法正确的是( )
A.所得截面是六边形
B.截面过棱 的中点
C.截面不经过点
D.截面与线段相交,且交点是线段 的一个
五等分点
√
[解析] 如图所示,在正方体 中,
设直线交的延长线于点,则 ,
设直线交的延长线于点,则 .
连接,,则,而平面平面,
平面 平面,平面与平面有公共点,
平面 与平面必有一条交线,此交线平行于,也平行于,
连接 ,,,四边形为平行四边形,
,即平面平面.
连接,分别交,于点, ,连接,,则五边形是
平面 截正方体 所得截面,故A,C错误.
由,得, ,故B错误.
由,得, ,则截面与线段相交,
且交点是线段 的一个五等分点,故D正确.故选D.
例4 如图,在五面体中,四边形 为
平行四边形,,且,为棱 的
中点.
（1）若的中点为,证明：平面平面 ;
证明:,且,
四边形 是平行四边形,,同理 .
平面,平面,平面.
同理, 平面 ,,平面平面 .
（2）请画出过点,,的平面与平面的交线,并证明: .
解：如图,在平面内过作直线,
则即为过点,, 的平面与平面 的交线.
证明：设平面和平面的交线为,
由（1）得平面 ,
平面,平面平面, .
变式 如图,在几何体中,已知四边形是正方形, ,
,,,分别为,,的中点,为上靠近点 的
四等分点.
（1）证明:平面 ;
证明：连接,,设与相交于点,连接 ,
因为四边形是正方形,所以为的中点,
又 为的中点,所以, ,
所以四边形为平行四边形,则 .
因为平面,平面 ,所以平面 .
（2）证明:平面平面 .
证明：取的中点,连接,, ,因为,且 ,
所以四边形,四边形 都是平行四边形,则有,
, ,所以四边形为平行四边形,则 .
因为为上靠近点的四等分点,所以为的中点,
又为 的中点,所以 ,因此,
又平面,平面,所以平面 .
因为为的中点,为的中点,所以 ,
又平面,平面,所以 平面 .
因为,平面, 平面 ,
所以平面平面 .
题型四 空间中的垂直关系
［类型总述］（1）线线垂直;（2）线面垂直;（3）面面垂直;（4）
垂直的判定定理与性质定理.
例5 （多选题）如图,垂直于以 为直径的圆所在
的平面,点是圆周上异于, 的任意一点,
则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.平面 平面 D.平面 平面
√
√
[解析] 因为平面,平面 ,所以.
由题意知,假设 ,因为,
，平面,所以 平面,又平面，
所以,这与 矛盾,故假设不成立,所以A错误.
因为平面,平面 ,所以,又,
且,,平面 ,所以平面,
又平面,所以,所以B正确.
因为 平面,平面,
所以平面平面 ,所以C正确.
假设平面平面,因为平面平面,
平面 平面,所以平面,因为平面,
所以 ,与矛盾,故假设不成立,所以D错误.故选 .
例6 如图,在四棱锥中,为等边三角形, ,
,且 .
（1）求证:平面 平面 ;
证明:因为,, ,
所以,即 ，
因为为等边三角形,所以 ，
因为,,所以,即 .
因为,,,平面,所以 平面 ,
又因为平面,所以平面平面 .
（2）求点到平面 的距离.
解：如图所示,取的中点,的中点 ,
连接, ,,由题意知 .
又由（1）知平面平面,
且平面 平面,平面 ,
所以平面,因为平面,所以 .
在中, ,
,
所以 ，
，
则， .
设点到平面的距离为,由 ,
可得,解得,
即点 到平面的距离为 .
变式 如图①,在梯形中,,, ,
, ,将沿翻折至 ,使得
,如图②,过点作一平面与垂直,分别交,于点, .
（1）求证: 平面 ;
证明:在题图①中,,, ,
,, .
在题图②中,,, ,
, .
,且,平面,
平面 , 平面 , 又平面, .
平面,且平面, ,又,
且平面,平面,平面 .
（2）求点到平面 的距离.
解：方法一:如图,在平面中过点作,垂足为 ,
由（1）知平面,平面, ,
又,平面,平面 ,
平面 ,则垂线段的长度即为点到平面 的距离.
在中,,, ,
, ,
平面,平面 ,,则易得 .
由（1）知,, ,
即点到平面的距离为 .
方法二:求点到平面的距离,即求点 到平面的距离,
由（1）知平面 , 平面, ,
在直角三角形中,,, ,
由等面积法得 ,
即, .
平面,且平面, ,
由（1）知, , ,
,则在直角三角形中, .
设点到平面的距离为,由 ,
得 ,
,
解得,即点到平面的距离为 .
题型五 空间角的求解
［类型总述］（1）线线角;（2）线面角;（3）二面角.
例7 新课标Ⅱ卷］ 已知正三棱台的体积为 ,
,,则与平面 所成角的正切值为( )
A. B.1 C.2 D.3
√
[解析] 方法一：设正三棱台的高为 ,
由 , ,
，解得.
设,分别为和 的中心,如图,连接,,,过作
于,易知 平面即为与平面 所成的角.
易知,
,所以 .
方法二：设正三棱台的高为 .
如图,延长,,,则三条直线交于一点,
设, 分别为,的中心,连接,
则 在线段上,平面,连接,
则 即 为与平面所成的角.
由题知,得, .由题得,
,由 ,得,
易知 ,所以 .
例8 新课标Ⅰ卷］ 如图，四棱锥中， 底面
，，， .
（1）若，证明：平面 ；
证明：平面，平面 ， .
又，,,平面 ，
平面，平面， .
在中，， .
，，，四点共面， ，
又平面，平面， 平面 .
（2）若，且二面角的正弦值为,求 .
解：如图所示,过点作于,过点 作于,连接 .
平面,平面 ,平面平面 ,
又平面平面,, 平面 .
又平面,,
又,, 平面,得,
根据二面角的定义可知, 即为二面角 的平面角,
即,又 为锐角, .
设,则 ,由等面积法可得,
,则 ，
又 为等腰直角三角形,,
故 ,解得,即 .
变式 如图,在四棱锥中,为正三角形,底面 为直
角梯形,, ,, .
（1）设为的中点,在棱上是否存在点,
使得平面 平面 若存在,求出 的长;
若不存在,请说明理由.
解：存在满足条件的点,且 .理由如下:
如图,过点作交于点,连接, ,
为正三角形,为 的中点,,
又, .
,, ,,,平面,
平面 ,又平面,平面平面 .
, ,四边形 为平行四边形,,
又, , .
（2）已知 .
①求二面角 的余弦值.
解：由（1）知,, ,
即为二面角 的平面角.
,, ,
又, ,
在中, ,
二面角的余弦值为 .
②求直线与平面 所成角的正弦值.
解：设与平面所成的角为,
设为点 到平面的距离,则 .
,,, .
,平面,平面 ,
平面,点到平面 的距离等于点到平面 的距离.
由（1）知,点到平面的距离等于点到 的距离.
在中,, ,
, ,
则 ,
又 ,,,
,即直线与平面 所成角的正弦值为 .

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