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大单元复习
第六单元 圆
第3节
第1节
圆
第2节
第2节
圆的基本性质
与圆有关的计算
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系
单元复习规划
目
录
情境串考点
考向精练
课堂小结
情境一 我们都听过上古时代的神话故事——嫦娥奔月，如果把嫦娥奔月的过程联想成一幅几何图，你会如何呈现？
可以概述为三种状态：
①点在圆外
.
嫦娥
②点在圆上
.
嫦娥
③点在圆内
.
嫦娥
情境串考点
问题1 如何判断点与圆的位置关系呢？
设⊙O的半径为r，平面内任一点到圆心的距离为d
点在圆外 d______r，如点A
点在圆上 d______r，如点B
点在圆内 d______r，如点C
＜
＝
＞
情境二 你还记得巴金笔下的《海上日出》吗？你能用所学的知识描述日出的状态图吗？
①相交
海平面
②相切
海平面
③相离
海平面
直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d
位置关系 相离 相切 相交
交点的个数 ____公共点 有且只有一个公共点 有____个公共点
d与r的关系 d______r d______r d______r
示意图
问题2 如何判断直线与圆的位置关系？有哪些方法呢？
＞
＝
＜
无
两
1.如图，△ABC为等边三角形，AB＝6.
(1)若以AB的中点O为圆心，OA长为半径作圆，则点A在⊙O_____，AC与⊙O________(选填“相交”“相切”或“相离”)；
相交
上
(2)若以点A为圆心，r为半径作圆．
①若r＝3 ，则点B在⊙A_____，BC与⊙A______；
②若要使⊙A与BC相离，则r的取值范围为___________；
外
相切
0＜r＜3
判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法：①直线与圆公共点已知：连半径，证垂直；
②直线与圆公共点未知：作垂直，证半径.
问题3 还有什么方法可以判定直线与圆相切呢？
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
证明：如图，连接OC，
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D是圆外一点，连接CD，BD.
(1)如图1，若∠BAC＝∠BCD.求证：CD是⊙O的切线；
图1
∵∠BAC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠OCA，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°，即∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)如图2，若BC平分∠ABD，∠D＝90°.求证：CD是⊙O的切线；
证明：如图，连接OC，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
图2
∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，
∵OD∥AC，∴∠CAO＝∠DOB，∠ACO＝∠COD，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠COD＝∠BOD，
∵OD＝OD，OC＝OB，∴△COD≌△BOD(SAS)，
∴∠DCO＝∠DBO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(3)如图3，若BD是⊙O的切线，切点为B，连接OD，且OD∥AC.
求证：CD是⊙O的切线．
图3
证明：如图，连接CO，
思考：从图3中还能得到哪些数量关系呢？
图3
E
线段：DC=DB，CE=BE.
角：∠DCE=∠DBE，∠CDO=∠BDO，
∠CEO=∠BEO=90°.
1.性质定理：圆的切线________于过切点的半径(或直径)
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长
_____，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角．
垂直
相等
平分
拓展思考：如图，延长DO交⊙O于点G，过点G作DG的垂线分别交DC、DB延长线于E，F.判断⊙O与△DEF的关系.
G
E
F
⊙O是△DEF的内切圆.
三角形的内切圆
有哪些性质呢？
任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆
图形
性质 1.圆心O：角平分线的交点； 2.连接顶点及圆心的线，平分该角； 3.内切圆半径r＝ 3.内切圆半径r＝ 或
问题4 从以上证明切线的方法中，你得到了什么启发？
证明方法一:利用等角代换证得垂直:图中已知直径，则利用“直径所对的圆周角等于 90°构造直角;
证明方法二:利用平行线性质证得垂直:有与要证切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行;
证明方法三:利用三角形全等证得垂直:通过证明切线所在的三角形与含 90°角的三角形全等.
1.（2025福建）如图， PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O 于点C.AB∥PC，且交⊙O 于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
C
考向精练
3.（2025安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上，已知∠P=50°，则∠PAB的大小为 °.
20
2.（2025云南）已知⊙O的半径为5 cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm.
5
4.（2025广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：解法一：如图，连接OD，
易得OD是⊙O的半径，
∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，
∵△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴AB⊥BC，∴AB∥OD，∴∠ODA=∠DAB,
∵OD＝OA，∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC.
解法二：如图，连接OD，
∵OD是⊙O的半径，⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，
∵△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴AB⊥BC，∴AB∥OD，∴∠DOC=∠BAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴AD平分∠BAC.
5.（2025陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F=45°.
(1)求证: AB=AC;
证明：如图，连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，∴∠ODA=90°，
∵∠EOD=2∠F=90°，∴∠ODA=∠EOD，
∴EF∥AB，∴∠OEC=∠B，
∵OC=OE，∴∠OEC=∠C，
∴∠C=∠B，∴AB=AC；
(2)若sin A= ，AB=8，求 DG的长.
解：设⊙O的半径为r，由(1)得AB=AC=8，∴OA=8-r，
在Rt△OAD中，sinA=，即= ，解得r=3，
∴OA=5，AD=4，
在Rt△OFD中，FD=3，由(1)得EF∥AB，
∴∠F=∠ADG，∠FOG=∠A，
∴△OFG ∽△ADG，∴=，即 =，
解得DG=.
6.（2025甘肃省卷）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD= ∠AOB.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
证明：如图，连接AE，可得∠E= ∠AOB，
∵∠BCD= ∠AOB，∴∠BCD=∠E.
∵OA=OE，∴∠OAE=∠E，∴∠OAE=∠BCD.
∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，即∠BAO+∠OAE=90°.
∵∠BAO=∠BCO，∴∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC.
∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3，求CD的长.
解：∵四边形ABCO是平行四边形，∴OF= OB.
又∵OF+OE=EF=3，OB=OE，∴ OB+OB=3，∴OB=2.
∵OA=OC，∴ ABCO是菱形，
∴BC=OC=OB=2，
∴△BOC为等边三角形，∠BOC=60°.
由(1)知OC⊥DC，
∴在Rt△ODC中，CD=OC·tan∠DOC=2×tan 60°=2 .
7.（2025贵州）（补全图形）如图，在⊙O中， ∠ACB是直角，D为
的中点，DE 为⊙O的切线交AB的延长线于点E. 连接CD，BD.
(1)点O与AB的位置关系是 ，线段CD 与线段BD的数量关系是 ；
点O是AB的中点
CD=BD
(2)过E 点作 EF⊥AE，与AD的延长线交于点 F.根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由；
解：补全图形如图，△DEF是等腰三角形，理由如下：
如图，连接OD，
∵点D是 的中点，OD是⊙O的半径，
∴∠CAD=∠OAD，OD⊥BC，
∵∠CAD=∠CBD，∴∠OAD=∠CBD，
∵AE⊥EF，∴∠OAD+∠F=90°，∴∠CBD+∠F=90°，
F
∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴OD⊥DE，
∴BC∥DE，∴∠CBD=∠BDE，
∴∠BDE+∠F=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠EDF=90°，
∴∠F=∠EDF，∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
F
(3)在(2)的条件下，若⊙O 的半径为3，DE=4，求CD的长.
解法一：如图，
∵⊙O的半径为3，∴OA=OB=OD=3，∴AB=6，
∵DE=4，∴在Rt△ODE中，由勾股定理得OE==5，∴AE=OA+OE=3+5=8，
由(2)得EF=DE=4，在Rt△AEF中，tan∠EAF===，
∴在Rt△ABD中，tan∠BAD==，∴AD=2BD，
∴由勾股定理得AB2=BD2+AD2，
∴62=BD2+(2BD)2，解得BD=，∴CD=BD=.
F
解法二：如图，连接OD，BF，
∵⊙O的半径为3，∴OA=OB=OD=3，
∴在Rt△ODE中，由勾股定理得OE==5，
∴AE=OA+OE=3+5=8，BE=OE-OB=2.
由(2)得EF=DE=4，EF⊥AE，∠ADB=90°，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理得AF==4，
∵S△AEF=S△ABF+S△BEF，∴AE·EF=AF·BD+BE·EF，
∴BD===，
∴CD=BD=.
F
与圆有关的位置关系
切线长定理
三角形的内切圆
切线的性质
切线的判定
点在圆内
点在圆外
点在圆上
相切
相离
相交
直线与圆
点与圆
课堂小结

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