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(共31张PPT)
大单元复习
第六单元 圆
第3节
第3节
第1节
圆
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
第2节
与圆有关的计算
与圆有关的计算
单元复习规划
目
录
情境串考点
考向精练
课堂小结
草原上蒙古包与羊群的景色不仅展现了自然的壮美，还蕴含着丰富的文化内涵.无论是广袤的草原、独特的蒙古包，还是成群的牛羊，都共同构成了一幅令人心旷神怡的美丽画卷.
本节课我们将以羊群与蒙古包为视点，复习与圆有关的计算问题.
情境串考点
问题1 主人将羊拴在如图的柱子上，你能确定这只羊的活动范围吗
羊
柱子
3m
分析：柱子：固定不变
绳子：3m
答：这只羊的活动范围为：以柱子为圆心，3m长为半径的圆的圆形区域.
问题2 你能求出这只羊的最大活动轨迹和活动区域大小吗
弧长
面积
圆的周长C=2πr，面积为S=πr2
解：l=2πr=6π(m)，S=πr2=9π(m2)
答：这只羊活动的轨迹长为6π m，活动区域为9π m2.
·
O
r
问题3 主人将这只羊拴在一处有围挡的墙角柱子处，如图所示，你能画出这只羊的活动区域吗？
答：此时该羊活动的区域为以墙角为圆心，以3m长的绳子为半径，圆心角为两墙夹角大小的扇形，如图所示.
羊
3m
问题4 已知两墙的夹角为90°，请你求出问题3中这只羊的活动轨迹长和面积.
扇形弧长、面积计算公式的关系
解：
扇形弧长： ；
扇形面积： .
问题5 若这只羊固定在如图所示的墙角处，请你在图中画出这只羊此时的活动区域.
羊
3m
2m
∟
30°
问题6 如图，两面墙的长度分别为3m、2m，两个墙角的角度为90°、30°，请你求出此时这只羊活动的区域弧长和面积.
解：
答：这只羊的活动区域的面积为 .
羊
3m
2m
∟
30°
扇形的相关计算
1.弧长公式
圆的周长：C＝_____
扇形弧长：l＝__________　　　　
2.面积公式
圆的面积：S＝_______　　　
扇形面积：S扇形＝　　　　＝
(r为圆的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长)
2πr
πr2
蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，适于牧业生产和游牧生活. 蒙古包外观呈圆形，顶为圆锥形，围墙为圆柱形，这种形状象征圆满和完整. 如图为一个蒙古包.
问题7 你知道蒙古包包顶的展开图是什么图形吗？
R
o
r
答：圆锥侧面展开图是一个扇形.
问题8 某牧民要搭建蒙古包，需要购买包顶部分（圆锥部分）的羊毛毡，测量出包顶部分展开形成的扇形的圆心角为 288°，蒙古包顶部到门框上边的长度 R=5m，请你算出需要买多大面积的扇形羊毛毡？
答：需要买20πm2的扇形羊毛毡.
解：
R=5m
问题9 若测量包身一圈的长度是16m，他们需要买的羊毛毡面积和问题8中一样吗？
解：
答：不一样，需要买40m2的扇形羊毛毡.
16m
R=5m
20π（m2）≈62.8（m2）
问题10 牧民购买了一块半径为5m的圆形羊毛毡，剪去一块弧长为8π m的扇形羊毛毡制作蒙古包包顶（圆锥部分），若包顶制作完后的形状如图所示，求蒙古包包顶的高度.
答：蒙古包包顶的高度为3m.
解：
O
h
r
R
圆锥的相关计算
2.数量关系：　
(1) r为圆锥底面圆的半径，α为圆锥侧面展开图的扇形的圆心角，R为母线长，则α＝_______
(2)h为圆锥的高，R为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2＋_____＝R2
h2
R
l
1. 圆锥与扇形的关系：
(1) 圆锥的侧面展开图是扇形
(2)圆锥的底面周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长
(3)圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径
如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切，连接AC，与⊙O交于点D，⊙O的半径为2.
(1)如图1，连接OD，若∠C＝40°，
则劣弧 的长为　　　　，
图中阴影部分的面积为　　　　；
图1
前面计算扇形的面积，我们还可以利用上述知识求不规则图形的面积.
(2)如图2，连接OD，若BC＝ ，则图中阴影部分的面积为　　　；
(3)如图3，若点D是 的中点，则图中阴影部分的面积为　　　；
图3
图2
π＋2
点拨：S阴影=S扇形AOD-S△AOD
点拨：连接OD，S阴影=S扇形BOD+S△AOD
(4)如图4，若∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为　　　；
(5)若AB＝ BC，将图5中阴影部分的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为　　　．
4
图4
图5
点拨：连接BD，S阴影=S△BCD
方法 公式法 直接和差法
图示
计算公式 S阴影＝S扇形MEN S阴影＝S△ABC－S扇形CAD
阴影部分图形面积计算
方法 构造和差法 等积转化法
图示
(C，D是半圆O的三等分点)
计算公式 S阴影＝S△OBC－S扇形BOD S阴影＝S扇形COD
阴影部分图形面积计算
1.（2025湖南省卷）如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°)，东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为 (　　)
A. πR(千米) B. πR(千米)
C. πR(千米) D. πR(千米)
C
考向精练
2.（2025云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为 (　　)
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
B
3.（2025山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.4π-8
D
点拨：S阴影＝2S阴影左＝S扇形BCE－S△ABC.
4.（2025浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB=2，则 的长为 (　　)
A. π B. π C. π D. π
点拨：①连接CE；
②CD=AD=1；
③∠ACD=∠A=35°，∴∠CED=∠CDE=70°.
B
5.（2025吉林长春）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度.
6.（2025四川成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 .
240
点拨：①连接OB；
②S阴影＝S扇形AOB.
7.（2025江苏苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即AB)长度为______m.(结果保留π)
40π
8.（2025江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，以BA，BC为边作 ABCD.
(1)当BC经过圆心O时(如图①)，求∠D的度数;
解：∵BC经过圆心O，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=35°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=90°-∠ACB=55°；
(2)当AD与⊙O相切时(如图②)，若⊙O的半径为6，求 的长.
如图，连接OA，OC，
∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6，
∴AD⊥OA，OA=OC=6，∴∠OAD=90°，
∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB=35°，
∴∠OCA=∠OAC=∠OAD-∠CAD=55°，
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC=70°，
∴ 的长为 = .
圆锥
扇形
弧长
面积
侧面展开图
r2＋h2＝R2
R
l
l=2πr
课堂小结

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