资源简介

(共26张PPT)
大单元复习
第四单元 三角形
第1节
相交线与平行线
第3节
第4节
三角形
全等、相似三角形
特殊三角形
第2节
一般三角形
第5节
几何测量问题
第3节
特殊三角形
单元复习规划
目
录
以题练考点
考向精练
课堂小结
上节课我们知道了三角形的分类，并且分别从构成三角形的因素：角、边，以及重要线段三个方面复习了三角形的性质，具体如下：
三边关系
内角和、内外角关系
边角关系
三角形重要线段
三边都不相等的三角形
底≠腰的等腰三角形
等边三角形
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三角形的分类
等腰三角形
按边分
本节课将从以上几个方面研究特殊三角形：等腰三角形、直角三角形，这些图形又有哪些性质，如何判定？
以题练考点
(2)若△ABC的一个角为50°，则∠A的度数为______________；
1.在△ABC中，AB＝AC．(1)若顶角为30°，则底角度数为_________；
75°
50°或80°
【点拨】：顶角和底角不确定时，需要分类讨论.
(3)如图，点D为BC边上的中点，连接AD，AD＝4，AB＝5，则BC的长为____；
6
【点拨】：“三线合一”．
A
B
C
D
1.在△ABC中，AB＝AC．
(4)如图，在(3)的条件上，过点D作DE//AB交AC于点E，已知∠B=60°.
①判断△CDE的形状，并证明；
解：△CDE为等边三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
∴∠C=∠CAB=60°.
又∵DE//AB，
∴∠CDE=∠B=60°，∠CED=∠CAB=60°.
∴△CDE为等边三角形.
A
B
C
D
E
1.在△ABC中，AB＝AC．
(4)如图，在(3)的条件上，过点D作DE//AB交AC于点E，已知∠B=60°.
A
B
C
D
E
②若DE =3，求AC 的长及△DEC的面积.
解：∵点D为BC的中点，DE//AB，
∴点E为AC的中点.
∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，
∴DE= AC=3.
∴AC=6.
∴S△DEC= ·DE2= .
1.在△ABC中，AB＝AC．
(5)若△ABC的周长为12，一边长为5，则AB＝______________.
5或3.5
【点拨】：已知边为腰还是底边不确定
分两种情况：
①AB=AC=5 ②BC=5
A
B
C
图形名称 等腰三角形 等边三角形
图形
边 两腰相等 三边相等
角 两底角相等 每一个角都等于60°
边角关系 等边对等角；等角对等边 /
对称性 是轴对称图形，有1条对称轴 是轴对称图形，有3条对称轴
面积 S＝_________ S＝ ah＝_________a2
图形名称 等腰三角形 等边三角形
判定 60°
90°
相等
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是AB上的一点，连接CD.
(1)若AB＝10，则△ABC的面积为___；
(2)若∠B＝30°，则AB的长为___；
(3)若CD⊥AB，BC＝8，则CD的长为 ；
(4)若D为斜边AB的中点，CD＝5，则△ABC的周长为___；
24
12
4.8
24
A
B
C
∟
D
E
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是AB上的一点，连接CD.
(5)若CD为AB的垂直平分线，则∠A的度数为___；
(6)若BC＝8，E为AC上的中点，当△ADE为直角三角形时，AD的长为_______.
45°
5或
点拨：①分两种情况：∠DEA=90°；∠ADE=90°
②利用相似求解.
A
B
C
∟
D
E
① 两锐角之和等于____
②斜边上的中线等于_____________
③30°角所对的直角边等于__________
④勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有_________
性质：
90°
斜边的一半
斜边的一半
a2＋b2＝c2
判定：
①有一个角为　　　的三角形或有两个角　　的三角形
③勾股定理的逆定理：若三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，
则该三角形是直角三角形
90°
互余
直角三角形
1.(2025陕西)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　)
C
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考向精练
B
A． π B． π C． π D． π
2.(2025浙江)如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB=2，则 的长为 (　　)
3.(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=，则AC的长是 (　　)
A． B．6 C． D. 3
B
【点拨】：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，由tanC= = ，
求出DC=3，由线段的中点定义得到AC=2DC=6.
4.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=，
则AD=______.
【点拨】：延长AD交BC于E，由AB=CA，BD=CD可得AE⊥BC，BE=CE，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得AE=，DE=1，即可求解.
E
5.(2025四川南充)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1，则OE的长是_____.
证明：如图，延长AE交BC的延长线于点H，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE.
∵∠D=∠ECH=90°∠AED=∠HEC，∴△ADE≌△HCE(ASA).∴AD=CH，∠DAE=∠H.
∵AB=BC+AD，BH=BC+CH，
∴AB=HB.∴∠BAH=∠H.
∴∠DAE=∠BAH.∴AE平分∠DAB；
6.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠C=90°．
(1)若E为CD的中点，AB=BC+AD，求证：AE平分∠DAB；
H
(2)若E为AB的中点，AB=2AD，CA=CB，试判断三角形ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形，理由如下：
∵点E是AB中点，
∴AB=2AE=2BE.
∵AC=BC，AE=BE，
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE.
∴∠AEC=90°=∠D.
∵AB=2AD，
∴AB=2AE.∴AD=AE.
∵AC=AC，∠AEC=∠D=90°，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL).
∴∠ACD=∠ACE.
∴∠ACD=∠ACE=∠BCE.
又∵∠DCB=∠ACD+∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠ACE=∠BCE=30°.
∴∠ACB=60°.
又∵CA=CB，
∴△ABC是等边三角形．
7.(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
解：△BDE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵BC∥ED，
∴∠EDB＝∠CBD.
∴∠EDB＝∠ABD.
∴EB＝ED.
∴△BDE是等腰三角形；
图1
方法应用
(2)如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有(　　)
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
解法提示：共有四个等腰三角形．分别是：△ABE，△ABG，△AFD，△CGF.
B
图2
解： ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE.∴∠ABE＝∠AEB.
∴△ABE是等腰三角形，则AB＝AE.
∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF.
∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB.
∴∠BAF＝∠AGB.∴AB＝BG＝3.
∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG.
∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG.
∴CG＝CF，
∵CG＝BC －BG＝5－3＝2，∴CF＝2.
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长
图2
图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形
性质 角：两底角______; 边：两腰_______; 重要线段：等腰三角 形“三线合一”; 对称性：轴对称图形，有1条对称轴，是顶 角平分线、底边中线/高所在的直线 角：三个角相等，且 每一个角都等于 ____ 边：三边相等; 对称性：是轴对称图形，有___条对称轴，是顶 角平分线、底边中线/高所在的直线 1.两锐角之和等于____ 2.斜边上的中线等于__________; 3.30°角所对的直角边等于__________;　 4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则___________ 角：两锐角均为45°;
边：斜边上的中线等于斜边的一半；三边长的比为1∶1∶ ;
对称性：是轴对称图形，有1条对称轴
面积 S＝______ S＝ ah＝___a2 S＝ ch＝________ S＝ a2＝ ch＝ c2＝ ah
相等
90°;
斜边一半
斜边一半
相等
60°;
3
a2＋b2＝c2
ab
ah
课堂小结
判定
90°
60°
相等

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