资源简介

(共32张PPT)
大单元复习
第四单元 三角形
全等、相似三角形
全等、相似三角形
第3节
第4节
三角形
特殊三角形
第2节
一般三角形
第5节
几何测量问题
第1节
相交线与平行线
第4节
单元复习规划
目
录
以题练考点
考向精练
课堂小结
小明把一块三角形的模具在移动过程中不慎打碎成了三块，现在需要重新定做，你有什么办法呢？
你知道他们应用的什么原理？制作出来的模具和原来的模具之间是什么关系？
只要量出任意两个角的角度和它们的夹边的长度，我就能做出跟它形状一样，任意大小的模具！
小琰
我只用碎片③就可以做出和
原来一模一样的模具！
小梅
以题练考点
如图为小梅和小琰分别用上述方法制作出来的两对三角形模具，之后他们又进行了一系列的探究活动：
C
B
A
D
E
F
C
B
A
D
E
F
活动探究1
将△ABC和△DEF按如图摆放，使点B，E，C，F在同一直线上，AC交DE于点H，已知∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF，并写出依据；
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
依据：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
将△ABC和△DEF按如图摆放，使点B，E，C，F在同一直线上，AC交DE于点H，已知∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，BE＝CF.
(2)若BE≠CF，则△ABC和△DEF是什么关系，请说明理由．
解：△ABC∽△DEF.理由：两角分别相等的两个三角相似．
条件 示意图 全等 相似
两角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA) 两角分别相等的两个三角形相似
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS) 活动探究2 将△ABC和△DEF按如图所示放置．
(1)若AB＝DE，AC＝EF，请添加一个条件，使得△ABC≌△EDF，并写出证明过程及依据；
解：添加条件：∠A＝∠FED，理由如下：
在△ABC和△EDF中，
∴△ABC≌△EDF(SAS)，依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
一题多解：也可以利用三边分别相等.
(2)若 ，请添加一个条件，使得△ABC∽△EDF，并写出证明过程及依据．
添加条件：∠A＝∠FED，理由如下：
∵ ，∠A＝∠FED， ∴△ABC∽△EDF，依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
一题多解：也可利用三边对应成比例.
条件 示意图 全等 相似
两边一角 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边 三边分别相等的两个三角形全等(SSS) 三边成比例的两个三角形相似
≌
∽
≌
∽
活动探究3　将△ABC和△DEF按如图所示放置，且点A，E，B，D在同一直线上，且EF与BC交于点G，若AE＝BD，EG＝BG，∠C＝∠F.
(1)求证：CG＝FG.
证明：∵AE＝BD，∴AE＋BE＝BD＋BE，即AB＝DE.∵EG＝BG，∴∠FED＝∠CBA.在△ABC和△DEF中，
∵BG＝EG，∴CG＝FG.
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF.
活动探究3　
(2)连接CF，你能从图中能找出相似三角形吗？并写出证明过程.
△ABC≌△DEF
由(1)知CG＝FG ，
∴ ∠GCF＝∠GFC.
∵∠FED＝∠CBA，∠CGF＝∠BGE,
∴ ∠GCF＝∠GFC＝∠FED＝∠CBA.
∴△BGE∽△CGF（两角分别相等的两个三角形相似）.
△BGE∽△CGF，理由如下：
活动探究4　将△ABC和△DEF按如图所示放置，且点D，B，E，A在同一直线上.延长CB交DF于点H，延长FE交AC于点I，CH∥FI，EI＝BH，AB＝DE.
(1)求证：∠A＝∠D；
证明：∵CH∥FI，
∴∠CBA＝∠DEF.
∵∠CBA＝∠DBH，∠DEF＝∠AEI，
∴∠DBH＝∠AEI.
∵AB＝DE，
∴AB－BE＝DE－BE.
则AE＝BD.
∴△AIE≌△DHB(SAS).
∴∠A＝∠D；
在△AIE和△DHB中，
(2)若BE＝2BD，求 的值．
解：∵CH∥FI，
∴∠DBH＝∠DEF，∠DHB＝∠DFE，∴△DBH∽△DEF.∵BE＝2BD，∴ .
CH∥FI，EI＝BH，AB＝DE
活动探究4　
△DBH∽△DEF，△AEI∽△ABC，△DBH∽△ABC，△AEI∽△DEF.
(3)你能从图中找出哪几对相似三角形？
活动探究4　
CH∥FI，EI＝BH，AB＝DE
你知道依据吗？
对应关系 全等三角形 相似三角形
角 相等 相等
边 相等 成比例，等于相似比
对应线段：中线、高线、角平分线、中位线、周长 面积 相等 等于相似比的平方
全等、相似三角形的性质
1.(2025黑龙江绥化)两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是( )
B
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
考向精练
2.(2025青海)工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是( )
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
C
3.(2025四川眉山)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为 .
(，0)
【点拨】：①根据相似三角形的性质可得∠AOB＝360°÷12＝30°，
②然后在Rt△AOB中，利用锐角三角函数的定义可得OB＝ OA，
③最后从数字找规律，得到OG＝ OA进行计算，即可解答．
解：∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，
∴∠BAC＝∠FAD.
4.(2025河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．
(1)求证：△ABC≌△AFD；
在△ABC和△AFD中，
∴△ABC≌△AFD(ASA).
4.(2025河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
由(1)得△ABC≌△AFD，
∴AB＝AF.
∵BE＝FE，
∴AE⊥BF，即AC⊥BD．
5.(2025黑龙江)已知：如图，△ABC中，AB＝AC，设∠BAC＝α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：
(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°.
∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，
即∠BAE＝∠CAD.
AB＝AC，EF⊥BC
你知道怎么证明BF＝DF+BC吗？
(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°.
∴∠EBF＝180°－∠ABE－∠ABC
＝180°－60°－60°＝60°.
AB＝AC，EF⊥BC
(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°.
∴在Rt△BEF 中，
.
∵CD＝BF＋DF＋BC，
CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BF＋DF＋BC.
∴BF＝DF＋BC；
AB＝AC，EF⊥BC
解：BF＝DF－BC，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠ABC＝∠BCA＝60°.
∴∠ACD＝180°－∠BCA＝120°.
∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE＝∠CAD.
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
AB＝AC，EF⊥BC
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
AB＝AC，EF⊥BC
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°.
∴∠EBF＝∠ABE－∠ABC＝120°－60°＝60°.
∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
∴在Rt△BEF 中，
.
∵CD＝BD－BC＝BF＋DF－BC，
CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BF＋DF－BC.
∴BF＝DF－BC；
AB＝AC，EF⊥BC
(2)若α＝120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
在△ABE和△ACD中，
AB＝AC，EF⊥BC
∴△ABE≌△ACD(SAS).
解：
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，
∴∠ABC＝∠BCA＝(180°－∠BAC)＝30°.
∵∠BAC＝∠EAD＝α＝120°，
∴∠BAC＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，即∠DAC＝∠EAB.
3BF＝BC＋DF，理由如下：
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝30°.
∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝30°＋30°＝60°.
∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
∴在Rt△BEF 中，
.
AB＝AC，EF⊥BC
∵CD＝BC＋BD＝BC＋DF－BF，
CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BC＋DF－BF.
∴3BF＝BC＋DF.
(2)若α＝120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
角、线段(含边)、面积
注：全等三角形判定时，必须要有一组对应边相等.
性质
判定
全等三角形
相似三角形
特殊化 对应边1:1
课堂小结

展开更多......

收起↑